9.2.1 第1课时 向量的加法运算 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.2　向量运算 9.2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法运算 学业标准 素养目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点) 3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点) 1.结合物理模型从几何角度探究向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提升直观想象和数学建模核心素养. 2.通过向量的加法运算和加法运算律的应用，主要培养数学运算核心素养. [教材梳理] 导学 向量的加法 1．向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量____的运算，叫作向量的加法 法 则 三角形 前提 已知向量a，b 法则 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝________＝ 图形 平行四 边形法 则 前提 已知两个不共线的非零向量a，b 做法 分别作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC 结论 以O为起点的对角线表示的向量就是向量________. 图形 互为相反 向量的和 任意一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋00a＝a 2．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＋＋＝.(　　) (2)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．(　　) (3)相反向量的和是零．(　　) (4)在△ABC中，＝a，＝－b，则a＋b＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选题) 下列各式一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．0a＝a C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析　A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等． 答案　ABC 3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________. 解析　由平行四边形法则可知＋＝. 答案　 4．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c＝________. 解析　由向量加法的三角形法则，得＋＝，即a＋b＋c＝＋＋＝0. 答案　0 题型一　已知向量作和向量(一题多解) 　(1)如图甲所示，求作向量和a＋b； (2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. 　　　 　甲　　　　　　　乙 [解析]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一(三角形法则)　如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)　如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b， ＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量. [触类旁通] 1．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解析　(1)作＝a，＝b， 则＝a＋b，如图(1)． (2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)． (3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)． 题型二　向量的加法运算及运算律的应用 　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： ①＋＝________； ②＋＝________； ③＋＋＝________. (2)化简： ①＋；②＋＋； ③＋＋＋＋. (1)[解析]　如题图，由已知得四边形BCFD为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ①＋＝＋＝. ②＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝＋＝. [答案]　①　②　③ (2)[解析]　①＋＝＋＝. ②＋＋＝＋＋ ＝(＋)＋＝＋＝0. ③＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝0. [素养聚焦]　本题通过向量加法及运算律应用，突出考查数学运算、直观想象等核心素养． 向量加法运动律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的，实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. [触类旁通] 2．在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O，则 ①＋＝________. ②＋＋＝________. ③＋＋＝________. ④＋＋＝________. 解析　①＋＝. ②＋＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＝. ④＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0. 答案　①　②　③　④0 题型三　向量加法的实际应用 　(1)在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形是(　　) A．矩形　　　　　　 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 (2)在静水中船的速度大小为20 m/min，水流的速度大小为10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进方向． (1)[解析]　在四边形ABCD中，＝＋，又＝＋，所以＝， 所以四边形ABCD是平行四边形． [答案]　D (2)[解析]　如图所示，设船速υ船与垂直于水流的方向成α角，由图知υ水＋υ船＝υ实际， ∴四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，|CD|＝||＝||＝|υ水|＝10，|AD|＝||＝|υ船|＝20， ∴sin α＝＝＝.∴α＝30°. 应用向量解决实际问题的基本步骤 [触类旁通] 3．如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 解析　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||； 两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β ＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以||＝＝＝800(km)． 其中∠BAC＝45°， 所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 向量加法的应用 [典例]　小船以大小为10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速大小为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为______km/h. [解析]　如图， 船在静水中的速度大小为|υ1|＝10 km/h，河水的流速大小为|υ2|＝10 km/h，小船实际航行速度大小为|υ0|， [答案]　20 [纠错心得]　实际问题中的合力、速度、加速度问题均是向量问题，解题时注意应用向量的运算法则与几何意义，避免错误． 知识落实 技法强化 (1)向量的加法及运算律. (2)向量加法的几何意义. (1)数形结合. (2)区分实数的加法与向量的加法．注意平行四边形法则求向量和的前提条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$