2025年广东省清远市连州市中考数学一模试卷

2025年广东省清远市连州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a3）2＝a5 4．（3分）某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO＝60°，OC＝OD，AB∥CD，则∠BOD的大小为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1）、（2，y2），则y1和y2的大小为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是的中点，∠A＝60°，则∠COD的度数为（　　） A．30° B．35° C．60° D．65° 9．（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 10．（3分）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11．（3分）27的立方根是 　 　 ． 12．（3分）据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到13420000人，13420000这个数用科学记数法表示为　 　 ． 13．（3分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　 　 ． 14．（3分）不等式组的解集为　 　 ． 15．（3分）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 　 　 ． （结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 17．（7分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长． 18．（7分）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议． 20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F线段AB的延长线上且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝1，，求⊙O的半径． 21．（9分）根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为484cm2无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段AB的黄金分割点，设AB＝1，AP＝x，求黄金比x的值． （精确到0.001，参考数据：1.4142，1.7321，2.2361，2.4495） （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线．求证：点D是线段AC的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形ABCD的BC边的中点，以点E为圆心以ED长为半径画弧，交射线BC于点F，过点F作FG⊥BC交射线AD于点G．若AG＝2，请直接写出AB的长． 23．（14分）【建立模型】 （1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明过程： 【类比迁移】 （2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题； 如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； 【拓展延伸】 （3）创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究： 如图3，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC＝45°时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 2025年广东省清远市连州市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B D A C C B 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）﹣2025的相反数是（　　） A．2025 B． C．﹣2025 D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：﹣2025的相反数是2025． 故选：A． 2．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案． 【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a3）2＝a5 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、a3与a2，无法合并，故此选项错误； B、a3•a2＝a5，故此选项正确； C、a3÷a2＝a，故此选项错误； D、（a3）2＝a6，故此选项错误； 故选：B． 4．（3分）某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式可直接求解． 【解答】解：∵现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山， ∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”的概率为． 故选：A． 5．（3分）如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】俯视图是从上面观察几何体所得到的图形． 【解答】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径． 故选B． 6．（3分）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO＝60°，OC＝OD，AB∥CD，则∠BOD的大小为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【分析】由平行线的性质结合等边对等角可得∠DCO＝∠CDO＝60°，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【解答】解：∵∠ABO＝60°，AB∥CD， ∴∠DCO＝∠ABO＝60°， ∵OC＝OD， ∴∠DCO＝∠CDO＝60°， ∴∠BOD＝∠DCO+∠CDO＝60°+60°＝120°，即∠BOD的大小为120°， 故选：D． 7．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1）、（2，y2），则y1和y2的大小为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 【分析】先根据抛物线的对称轴为x＝11及A点的横坐标判断A点关于x＝1对称点的坐标为（3，y1），再根据二次函数的二次函数的增减性进行解答． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1， ∴点（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点坐标为（3，y1）， ∵a＞0， ∴图象的开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大， ∵3＞2， ∴y1＞y2． 故选：A． 8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是的中点，∠A＝60°，则∠COD的度数为（　　） A．30° B．35° C．60° D．65° 【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠COD∠BOD，由圆周角定理得到∠A∠BOD，于是∠COD＝∠A＝60°． 【解答】解：∵点C是的中点， ∴∠COD＝∠BOC∠BOD， ∵∠A∠BOD， ∴∠COD＝∠A＝60°． 故选：C． 9．（3分）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 【分析】根据图象和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 10．（3分）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°，得到∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，由折叠的性质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，由矩形的性质，得到∠BAD＝90°，得到2x+20+2x+20+x＝90，求出x＝10，即可求出∠DAE＝2x°+20°＝40°． 【解答】解：设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°， ∴∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°， 由折叠的性质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠EAD+∠BAD′＝90°， ∴2x+20+2x+20+x＝90， ∴x＝10， ∴∠DAE＝2x°+20°＝40°． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11．（3分）27的立方根是 　3　 ． 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：27的立方根是3， 故答案为：3． 12．（3分）据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到13420000人，13420000这个数用科学记数法表示为　1.342×107　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：13420000＝1.342×107． 故答案为：1.342×107． 13．（3分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　y＝﹣x（答案不唯一）　 ． 【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数、一次函数或二次函数即可． 【解答】解：根据题意有：y＝﹣x． 故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）． 14．（3分）不等式组的解集为　﹣3≤x＜2　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由x+2＜4得：x＜2， 由x+1≤2得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜2， 故答案为：﹣3≤x＜2． 15．（3分）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 　86cm　 ． （结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74） 【分析】作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH+AP即可． 【解答】解：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P， 由题知，AP＝30cm，BC＝60cm，∠ABE＝70°， ∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm）， ∴坐垫C离地面高度约为56.4+30≈86（cm）， 故答案为：86cm． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可． 【解答】解：原式＝4﹣1+22 ＝4﹣1+2 ＝5． 17．（7分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明△BDE是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵DE垂直平分线段AB， ∴EB＝EA， ∴∠EBA＝∠A＝45°， ∴∠BEA＝90°， ∵BD＝DA， ∴DE＝DB＝DAAB＝4， ∴BEBD＝4． 18．（7分）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？ 【分析】设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75x，根据数量，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答． 【解答】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75x元． 根据题意得， 解得x＝80， 经检验x＝80是原分式方程的解，且符合实际， ∴0.75x＝0.74×80＝60． 答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）图①是A，B两款新能源汽车在2023年6月到12月期间月销量（单位：辆）的折线统计图．现网上随机调查网友对A，B两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务等四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 　①③④　 ． ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势； ②2023年6月到12月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定． （2）若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按2：3：3：2的比例计算平均得分，求出B款汽车的平均得分． （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势．请根据上述信息，对生产A款汽车的厂家提出一条改进建议． 【分析】（1）根据统计图数据判断即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【解答】解：（1）由题意得： ①2023年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势，说法正确； ②2023年6月到8月，A款汽车的月平均销量高于B款汽车；9月到12月，A款汽车的月平均销量低于B款汽车，原说法错误； ③2023年6月到12月，A款汽车月销量中位数小于B款汽车，说法正确； ④2023年6月到12月，A款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，说法正确； 所以正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④； （2）84.7（分）， 答：B款汽车的平均得分为84．（7分）； （3）由图①可以看出，2023年6月～12月期间A款汽车月销量呈下降趋势，建议生产A款汽车的厂家加大汽车宣传力度，必要时提高降价速销（答案不唯一）． 20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F线段AB的延长线上且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝1，，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，因为AB是⊙O的直径，所以∠C＝90°，由∠CAB＝2∠EAB，∠EOF＝2∠EAB，得∠EOF＝∠CAB，而∠AFE＝∠ABC，则∠EOF+∠AFE＝∠CAB+∠ABC＝90°，所以∠OEF＝90°，即可证明EF是⊙O的切线； （2）由OB＝OE，BF＝1，得OF＝OB+BF＝OE+1，由sin∠AFE，得OE（OE+1），求得OE＝4，所以⊙O的半径长为4． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠CAB＝2∠EAB，∠EOF＝2∠EAB， ∴∠EOF＝∠CAB， ∵∠AFE＝∠ABC， ∴∠EOF+∠AFE＝∠CAB+∠ABC＝90°， ∴∠OEF＝180°﹣（∠EOF+∠AFE）＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且EF⊥OE， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：∵OB＝OE，BF＝1， ∴OF＝OB+BF＝OE+1， ∵∠OEF＝90°， ∴sin∠AFE， ∴OE（OE+1）， 解得OE＝4， ∴⊙O的半径长为4． 21．（9分）根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为484cm2无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【分析】（1）首先设剪掉的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长为（40﹣2x）cm，然后根据底面积为484cm2列出方程，解出x的值即可； （2）首先设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖长方体盒子的侧面积为S cm2，可写出S关于a的函数表达式，配成顶点式，即可求出最大值． 【解答】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长为（40﹣2x）cm， 根据题意可列方程得：（40﹣2x）2＝484， 解得：x1＝9，x2＝31， ∵40﹣2x＞0，即x＜20， ∴x＝9， 答：剪掉的小正方形的边长为9cm； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖长方体盒子的侧面积为S cm2， 根据题意可得：S＝a•（40﹣2a）＝﹣2（a﹣10）2+200， ∵﹣2＜0，且0＜a＜20， ∴当a＝10时，S有最大值，最大值为200， 答：当剪掉的小正方形的边长为10cm时，折成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值，最大面积为200cm2． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段AB的黄金分割点，设AB＝1，AP＝x，求黄金比x的值． （精确到0.001，参考数据：1.4142，1.7321，2.2361，2.4495） （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线．求证：点D是线段AC的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形ABCD的BC边的中点，以点E为圆心以ED长为半径画弧，交射线BC于点F，过点F作FG⊥BC交射线AD于点G．若AG＝2，请直接写出AB的长． 【分析】（1）解一元二次方程可得出答案； （2）证明△BCD∽△ABC，得出，则可得出结论； （3）由勾股定理求出BE即可得出答案． 【解答】（1）解：根据题意得，， 解得， （舍），． （2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴． ∵BD是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°． ∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C，△BCD∽△ABC． ∴AD＝BD，BC＝BD． 又∵△BCD∽△ABC， ∴， ∴， ∴点D是线段AC 的黄金分割点． （3）解：设BE＝CE＝m， ∴CD＝2m， ∴DEm， 由作图可知，DE＝EFm， ∴BF＝mm， 由作图可知四边形ABFG是矩形， ∴AG＝BF＝2， ∴mm＝2， ∴m， ∴． 23．（14分）【建立模型】 （1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为点D和点E，求证：△ADC≌△CEB，请你写出证明过程： 【类比迁移】 （2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题； 如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； 【拓展延伸】 （3）创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究： 如图3，一次函数y＝﹣3x+3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上存在一点P，连接PA，当∠PAC＝45°时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 【分析】（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE即可； （2）过点B作BG⊥x轴于点G，则∠CGB＝∠AOC＝90°，由旋转得：AC＝CB，∠ACB＝90°，利用AAS可证得△ACO≌△CBG，得出OA＝CG，OC＝BG，OG＝OC+CG＝1+3＝4，进而求得B（4，1），代入y，即可求得答案； （3）过点C作CE⊥AC，且CE＝AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F，则∠CFE＝∠ACE＝∠AOC＝90°，证得△ACO≌△CEF（AAS），得出E（4，1），运用待定系数法可得直线AE的解析式为yx+3，联立方程组即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图1， ∵AD⊥l，BE⊥l， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）如图2，过点B作BG⊥x轴于点G， 则∠CGB＝∠AOC＝90°， ∴∠ACO+∠CAO＝90°， ∵将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段CB， ∴AC＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCG＝90°， ∴∠CAO＝∠BCG， ∴△ACO≌△CBG（AAS）， ∴OA＝CG，OC＝BG， ∵直线y＝﹣3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点C， ∴A（0，3），C（1，0）， ∴OA＝3，OC＝1， ∴CG＝3，BG＝1， ∴OG＝OC+CG＝1+3＝4， ∴B（4，1）， 将B（4，1）代入y，得1， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为y； （3）如图3，过点C作CE⊥AC，且CE＝AC，连接AE交抛物线于P，过点E作EF⊥x轴于点F， 则∠CFE＝∠ACE＝∠AOC＝90°， ∴∠ACO+∠CAO＝∠ACO+∠ECF＝90°， ∴∠CAO＝∠ECF， ∴△ACO≌△CEF（AAS）， ∴OA＝CF＝3，OC＝EF＝1， ∴OF＝OC+CF＝1+3＝4， ∴E（4，1）， 设直线AE的解析式为y＝kx+b，将E（4，1），A（0，3）代入得：， 解得：， ∴直线AE的解析式为yx+3， 联立方程组得， 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$