9.2.3 向量的数量积(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第9章　平面向量 9.2　向量运算 9.2.3　向量的数量积 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 向量的数量积的定义 |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学2 投影向量及数量积的几何意义 投影 投影向量 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学3 数量积的运算律 b·a λ(a·b) a·(λb) λa·b a·c＋b·c 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.理解平面向量数量积的定义．(重点) 2.理解投影向量的概念和向量数量积的几何意义．(难点) 3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用．(重点、难点) 1.通过力做功探究向量数量积的概念和几何意义，培养数学建模和数学抽象的核心素养. 2.通过向量数量积的运算，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 1．数量积的定义 条件 两个非零向量a和b，它们的夹角为θ. 结论 数量_________________叫做向量a和b的数量积. 记法 a·b＝___________. 规定 零向量与任一向量的数量积为___. 2．数量积的性质 (1)若两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a). 1．投影与投影向量 设a，b是两个非零向量，如图，eq \o(OA,\s\up16(→))表示向量a，eq \o(OB,\s\up16(→))表示向量b，过点A作eq \o(OB,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.将由向量a得到向量eq \o(OA1,\s\up16(→))的变换称为向量a向向量b_____，向量eq \o(OA1,\s\up16(→))称为向量a在向量b上的__________. 2．数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 设向量a，b，c和实数λ，则： (1)a·b＝________； (2)(λa)·b＝_______________＝_______________＝__________； (3)(a＋b)·c＝__________________. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是向量．(　　) (2)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(　　) (4)a在b方向上的投影向量就是a在b方向上的投影数量．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A.eq \f(π,6)　　 　B.eq \f(π,4)　　 　C.eq \f(π,3)　　 　D.eq \f(π,2) 解析　由条件可知，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,1×4)＝eq \f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,3). 答案　C 3．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝eq \r(2) B．eeq \o\al(2,1)＝eeq \o\al(2,2) C．∀θ∈R，(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2方向上的投影向量为sin θ e2 解析　对于A，因为e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，所以A正确；对于B，因为eeq \o\al(2,1)＝eeq \o\al(2,2)＝1，所以B正确；对于C，因为(e1－e2)·(e1＋e2)＝eeq \o\al(2,1)－eeq \o\al(2,2)＝0，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，e1在e2方向上的投影向量为cos θe2，所以D错误． 答案　ABC 4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影向量是eq \f(2,3)b，则a·b为_______. 解析　由向量的数量积的几何意义，得a·b＝eq \f(2,3)b·b＝6. 答案　6 题型一　向量的数量积、投影向量 (2)如图所示，在▱ABCD中，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝4，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝3，∠DAB＝60°，求： ①eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))；②eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))；③eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(DA,\s\up16(→))；④eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(CB,\s\up16(→))上的投影向量． [解析]　(1)①a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)①因为eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))，且方向相同， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角是0°， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝|eq \o(AD,\s\up16(→))||eq \o(BC,\s\up16(→))|cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→))，且方向相反，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角是180°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(CD,\s\up16(→))|cos 180°＝4×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝－16. ③因为eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))的夹角为60°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(DA,\s\up16(→))的夹角为120°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(DA,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(DA,\s\up16(→))|cos 120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6. ④因为eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))的夹角为60°，而eq \o(CB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))方向相反，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))的夹角为120°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(CB,\s\up16(→))上的投影向量为：(|eq \o(AB,\s\up16(→))|·cos 120°)·eq \f(\o(CB,\s\up16(→)),|\o(CB,\s\up16(→))|)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \f(\o(CB,\s\up16(→)),3)＝－eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→)). 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. [触类旁通] 1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))，则eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝_______. 解析　因为eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→)). 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)， 所以2|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AD,\s\up16(→))|coseq \f(π,4)， 化简得|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2eq \r(2). 故eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))·(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＋eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝(2eq \r(2))2＋2eq \r(2)×2coseq \f(π,4)＝12. 答案　12 题型二　向量模的有关计算 A．eq \r(3)　 B．2eq \r(3)　　　 C．4　　　 D．12 (2)(2021·全国卷Ⅱ)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝_______. [解析]　(1)|a＋2b|＝eq \r(a＋2b2) ＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2) ＝eq \r(|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2) ＝eq \r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4)＝2eq \r(3). (2)∵|a－b|＝5， ∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25， ∴|b|＝3eq \r(2). 故答案为3eq \r(2). [答案]　(1)B　(2)3eq \r(2) 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. [触类旁通] 2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝_______. 解析　法一　由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1， 所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1， 所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(1＋1＋1)＝eq \r(3). 法二　如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1， 所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°， 所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1， 所以a·b＝eq \f(1,2)， 所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq \f(1,2)＋1＝3， 所以|a＋b|＝eq \r(3). 答案　eq \r(3) 题型三　向量的夹角与垂直问题(一题多变) (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． (1)[解析]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0. 当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k>0且k≠1. [答案]　(0,1)∪(1，＋∞) (2)[解析]　由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，　　①,7a2－30a·b＋8b2＝0， ②)) ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2). ∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3). [母题变式] 1．(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k<0，∴k<0. 当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围是k<0且k≠－1. 2．(变条件、变结论)将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,3)”，求k的值． 解析　由已知得|e1＋ke2|＝eq \r(e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2))＝eq \r(1＋k2)， |ke1＋e2|＝eq \r(k2e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq \r(k2＋1)， (e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则coseq \f(π,3)＝eq \f(e1＋ke2·ke1＋e2,|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq \f(2k,1＋k2)， 即eq \f(2k,1＋k2)＝eq \f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0， 解得k＝eq \f(4±\r(12),2)＝2±eq \r(3). [素养聚焦]　通过夹角、垂直等问题，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．求向量夹角的基本步骤 2．向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题. [触类旁通] 3．(多选题)(2023·福州八中期中)设e1，e2为单位向量，满足|2e1－e2|≤eq \r(2)，a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，设a，b的夹角为θ，则cos 2θ的可能取值为(　　) A.eq \f(19,20)　　 　B.eq \f(20,29)　　 　C.eq \f(28,29)　 　　D.1 解析　设单位向量e1，e2的夹角为α，由|2e1－e2|≤eq \r(2)，两边平方得5－4cos α≤2， 解得eq \f(3,4)≤cos α≤1，又a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2， ∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋e2))2)＝eq \r(2＋2cos α)， 同理|b|＝eq \r(10＋6cos α)， 且a·b＝4＋4cos α， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(4＋4cos α,\r(2＋2cos α)·\r(10＋6cos α))＝eq \f(2\r(2)×\r(1＋cos α),\r(10＋6cos α))， ∴cos 2θ＝eq \f(4＋4cos α,5＋3cos α)， 则cos2θ＝eq \f(4＋4cos α,5＋3cos α)＝eq \f(4,3)－eq \f(\f(8,3),5＋3cos α)， ∵eq \f(3,4)≤cos α≤1，∴eq \f(29,4)≤5＋3cos α≤8， ∴eq \f(\f(8,3),5＋3cos α)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(32,87))). 所以eq \f(4,3)－eq \f(\f(8,3),5＋3cos α)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28,29)，1))， 即cos 2θ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28,29)，1))，故选CD. 答案　CD [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 向量数量积的运算 [典例]　在△ABC中，已知∠A＝120°，AB＝AC＝1，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝________. eq \a\vs4\al([解析]　过点A作AD⊥BC，垂足为D.,因为∠BAC＝120°，AB＝AC＝1，,所以∠ABC＝∠BCA＝30°，BC＝2BD＝,2ABcos B＝2×1×\f(\r(3),2)＝\r(3).)　 eq \x(\a\al(易错警示：向,量与向量的,夹角易忽视,共始点而出,现错误.)) eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(BC,\s\up16(→))|cos 150°＝1×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(3,2)， eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝|eq \o(BC,\s\up16(→))||eq \o(CA,\s\up16(→))|cos 150°＝eq \r(3)×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(3,2). eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝|eq \o(CA,\s\up16(→))||eq \o(AB,\s\up16(→))|cos 60°＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(3,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝－eq \f(5,2). [答案]　－eq \f(5,2) [纠错心得]　(1)正确理解向量夹角的概念：在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此时要注意让两个向量共始点才能找准向量的夹角，如本例中eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角是角B的补角而不是角B. (2)巧用数量积的运算简化运算：数量积的运算中，逆用和巧用运算律可以凑出满足向量加法(减法)三角形法则，从而简化运算，如本例中eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))·(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→)))＝－eq \o(BC,\s\up16(→))2＝－3. 知识落实 技法强化 (1)数量积的定义，性质及运算律. (2)投影与投影向量. (3)数量积的运算及应用. (1)投影向量与投影数量的区别. (2)〈a，b〉∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))⇔a·b＜0且a，b不共线. 〈a，b〉∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))⇔a·b>0且a，b不共线. $$