导数与函数的单调性、极值、最值、导论单调性导学案-2025届高三数学二轮专题复习

2025届高三二轮复习微专题（两课时） ——导数二：导数与函数的单调性、极值，最值，讨论单调性2025-3-29 【知识点】 一、导数法求函数的单调区间： 1.用导数求函数的单调性的步骤： （1）定义域优先； （2）求； （3）令，并列表“，，”； （4）写出的单调区间. 注：①含有“”要提取，且恒为正； ②有分式要通分； ③要尽可能的因式分解. 2.三次函数为单调函数： 已知（），则，图像关系如下表 （1）在上递增； （2）在上递减； 注：任意一个三次函数的图像都是中心对称的. 3.已知单调性：若在区间上为增函数（减函数），则（）在区间上恒成立. 二、运算相关： 1.因式分解以下式子： （1） ；（2） ； （3） ；（4） . 2.指（对）数式方程： ； ； 三、讨论的单调性讨论的符号.（常常借助导函数的“正负图”来得到原函数的“单调图”）. 【例题】 一、先单调性，再极值： 例1.函数的极小值点为 ，极小值为 ； 例2.函数的极小值点为 ，极小值为 ； 二、求单调区间要定义域优先： 例3.函数的递增区间是 ，递减区间是 . 例4.求函数的单调区间 三、含有三角的函数 例5.（多选题）函数在以下哪个区间上是增函数（ ） A. B. C. D. 例6.函数在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A.，3 B.，3 C.，2 D.，2 四、已知函数单调性，求参数范围： 例7.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例8.若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围是 (　 　) A．(－∞，0] B. C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 四、三次函数： 例9.已知在R上是增加的，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 例10.(多选)(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数，则(　　) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 五、讨论函数的单调性： 例11.（“一次型”）（2017年课标Ⅲ卷理·第21题（1））已知函数，求，若，求的值； 例12.（“类一次型”）（2024年新课标全国Ⅱ卷第16题（2））已知函数，若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 例13.（不可分解的“二次型”）(2021·高考全国卷乙(文)，T21)已知函数，讨论的单调性. 例14.（可分解的“类二次型”）（2016高考新课标1文数（1））已知函数，讨论的单调性. 【练习】 一、选择题 1.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．若曲线在处取极值，则实数的值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知函数没有极值，则实数的取值范围是(　 　) A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞) 4．(2022·高考全国卷乙(文))函数在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　 ) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 5．(2022·高考全国卷甲(理))当时，函数取得最大值，则(　　) A．－1 B．－ C． D．1 6.（2023新高考ⅡT6） 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. e C. D. 7．（多选题）（2013新课标Ⅱ改编）已知函数，下列结论中正确的是（ ） A． B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点，则在区间单调递减 D．若是的极值点，则 二、填空题 8．函数的单调递增区间为 . 9．(2020·高考全国卷ⅠT21（1）改编)已知函数的递增区间是 ， 递减区间是 . 10．(2021·高考全国卷甲(理)T21（1）改编)已知函数的递增区间是 ， 递减区间是 . 三、解答题： 11.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理·第21题（1）)已知函数，讨论的单调性； 12.（2011年浙江文·第21题改编）设函数，求的单调区间； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三二轮复习微专题（两课时） ——导数二：导数与函数的单调性、极值，最值，讨论单调性2025-3-29 【知识点】 一、导数法求函数的单调区间： 1.用导数求函数的单调性的步骤： （1）定义域优先； （2）求； （3）令，并列表“，，”； （4）写出的单调区间. 注：①含有“”要提取，且恒为正； ②有分式要通分； ③要尽可能的因式分解. 2.三次函数为单调函数： 已知（），则，图像关系如下表 （1）在上递增； （2）在上递减； 注：任意一个三次函数的图像都是中心对称的. 3.已知单调性：若在区间上为增函数（减函数），则（）在区间上恒成立. 二、运算相关： 1.因式分解以下式子： （1） ；（2） ； （3） ；（4） . 2.指（对）数式方程： ； ； 三、讨论的单调性讨论的符号.（常常借助导函数的“正负图”来得到原函数的“单调图”）. 【例题】 一、先单调性，再极值： 例1.函数的极小值点为 ，极小值为 ； 解：∵的图像是开口向上的抛物线，当时，函数取得极小值为 例2.函数的极小值点为 1 ，极小值为 -1 ； 解：∵ ∴， 令，得或，则的符号与的单调性关系如下 + 0 - 0 + ↑ ↓ ↑ ∴的单调递增区间是， 单调递减区间是 ∴在处取得极小值 小结：①常见函数的单调性不需要求导（一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，胜利函数，对勾函数，正弦函数，余弦函数，正切函数）； ②极值点不同于极值，极值点指横坐标值，极值指纵坐标值； ③求极值前，先求单调性. 二、求单调区间要定义域优先： 例3.函数的递增区间是 ， ，递减区间是 ， . 解：∵的定义域为 ∴， 令，得或，则的符号与的单调性关系如下 画出的正负图： ( 1 ) 从而得到的单调图： ∴的单调递增区间是， 单调递减区间是， 例4.求函数的单调区间 解：的定义域 令导数解得：（通过定义域大大化简解不等式的过程） ∴的单调递增区间是，单调递减区间是. 小结：①求单调区间之前定义域优先考虑； ②导数正负与原函数的单调性，可借助简图表示，既直观又扼要，注意的实际图像如下，并非解答中的图像，因为我们解题时画的是“函数的单调图”，它仅有单调性是准确的（也因此把轴画虚线，表示不确定）. 三、含有三角的函数 例5.（多选题）函数在以下哪个区间上是增函数（ ） A. B. C. D. 解：，由与的符号可知 当或时， 所以在和上是增函数. 例6.函数在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A.，3 B.，3 C.，2 D.，2 四、已知函数单调性，求参数范围： 例7.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则， 所以在上递增，又， 所以. 所以的取值范围是. 故选：B 例8.若函数f(x)＝－ln x－－ax－b在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是 (　B　) A．(－∞，0] B. C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因为f(x)＝－ln x－－ax－b(x>0)， 所以f′(x)＝－+－a.因为函数f(x)在定义域上是增函数，所以f′(x)＝－＋－a≥0，即a≤－＋. 令，则，所以 记，则. 为使，只须，即.选B 四、三次函数： 例9.已知在R上是增加的，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 例9．B 【分析】 由题意得函数的导数大于等于0，可得在上恒成立，利用一元二次函数的图象，即可得到答案； 【详解】 由题意得函数的导数大于等于0，可得在上恒成立， ， 故选：B 例10.（多选题）(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数，则(　　) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 解析: 由题，，令得或， 令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D错误 故选：AC． 【题目栏目】导数\导数的应用\导数与函数的极值\具体函数的极值问题 【题目来源】2022新高考全国I卷·第10题 五、讨论函数的单调性： 例11.（“一次型”）(2017年课标Ⅲ卷理·第21题)已知函数，求，若，求的值； 解：的定义域为，，且， ①当时， ∵，在上递增，则当时，，不满足题意 ∴舍去； ( 0 0 画两图： 的单调图 的正负图 )②当时，令，得 ∵若，则；若，则， ∴的递减区间为，递增区间为，且， （ⅰ）若,在上单调递增，∴当时，矛盾； （ⅱ）若,在上单调递减，∴当时，矛盾； （ⅲ）若,在上单调递减，在上单调递增， ∴满足题意 综上所述. 例12.（“类一次型”）（2024年新课标全国Ⅱ卷·第16题（2））已知函数，若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 解：的定义域为，，且恒成立， ①当时， ∵，在上递增，无极值，不满足题意， ∴舍去； ②当时，令，得， 的正负等同于的正负， 的正负如图（图03）所示，的单调性如图（图04）所示， ( 图 03 导函数正负图 图 04 原函数单调图 ) ∴若，则；若，则； ∴的递减区间为，递增区间为， ∴的极小值为，无极大值， 依题意得，且，则， 令（），则恒成立， ∴在上为增函数，且， 不等式， ∴. 例13.（不可分解的“二次型”）(2021·高考全国卷乙(文)，T21)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，讨论f(x)的单调性. 解：(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a). ①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增； ②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝， 令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；令f′(x)<0，则x1<x<x2. 所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在(－∞，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 例14.（可分解的“类二次型”）（2016高考新课标1文数（1））已知函数，讨论的单调性； 解：∵的定义域为，，且恒正， ①当时，，令，得， ( 图 11 导函数正负图 图 12 原函数单调图 )的正负如图（图11）所示，的单调性如图（图12）所示， ∴若，则；若，则； ∴的递减区间为，递增区间为， ②当时，令，得，， 的符号等同于. （ⅰ）当时，即，即， 的正负如图（图13）所示，的单调性如图（图14）所示， ( 图 13 导函数正负图 图 14 原函数单调图 ) ∴若，则， ∴在上单调递增. （ⅱ）当，即且，即时， 的正负如图（图15）所示，的单调性如图（图16）所示， ( 图 15 导函数正负图 图 16 原函数单调图 ) ∴若或，则；若，则； ∴的递增区间为与，递减区间为. （ⅲ）当，即且，即时， 的正负如图（图17）所示，的单调性如图（图例18）所示， ( 图 17 导函数正负图 图18 原函数单调图 ) ∴若或，则；若，则； ∴的递增区间为与，递减区间为. 综上①②所述： 当时，的递减区间为，递增区间为； 当时，的递增区间为，，递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的递增区间为，，递减区间为； 说明： ①当时，本质是“一次型”；当时，是可分解的“类二次型”，须进一步讨论两根的“大，小，等”三种情况； ②此题讨论的情况较复杂，可用“路线图”直观化梳理如下图（图19）： ( 的情况 当 ，导函数的符号等同 当 ，导函数的符号等同 图 19 分类讨论路线图 ) 【练习】 1.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，再由求解. 【详解】解：因为， 所以， 由，即， 解得， 所以函数的单调递增区间为， 故选：D 2．若曲线在处取极值，则实数的值为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　y′＝2x－，由条件可知，当x＝1时，2－＝0，解得a＝3，当a＝3时，y′＝2x－＝＝， 当y′>0时，x>1，所以函数的单调递增区间是(1，＋∞)， 当y′<0时，－<x<1，所以函数的单调递减区间是，所以当x＝1时，函数取得极小值，满足条件，故a＝3符合题意．故选C. 3.已知函数f(x)＝x3＋(a－1) x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是(　　) A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞) 答案　C 解析　由f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1，得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1. 根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2. 4．(2022·高考全国卷乙(文))函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 4．解析：选D．f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋sin ＋1＝－，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f(x)max＝f＝2＋，f(x)min＝f＝－.故选D． 5．(2022·高考全国卷甲(理))当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 5．解析：选B．由题意知，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2.求导得f′(x)＝－(x>0)，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f′(2)＝－＝－.故选B． 6.（2023新高考ⅡT6） 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. e C. D. 【思路分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 7．（多选题）（2013新课标Ⅱ改编）已知函数，下列结论中正确的是（ ） A． B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点，则在区间单调递减 D．若是的极值点，则 7．ABD【解析】若则有，所以A正确．由得 ，因为函数的对称中心为（0,0）， 所以的对称中心为，所以B正确．由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，D正确．选C． 8．函数的单调递增区间为 . 答案　(0，e) 解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.因为当0<x<e时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)． 9．(2020·高考全国卷ⅠT21（1）改编)已知函数f(x)＝ex＋x2－x的递增区间是 (0，＋∞) ， 递减区间是 (－∞，0) . (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 9．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1. 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 10．(2021·高考全国卷甲(理)T21（1）改编)已知函数的递增区间是 ， 递减区间是 . 10．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)， f′(x)＝(x>0)， 令f′(x)>0，则0<x<，此时函数f(x)单调递增， 令f′(x)<0，则x>，此时函数f(x)单调递减， 所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 三、解答题 11.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理·第21题)已知函数． （1）讨论的单调性； 解：的定义域为， ∵，∴的符号等同于，且恒成立， ①当时，，在上递减； ②当时，令，得；的正负等同于的正负， 的正负如图（图05）所示，的单调性如图（图06）所示， ( 图 06 原函数单调图 图 05 导函数正负图 ) ∴若，则；若，则； ∴的递减区间为，递增区间为. 综上所述：当时，在上递减； 当时，的递减区间为，递增区间为. 说明： ①把导函数因式分解成是第一难点[2]； ②的正负等同于“”的正负； ③注意到中的，其正负等同于“”的正负，属于“类一次型”； 12.（2011年浙江文·第21题改编）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； 解：∵的定义域为，， 且， ( 画两图： 的单调图 的正负图 0 0 )①当时，恒正，令，得， ∵若，则；若，则， ∴的递增区间为，递减区间为； ( 画两图： 的单调图 0 0 的正负图 )②当时，“”恒负，令，得， ∵若，则；若，则， ∴的递增区间为，递减区间为. ③当时，，则在定义域单调递减； 综上所述： 当时，的递增区间为，递减区间为， 当时，的递增区间为，递减区间为， 当时，在定义域上单调递减. 说明： ①导函数有分式要通分，含参二次式常用十字相乘法进行因式分解，再分类讨论； ②若“”恒负，则“”恒正，此时的符号等同. 学科网（北京）股份有限公司 $$