精品解析：2025年内蒙古自治区初中学业水平适应性测试数学试题

2025年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 方便面桶如图放置，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示容器是由两个底面半径不相等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容器注满．在注水过程中，水面高度随注水时间变化的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 点，在二次函数（a，c为常数）图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则其另一个根______． 10. 无人机配送货物便捷高效，已知某款无人机最快移动速度（）与载重后总质量（）是反比例函数关系．当其载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量为时，它的最快移动速度为______． 11. 如图，小明家在学校的正东方向，相距，体育馆在小明家的北偏东方向，在学校的北偏东方向，则小明家与体育馆的距离为______（精确到）． （参考数据，，，，） 12. 如图，在锐角三角形中，，延长到点，使，点在上，，是上不与点，重合的点，连接并延长到点，使，连接并延长交于点，当时，______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 14. 内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； （2）该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； （3）请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． 15. 为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． （1）请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； （2）在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 16. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）求的半径； （3）求的长． 17. 如图，在菱形中，为锐角，是对角线上的一个动点，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，在左侧作，延长分别交于点． ①当，时，求的长； ②如图，在上截取，连接交于点，连接交对角线于点，求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，二次函数（为常数）图象与轴交于点，顶点为，点的坐标为，连接． （1）求二次函数表达式； （2）如图，求证：是等腰直角三角形； （3）如图，分别是线段上的动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试适应性测试 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 方便面桶如图放置，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：主视图是 故选：． 2. 如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用正负数来表示具有相反意义的量，明确方向与符号的对应关系（右为，左为）是解题的关键．以静止位置为原点，向右为正方向（），向左为负方向（）． 【详解】解：小球从静止位置向右，记作， 小球从静止位置向左，记为， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 将一个含角的直角三角尺和直尺如图放置，当时，，，，四个角中与互余的角有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的定义，根据平角的定义和平行线的性质得出与的关系，再根据余角的定义判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，，四个角中与互余的角有和，共个， 故选：． 5. 实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，正确得到，是解题的关键． 根据数轴可知，，然后逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 6. 如图所示容器是由两个底面半径不相等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容器注满．在注水过程中，水面高度随注水时间变化的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据下面圆柱底面积更大，上面圆柱底面积更小，可知一开始水面高度上升的慢，后面上升的更快，而且前后呈直线上升，据此判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵下面圆柱底面积更大，上面圆柱底面积更小， ∴一开始水面高度上升的慢，后面上升的更快，而且前后呈直线上升， 故选：． 7. 如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，三角函数，连接，由矩形的性质及余弦的定义可得，即得，再根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 点，在二次函数（a，c为常数）图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数的对称轴为直线，进而得到抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 、当时，无法得知与的大小关系，故无法判断的大小，该选项错误，不合题意； 、当时，，所以，该选项正确，符合题意； 、当时，，所以，该选项错误，不合题意； 、当，无法得知与的大小关系，故无法判断的大小，该选项错误，不合题意； 故选：． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则其另一个根______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，由一元二次方程根的判别式，进而即可得出方程有两个相等的实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴； 故答案为：． 10. 无人机配送货物便捷高效，已知某款无人机最快移动速度（）与载重后总质量（）是反比例函数关系．当其载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量为时，它的最快移动速度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可求解，求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ∵总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 11. 如图，小明家在学校的正东方向，相距，体育馆在小明家的北偏东方向，在学校的北偏东方向，则小明家与体育馆的距离为______（精确到）． （参考数据，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，过点作于点，设，先解表示出，再解表示出，最后根据列出方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 由题意得，，， 设， 在中，，， 在，， ∵， ∴， 解得， ∴小明家与体育馆的距离约为， 故答案为：． 12. 如图，在锐角三角形中，，延长到点，使，点在上，，是上不与点，重合的点，连接并延长到点，使，连接并延长交于点，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，取中点，连接，作于点，根据中位线定理得，，，则有，由等腰三角形的判定得，通过角所对直角边是斜边的一半得出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，作于点， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质和运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； 本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： （1）估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； （2）该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； （3）请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． 【答案】（1）4800 （2） （3） 解：由条线统计图可知，选择的居民较多，选择旅游的车辆按照分配． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键． （）用乘以选择C的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； （）根据条形统计图分析即可； 【小问1详解】 解：， 答：估计回民区名居民中选择旅游类型C的人数为4800名； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能性结果，其中恰好选中甲、乙的结果有种， ∴恰好选中甲、乙的概率为； 【小问3详解】 略 15. 为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． （1）请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； （2）在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 【答案】（1） （2）块 【解析】 【分析】（）根据题意列出一次函数即可； （）由题意得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴最多可以安装块减速块． 16. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）求的半径； （3）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由可得，即可求证； （）连接，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）过点作交的延长线于点，证明，可得，，即得，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设，则， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为； 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 17. 如图，在菱形中，为锐角，是对角线上的一个动点，连接． （1）如图，求证：； （2）如图，在左侧作，延长分别交于点． ①当，时，求的长； ②如图，在上截取，连接交于点，连接交对角线于点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴； （2）①； ②证明：延长至， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质利用即可求证； （）根据全等三角形的性质和菱形的性质可得，即得，过点作于，由求出即可求解； （）延长至，证明得，即得，再由和可得，即得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于，则，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，二次函数（为常数）图象与轴交于点，顶点为，点的坐标为，连接． （1）求二次函数表达式； （2）如图，求证：是等腰直角三角形； （3）如图，分别是线段上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再根据两点间距离公式求出的长度，进而根据勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的定义即可求证； （）如图，延长至，使，在上取，连接，由线段垂直平分线的性质得，，证明得，即得，又由等腰三角形的性质可得，即得，利用勾股定理得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 解得， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，在上取，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $