第一章 特殊平行四边形-综合模拟测试卷 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章　特殊平行四边形 一、选择题 (每题3分，共30分) 1.[2024咸阳期中] 下列说法正确的是(　　) A．平行四边形的邻边平行且相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 D．菱形的四个内角都是直角 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝16，BD＝8，则菱形ABCD的边长为(　　) A．4 B．8 C．8 D．10 3．[教材P26复习题T6变式] 如图，延长正方形ABCD的边BA至点E，使AE＝BD，则∠E的度数为(　　) A．22.5° B．25° C．30° D．45° 4．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．[2025揭阳期中] 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB＝6，AC＝9，则AE的长为(　　) A．14 B. C．15 D. 6．[2024郑州期中] 如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是(　　) A．8 B．8 C．4 D．4 7．[2025枣庄月考] 如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边CD，DA，AB，BC的中点，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(　　) A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC＝BD D．AC⊥BD 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝6，OB＝8，则CE的长为(　　) A. B. C. D. 9．[教材P28复习题T15变式] 如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是(　　) A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2) 10．[2025杭州校级期中] 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，连接EF.给出下列五个结论：①BE＝DF；②BE⊥DF；③EF＝CF；④∠EDF＝∠EBF；⑤ED＝2EC.其中正确结论的个数是(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 (每题3分，共24分) 11.[2025太原校级月考] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，D是AB的中点，则∠ADC＝___________. 12. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是____________(写出一个即可)． 13．如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为，则对角线AC的长为________． 14．[教材P9习题T3变式] 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为________． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，AE平分∠BAD交DC于点E，点F为BE的中点，则线段CF的长为________． 16．如图，在菱形ABCD中，AB⊥BC，点E是AD上一点，过点E作EH⊥BC于点H，点O是EH上一点，过点O作FG⊥EH，分别交AB、CD于点F、G，OE＝OF，AE<DE，则图中正方形有________个． 17. 如图①是一个伸缩晾衣架，如图②是其侧面示意图．MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，且AF＝BF＝CH＝DF＝EH.点B在AN上滑动时，衣架外延部分发生形变，其外延长度(点A和点C间的距离)也随之变化，形成伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42 cm.当点B向点A移动8 cm时，外延长度为90 cm.如图③，当外延长度为120 cm时，BD和GE的间距PQ长为________． 18．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________． 三、解答题 (19题8分，20、21题每题10分，22、23题每题12分，24题14分，共66分) 19.[教材P9习题T1变式] 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN.求证：BM＝BN. 20. 如图，CE，CF分别是∠ACB和△ABC的外角∠ACD的平分线，过点A作CE，CF的垂线，垂足分别为E，F. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，CA平分∠BCD，且AC⊥AB，连接DE，交AC于F. (1)求证：AD＝EC； (2)若∠B＝60°，四边形ABED是什么特殊四边形？请说明理由． 22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两名同学的说法： 小星：连接BE，则可证明BE⊥CD. 小红：连接CE，则可证明CE＝DE. (1)请你选择一名同学的说法进行证明； (2)连接AD，若AD＝5，＝，求AC的长． 23．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF. (1)求证：∠1＝∠2； (2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积． 24．如图，O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)判断OG与BF有什么关系，证明你的结论； (3)若DF2＝8－4，求正方形ABCD的面积． 答案 一、1.C　2.A　3.A　4.A　5.B　6.B 7．D　8.D 9．C　点思路：先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE＝CD及勾股定理可求得OD的长，进而得出点D的坐标． 10．C　点拨：如图，延长BE，交DF于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(SAS)， ∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，即结论①④正确． 由对顶角相等得∠BEC＝∠DEG， ∴180°－∠CBE－∠BEC＝180°－∠CDF－∠DEG， 即∠BCE＝∠DGE＝90°， ∴BE⊥DF，即结论②正确． ∵CE＝CF，∠DCF＝90°， ∴EF＝＝CF，即结论③正确． 无法说明ED＝2EC成立，结论⑤错误． 综上，正确结论的个数是4个． 二、11.50°　12.AE＝AF(答案不唯一)　13.　14. 15.　点拨：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°. ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠DEA＝45°， ∴DA＝DE＝4， ∴CE＝CD－DE＝6－4＝2. 在Rt△BCE中，BE＝＝＝2. ∵点F为BE的中点， ∴CF＝BE＝×2＝. 16．3　17.24 cm　18.6 三、19.证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C. 又∵∠ADM＝∠CDN， ∴△AMD≌△CND(ASA)． ∴AM＝CN. ∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN. 20．(1)证明：∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线， ∴易得∠ACE＋∠ACF＝×180°＝90°，即∠ECF＝90°. ∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形． (2)解：当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形． 理由：∵CE是∠ACB的平分线，∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠ACB＝45°. 又∵∠AEC＝90°， ∴∠EAC＝45°＝∠ACE， ∴AE＝CE. 又∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 21．(1)证明：连接AE. ∵CA平分∠BCD， ∴∠ACE＝∠ACD. ∵E为Rt△ABC斜边BC的中点， ∴AE＝BC＝BE＝EC， ∴∠CAE＝∠ACE， ∴∠CAE＝∠ACD，∴AE∥CD. 又∵AD∥BC， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AD＝EC. (2)解：四边形ABED为菱形． 理由如下： ∵BE＝EC，EC＝AD，∴BE＝AD. 又∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形． ∵BE＝AE，∠B＝60°， ∴△ABE为等边三角形，∴AB＝BE， ∴四边形ABED为菱形． 22．解：(1)选择小星的说法．证明如下： 连接BE.∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形AEDB是平行四边形． ∴AE＝BD. 又∵BD＝CB，∴AE＝CB. 又∵AE∥BD，点D在CB的延长线上， ∴AE∥CB.∴四边形AEBC是平行四边形． 又∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形．∴BE⊥CD. (答案不唯一) (2)∵BD＝CB，＝， ∴＝＝，∴CD＝AC. 在Rt△ACD中，∵AD2＝CD2＋AC2，AD＝5， ∴(5)2＝＋AC2，解得AC＝3. 23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OD＝OB， ∴∠ADO＝∠CBO. ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠ODE＝∠ADO， ∠OBF＝∠CBO， ∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF. ∵∠ODE＝∠OBF，OD＝OB，∠DOE＝∠BOF， ∴△ODE≌△OBF(ASA)， ∴DE＝BF， ∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠1＝∠2. (2)解：由(1)知△ODE≌△OBF， ∴OE＝OF. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥EF，OD＝BD，AD∥BC，AD＝AB， ∴四边形DEBF是菱形，∠BAD＋∠ABC＝180°. 又∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°. 又∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形． ∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°， ∴OD＝BD＝1. ∵∠ODE＝∠ADO， ∴∠ODE＝30°，∴DE＝2OE. 在Rt△DOE中，∵DE2＝OE2＋OD2， ∴4OE2＝OE2＋12，∴OE＝， ∴EF＝2OE＝， ∴四边形BEDF的面积＝BD·EF＝×2×＝. 24．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°. 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)． (2)解：OG∥BF且OG＝BF. 证明：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°. ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE＝∠CBE＝∠CBD＝22.5°. 由(1)知△BCE≌△DCF， ∴∠CDF＝∠CBE＝22.5°. ∴∠BDF＝∠CDB＋∠CDF＝67.5°. ∴∠F＝180°－∠CBD－∠BDF＝67.5°＝∠BDF. ∴BD＝BF. 又∵BE是∠CBD的平分线， ∴DG＝GF. ∵四边形ABCD为正方形， ∴DO＝OB. ∴OG是△DBF的中位线． ∴OG∥BF且OG＝BF. (3)解：设BC＝x，则DC＝x，BD＝x. 由(2)知BF＝BD，∴CF＝BF－BC＝BD－BC＝(－1)x. ∵DF2＝DC2＋CF2， ∴x2＋[(－1)x]2＝8－4，解得x2＝2， ∴正方形ABCD的面积是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$