1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

1.2.2全称量词命题与 存在量词命题的否定 高中数学人教B版(2019)必修一 主讲人： 1 1．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 1．能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的全称量词命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 2．能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律．(数学抽象) 3．能正确地对含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定．(逻辑推理) 4．能利用命题与它的否定只能一真一假解答简单的问题．(逻辑推理) 课标解读 素养目标 2 情境与问题 “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话:“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要，一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想:前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思. 3 尝试与发现 你能说出命题s:“3的相反数是-3”和t:“3的相反数不是-3”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何? 可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，而且，s是真命题，t是假命题. 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题;反之3亦然. 4 1．概念：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作：¬p 读作：非p或p的否定 知识点一　命题的否定 例如：　写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)p：空集是集合A的子集； 解：¬p：空集不是集合A的子集．假命题． (2)q：50是7的倍数； 解：¬q：50不是7的倍数．真命题． (3)r：4是x2－16＝0的； 解：¬r：4不是方程x2－16＝0的根．假命题． (4)s：100既能被4整除，又能被5整除． 解：¬s∶100不能被4整除或不能被5整除．假命题． 5 2．一般地，如何由p的真假判断¬p的真假总结为下表： p ¬p 真 假 假 真 3.常见词语的否定如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 词语的否定 或 一个也没有 至多有(n－1)个 至少有两个 存在一个x不成立 6 1.若记s:“存在整数是自然数” ¬s:“不存在整数是自然数”或每一个整数都不是自然数， 命题s是存在量词命题，符号表示为s:∃x∈Z，x∈N; 命题¬s是全称量词命题，符号表示为¬s:∀x∈Z,x∉N. 显然，s是一个真命题，¬s是一个假命题. 2.若记r:“存在实数的平方小于0”， ¬r:“不存在实数的平方小于0”或“每一个实数的平方都不小于0”. 命题r是存在量词命题，符号表示为r:∃x∈R，x2<0; 命题¬r是全称量词命题，可以用符号表示为¬r：∀x∈R,x2≥0. 显然，r是一个假命题，¬r是一个真命题. 下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定 7 3.若记s:“每一个有理数都是实数”， ¬s：“不是每一个有理数都是实数”或“存在一个有理数不是实数” 命题s是全称量词命题 符号表示为s:∀x∈Q,x∈R 命题¬s是存在量词命题，可以用符号表示为¬s：∃x∈Q，x∉R 显然，这里的s是一个真命题，而¬s是一个假命题. 若记r:“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r和r的关系、符号表示以及真假性. 若用A表示所有素数组成的集合，B表示所有奇数组成的集合，则 r：∀x∈A,x∈B ¬r:∃x∈A，x∉B 因为2是素数且2不是奇数，所以r是假命题，-r是真命题. 尝试与发现 8 知识点二　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．全称量词命题q：∀x∈M，q(x)， 它的否定是¬q：∃x∈M，¬q(x)．2．存在量词命题p：∃x∈M，p(x)， 它的否定是¬p：∀x∈M，¬p(x)． 9 例 1(教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)p: ∀x∈R， x2≥-1; (2)q:∀x∈{l,2,3,4,5}, ; (3)s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形, 解(1)¬p：:ヨx∈R，x2<-1，由p是真命题可知¬p是假命题 (2)¬q:ヨx∈{1，2，3，4，5}， ，将集合中的元素逐个验证，当x=1时不等式成立，因此¬q是真命题 (3)¬s:所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以¬s是假命题 10 例2（教材）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)p:ヨa∈R，一次函数y=x+a的图象经过原点; (2)q:∀x∈(-3，十∞)，x2>9. 解(1)¬p:∀a∈R，一次函数y=x+a的图象不经过原点. 因为当a=0时，一次函数y=x+a的图象经过原点， 所以¬p是假命题 (2)¬q:ヨx∈(-3，十∞)，x2≤9. 因为x=0时，x2=0<9，所以¬q是真命题 11 巩固练习 1．命题“∀x∈R，x3＋1≥0”的否定是(　C　)A．∃x∈R，x3＋1≥0 B．∀x∈R，x3＋1＜0C．∃x∈R，x3＋1＜0 D．∀x∈R，x3＋1≤0解析：命题的否定为∃x∈R，x3＋1＜0. 2．命题“∀x∈，x2＋1＜x”的否定为(　D　)A．∃x∈，x2＋1≥x B．∃x∈，x2＋1＞xC．∃x∈，x2＋1＞x D．∃x∈，x2＋1≥x 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，即命题“∀x∈，x2＋1＜x”的否定是“∃x∈，x2＋1≥x”． 12 3.已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若¬p为假命题，求实数m的取值范围．解：因为¬p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图象恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)＜0，即m＞－4，故实数m的取值范围为{m|m＞－4}． 13 4.已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5＞0，若¬p为假命题，求实数m的取值范围．解：因为¬p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5＞0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的最高点在x轴上方，即图象与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)＞0，即m＞4，故实数m的取值范围为{m|m＞4}． 14 本节要点回顾 1.命题的否定 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 15 感谢观看！ 16 $$