10.5分式方程 同步练习 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下 10.5 分式方程 （同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．分式方程的解是（    ） A． B． C．1 D．3 2．若关于x的分式方程有增根，则a的值是（   ） A．1 B．2 C．0 D． 3．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 4．关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 5．对于有理数、，定义一种新运算“”为．例如．则方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 6．我市某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，并属“读书好、读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，“双减”政策落地实施，学生课外作业量减少，自主活动时间增加，小智同学实际每天比原计划每天多阅读30页课外书．实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同，设原计划每天阅读课外书x页．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ． 8．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 9．关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ． 10．若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 11．在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的．求甲乙两班各有多少人？设乙班有x人，依题意，可列方程为 ． 三、解答题 12．解分式方程 (1)． (2)． 13．已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 14．以下是小张同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： ．第一步 ．第二步 ．第三步 经检验，是原方程的根．第四步 任务一：填空：以上解方程的过程中，第___________步开始出现错误； 任务二：请你帮他写出正确的解答过程． 15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，现有如下两个约定： （I）方程的整数解称之为“趣根”； （II）若两个方程存在相同的“趣根”，则称这两个方程为“同源方程”． 已知分式方程与一元一次方程； 请判断方程是否为“同源方程”，并说明理由． 16．课堂上，数学老师展示了两道作业题及其错误的解答过程： 作业题1 作业题2 解分式方程：． 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得    ③ 合并同类项，得    ④ 系数化为1，得    ⑤ 经检验，是原分式方程的解． 化简分式：． 解：   ①     ②    ③ (1)分别写出作业题1，作业题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)从两道作业题中任选一题，写出正确的解答过程． 17．某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠．求至少可购买A种菜苗多少捆？ 18．某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用400元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用880元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批恤衫每件的进价是多少元？ (2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的5件恤衫按六折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后销售额不低于2800元（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？ 19．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副． (1)前期电话询问时羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：乒乓球拍比之前询问时涨价，而羽毛球拍则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了羽毛球拍和乒乓球拍共30副，且购买的费用没有超过2016元，则学校最多购买了多少副羽毛球拍作为奖品？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学下 10.5 分式方程 （同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D A A B A 1．D 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 故选：D 2．D 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先确定最简公分母，令最简公分母为0，求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于a的方程即可． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得， 增根是1， 分式方程去分母，得：， 把代入方程，得：， 解得， 故选D． 3．A 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分当时和当时两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，即整式方程无解； 当时， ∴， ∵分式方程无解， ∴， ∴， 经检验：是方程的解， ∴当或时，关于的分式方程无解， 故选：． 5．B 【分析】此题考查了解分式方程，方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义化简得： ，即， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了列分式方程的应用，理解题意、弄清数量关系是解题关键． 设原计划每天阅读课外书x页，则实际每天阅读课外书页，根据“实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天阅读课外书x页，则实际每天阅读课外书页， 根据题意可得：． 故选：A． 7．2 【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程． 根据题意，将代入分式方程，关于k的方程，求出即可. 【详解】解：将代入分式方程可得： ， ∴， 解得 故答案为：2 8． 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 9．且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 10． 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多5个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 先设乙班的人数为x人，那么甲班人数为人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，据此可以找到一个等量关系，可列出方程． 【详解】解：设乙班有x人，则甲班有人， 根据题意得：． 故答案是：． 12．(1) (2)分式方程无解． 【分析】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，易错点为忽略检验分式方程的根． （1）先将分式转化为整式方程，进行求解，最后检验方程的根； （2）先将分式转化为整式方程，进行求解，最后检验方程的根． 【详解】（1）解：， 同时乘以，得：， 解得：， 当时，， ∴为原分式方程的解； （2）解：， 同时乘以，得：， 化简得：， 解得：， 当时，， 所以，是原分式方程的增根，原分式方程无解． 13．(1) (2)且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将代入方程中求解即可； （2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； （2）解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 14．任务一：一；任务二：无解 【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键． 任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可； 任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以，因此第一步开始出现错误； 任务二：解：， 方程两边同乘以，得 解得， 检验，当时，， ∴不是原方程的根， ∴原方程无解． 15．不是，见解析 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次方程，熟练掌握解分式方程和解一元一次方程的方法是解答本题的关键． 解出分式方程和一元一次方程之后，再结合“同源方程”的定义判断即可． 【详解】解：不是，理由如下： ， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解， 方程没有“趣根”； ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程方程有“趣根”， 综上，方程不是“同源方程”． 16．(1)作业题1：第①步；作业题2：第②步 (2)选作业题1，见解析 【分析】本题主要考查分式的减法和解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）观察解题过程即可得出结论； （2）按照解分式方程的步骤和分式的减法法则进行计算，即可逐一解答． 【详解】（1）解：作业题1：第①步；作业题2：第②步； （2）解：选作业题1：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． 选作业题2： ． 17．(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； (2)至少可购买A种菜苗25捆． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解决此题的关键是要读懂题意，找出等量关系，列出方程即可； 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元； （2）解：设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆， 由题意得：， 解得：， ∴至少可购买A种菜苗25捆， 答：至少可购买A种菜苗25捆． 18．(1)40元 (2)100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，根据第二次所购数量是第一批购进量的2倍，再建立分式方程求解即可； （2）求解两批一共进了：件，设每件恤衫的标价至少是元，根据两批恤衫全部售完后销售额不低于2800元，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）解：设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，则： ，解得：， 经检验是方程的解， 答：该商场购进第一批恤衫每件的进价是40元； （2）解：两批一共进了：（件）， 设每件恤衫的标价至少是元，根据题意可得：， 解得：， 答：每件恤衫的标价至少是100元． 19．(1)前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元 (2)学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元，根据花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副列出方程求解即可； （2）设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，，根据购买奖品的费用没有超过2016元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解；设前期电话询问时乒乓球拍的单价为x元，则羽毛球拍的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：前期电话询问时乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校购买m副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍， 由题意得， 解得， 答：学校最多购买了副羽毛球拍作为奖品． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$