9.2.1 第2课时 向量的减法运算(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第9章　平面向量 9.2　向量运算 9.2.1　向量的加减法 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第2课时　向量的减法运算 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 向量加减法 a－b 差 终点 终点 a＋(－b) 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.能用相反向量说出向量减法的意义．(难点) 2.掌握向量的减法运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点) 1.类比数的运算，探究向量减法运算和三角形法则，培养数学抽象和数学建模等核心素养. 2.通过向量加法进行向量的减法运算，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 1.向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为________.求两个向量___的运算，叫作向量的减法． 2．几何意义 如图，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b.则向量a－b＝___. 即当向量a，b起点相同时，从b的_____指向a的_____的向量就是a－b. 3．性质：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即a－b＝_________. eq \o(BA,\s\up16(→)) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC中，eq \o(BA,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，则eq \o(CA,\s\up16(→))＝a－b.(　　) (2)两个相等向量的差是零．(　　) (3)任意两个向量的差都能用三角形法则表示．(　　) (4)向量的减法是向量加法的逆运算．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝0　　　　 B.eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)) C.eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→)) D.eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝0 答案　ABD 解析　eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(BF,\s\up16(→)). 答案　eq \o(BF,\s\up16(→)) 3.eq \o(PA,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→))＝_______. 解析　eq \o(PA,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→)). 答案　eq \o(BA,\s\up16(→)) 4.eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(DB,\s\up16(→))＝_______. 题型一　向量减法的几何意义(一题多解) [解析]　法一　如图①，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，连接BC， 则eq \o(CB,\s\up16(→))＝b－c. 过点A作ADeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，连接OD， 则eq \o(AD,\s\up16(→))＝b－c， 所以eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋b－c. 法二　如图②，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，连接OB，则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b， 再作eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，连接CB， 则eq \o(CB,\s\up16(→))＝a＋b－c. 法三　如图③，在平面内任取一点O， 作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，连接OB，则eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b， 再作eq \o(CB,\s\up16(→))＝c，连接OC，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. [触类旁通] 1. 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解析　在平面内任取一点O， 作向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则向量eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b，再作向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝c， 则向量eq \o(CA,\s\up16(→))＝a－b－c. 题型二　向量的减法运算(一题多解) (1)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→)))＋(－eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(MO,\s\up16(→)))； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→)). [解析]　(1)法一　原式＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→)))＋(eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→)))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→)). 法二　原式＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→)))＋eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MO,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋0eq \a\vs4\al(＝) eq \o(AB,\s\up16(→)). (2)法一　原式＝eq \o(DB,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→)). 法二　原式＝eq \o(AB,\s\up16(→))－(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→)). 向量减法运算的常用方法 [触类旁通] 2．化简下列向量表达式： (1)eq \o(OM,\s\up16(→))－eq \o(ON,\s\up16(→))＋eq \o(MP,\s\up16(→))－eq \o(NA,\s\up16(→))； (2)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(BM,\s\up16(→)))＋(eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(MC,\s\up16(→)))． 解析　(1)eq \o(OM,\s\up16(→))－eq \o(ON,\s\up16(→))＋eq \o(MP,\s\up16(→))－eq \o(NA,\s\up16(→))＝eq \o(NM,\s\up16(→))＋eq \o(MP,\s\up16(→))－eq \o(NA,\s\up16(→))＝eq \o(NP,\s\up16(→))－eq \o(NA,\s\up16(→))＝eq \o(AP,\s\up16(→)). (2)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(BM,\s\up16(→)))＋(eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(MC,\s\up16(→)))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋(eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→)))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋0eq \a\vs4\al(＝) eq \o(AD,\s\up16(→)). 题型三　向量加减法的综合应用(一题多变) o(AB,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　(1)在四边形ABCD中，＝eq \o(DC,\s\up16(→))，若|eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形　　　　　　 B．矩形 C．正方形 D．不确定 (2)已知|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝9，求|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|的取值范围． (1)[解析]　∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵|eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))|，∴|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝|eq \o(CA,\s\up16(→))|. ∴四边形ABCD为矩形． [答案]　B (2)[解析]　∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up16(→))|－|\o(AD,\s\up16(→))|))≤|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|≤|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|， 且|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝9，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6，∴3≤|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|≤15. 当eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))同向时，|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|＝3； 当eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))反向时，|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|＝15. ∴|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|的取值范围为[3,15]． [母题变式] 1. (变条件，变结论)将本例(2)的条件改为“|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝8，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝5”，求|eq \o(BD,\s\up16(→))|的取值范围． 解析　因为eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝8，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝5， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AD,\s\up16(→))|－|\o(AB,\s\up16(→))|))≤|eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))|≤|eq \o(AD,\s\up16(→))|＋|eq \o(AB,\s\up16(→))|， 所以3≤|eq \o(BD,\s\up16(→))|≤13， 当eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))同向时，|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝3； 当eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))反向时，|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝13. 所以|eq \o(BD,\s\up16(→))|的取值范围是[3,13]． 2．(变条件，变结论)在本例(2)条件不变的条件下，求|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|的取值范围． 解析　由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up16(→))|－|\o(AD,\s\up16(→))|))≤|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|≤|eq \o(AB,\s\up16(→))|＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|，∵|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝9， ∴3≤|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|≤15. 当eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))同向时，|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|＝15； 当eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))反向时，|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|＝3. 3．(变条件，变结论)本例(2)中条件“|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝9”改为“|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝9”，求|eq \o(AD,\s\up16(→))|的取值范围． 解析　eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))，又|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|， 由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(BD,\s\up16(→))|－|\o(BA,\s\up16(→))|))≤|eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))|≤|eq \o(BD,\s\up16(→))|＋|eq \o(BA,\s\up16(→))|，∴3≤|eq \o(AD,\s\up16(→))|≤15. [素养聚焦]　通过向量加减法的综合应用，直观想象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示. [触类旁通] 3．在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，O为平面上一点，且满足eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))，则四边形ABCD的面积为(　　) A．eq \r(3)　 B．2eq \r(3)　　　 C．4eq \r(3)　　　 D．4 解析　∵eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))，∴eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))，即eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))，∴BAeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))CD， ∴四边形ABCD为平行四边形，又AB＝AD， ∴平行四边形ABCD为菱形． 如图，连接AC，∵∠BAD＝120°， ∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴四边形ABCD的面积为eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×2＝2eq \r(3)，故选B. 答案　B [缜密思维提能区]　　　　　　　易错案例　　 向量加、减法运算 [典例]　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则OD＝________(用a，b，c表示)． [解析]　因为eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))， eq \a\vs4\al(\o(BA,\s\up16(→))＝\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→))，,\o(CD,\s\up16(→))＝\o(OD,\s\up16(→))－\o(OC,\s\up16(→))，―→,所以\o(OD,\s\up16(→))－\o(OC,\s\up16(→))＝\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→))，,\o(OD,\s\up16(→))＝\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→))＋\o(OC,\s\up16(→))，,所以\o(OD,\s\up16(→))＝a－b＋c.)eq \x(\a\al(易错警示：忽视几,何图形的性质和,相等向量的定义,及在处理向量减,法时字母顺序出,错，导致错误.)) [答案]　a－b＋c. [纠错心得]　向量加减法的几何意义的两个关注点 (1)重视向量知识与平面几何知识的结合：利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线． (2)记准向量减法的几何意义：根据向量减法的几何意义作两个向量差的基本步骤是：作平移，共起点，两尾连，指被减． 知识落实 技法强化 向量减法的定义、几何意义，相反向量. 恰当的构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，要灵活运用平面图形的性质. $$