专题01 二次根式（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

专题01 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式有意义的条件（易错） · 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） · 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） · 题型四 复合二次根式化简（难点） · 题型五 二次根式的混合运算（易错） · 题型六 二次根式的应用（高频） · 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） · 题型八 分母有理化（难点） · 题型九 比较二次根式的大小（高频） · 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） · 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 题型一 二次根式有意义的条件（易错） 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）当 时， 的值最小． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，那么 ． 4．（2024·江苏苏州·一模）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） 5．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 6．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 7．（20-21八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足，求的值． 8．（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 11．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（　　） A．1 B．13 C． D． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： （填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ． A．            B． （2）化简：． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 题型四 复合二次根式化简（难点） 15．（22-23八年级下·贵州遵义·期末）阅读下列材料，解决问题： ①∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∴ …… 由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简． (1)化简：； (2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由. 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 17．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 题型五 二次根式的混合运算（易错） 18．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)(2) 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)；(2)． 题型六 二次根式的应用（高频） 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）设．为实数，且 (1)求； (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 22．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 24．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    题型七 根据最简二次根式求参数（高频） 25．（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 26．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 27．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 28．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 题型八 分母有理化（难点） 29．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 题型九 比较二次根式的大小（高频） 32．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 33．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 34．（19-20八年级下·浙江·期中）先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） 35．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 36．（23-24八年级下·浙江台州·期中）阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 37．（2024八年级下·浙江·专题练习）求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 38．（2024八年级下·浙江·专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析：与解答的（见表） 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值． ，， ， 39．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 40．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 41．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． $$专题01 二次根式（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式有意义的条件（易错） · 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） · 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） · 题型四 复合二次根式化简（难点） · 题型五 二次根式的混合运算（易错） · 题型六 二次根式的应用（高频） · 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） · 题型八 分母有理化（难点） · 题型九 比较二次根式的大小（高频） · 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） · 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 题型一 二次根式有意义的条件（易错） 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）当 时， 的值最小． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵0， ∴当，即时，的值最小． 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，代数式求值． 先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴ ∴． 故答案为：1． 4．（2024·江苏苏州·一模）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式以及分式有意义的条件得到，进行求解即可． 【详解】解：式子有意义， ， ， 故答案为：． 题型二 根据二次根式非负性求解（高频） 5．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．（20-21八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 8．（23-24八年级下·浙江金华·期中）（1）若实数满足等式，求的值； （2）已知，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查代数式求值，涉及非负式和为零的条件、立方根、二次根式有意义的条件、平方根等知识，熟记相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据非负式和为零的条件求出实数，代入代数式，根据立方根定义求解即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件求出实数，代入代数式，将值代入代数式，根据平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ，解得， ； （2） ， ，且， ，则， ，则的平方根是． 题型三 利用二次根式的性质化简（高频） 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数式规律探究，总结归纳出数式变化规律是解题的关键． 通过观察，归纳总结出规律为，再把代入即可求解． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 11．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（　　） A．1 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据三角形的三边关系确定k的取值范围，由此即可求出二次根式的值与绝对值的值，再计算即可解答．本题主要考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握化简的方法是解答本题的关键． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为1，，3， ，即 又， ，， 原式． 故选：A． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）（1）求代数式的值，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程： （填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ． A．            B． （2）化简：． 【答案】（1）小亮，A；（2）当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握：，是解题的关键： （1）结合即可判断； （2）根据，进行化简求值即可． 【详解】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质； 故答案为：小亮，A； （2）， ∴当时，原式；当时，原式． 14．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，解答后面的问题： 在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如： ①要使二次根式有意义，则需，解得：； ②化简：，则需计算， 而 ， 所以 ． (1)根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围； (2)利用①中的提示，请解答：如果，求的值； (3)利用②中的结论， 计算：． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）根据二次根式成立的条件求解即可； （2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可； （3）利用②中的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 题型四 复合二次根式化简（难点） 15．（22-23八年级下·贵州遵义·期末）阅读下列材料，解决问题： ①∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∴ …… 由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简． (1)化简：； (2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由. 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）根据例题以及二次根式的性质，进行计算即可求解； （2）先化简双重二次根式，然后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）能，理由如下， ∵ ∴ ∵， ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能构成三角形 【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 17．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 题型五 二次根式的混合运算（易错） 18．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键中熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 先根据乘方的意义，把、化成、，再求出它们的末位数字，从而可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，…，每4个一循环， ∵， ∴的末位数字为6． ∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：3，9，7，1，3，9，… ∵， ∴的末位数字为1． ∴的末位数字为：． 故选：D． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和利用二次根式乘法进行合并化简，最后再合并即可． （2）先利用完全平方公式，平方差公式将式子展开，然后根据二次根式的混合运算求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 20．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式的乘除，最后再计算加减法即可； （2）先化简二次根式和计算完全平方式，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型六 二次根式的应用（高频） 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）设．为实数，且 (1)求； (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 【答案】(1) (2)或1 【分析】本题考查了二次根式的应用： （1）根据非负数的性质求出、的值，再代入，计算； （2）根据腰或为腰，两种情况，分别求等腰三角形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ； （2）解：若为腰，为底，此时底边上的高为， 所以，三角形的面积为， 若为底，为腰，此时底边上的高为， 所以，三角形的面积为． 22．（2024八年级下·浙江·专题练习）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：（其中、、为三角形的三边长，为面积）．若已知三角形的三边长分别为5，6，7，试运用公式计算该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据题目中的公式即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，三角形的三边长分别为5，6，7， 则该三角形的面积 ． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解． （1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案； （2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案． 【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积   ； （2）解∶长方体盒子的体积 ． 24．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算； 如图，首先证明右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形，然后求出是边长为的等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 同理可得：右边5个空白三角形都是直角边长为的等腰直角三角形， 而是边长为的等腰直角三角形， ∴阴影部分长方形纸条的总面积为： ， 故答案为：． 题型七 根据最简二次根式求参数（高频） 25．（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 26．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式、同类次根式即可求得的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 28．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可； （2）①根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：二次根式有意义， ， 解得； （2）解：①， 与能合并，并且是最简二次根式， ， 解得； ②由①可得． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 题型八 分母有理化（难点） 29．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出 ； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，再进行化简可求出答案； （2）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （3）根据，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案. 本题考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：反复运用得 ． 30．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【答案】(1)①；②2 (2)22 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题中所给方法可进行求解； ②根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：（1）①； ② ； （2）解： ． 31．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 题型九 比较二次根式的大小（高频） 32．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 33．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 34．（19-20八年级下·浙江·期中）先观察解题过程，再解决以下问题： 比较与的大小． 解：，， ，又， （1）比较与的大小． （2）试比较与的大小． 【答案】（1）＜；（2）＜ 【分析】（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可； （2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：＜； （2）∵()()=1，()()=1， ∴，， 又∵＞， ∴＜，即：＜． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键． 题型十 已知字母的值，化简求值（高频） 35．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 36．（23-24八年级下·浙江台州·期中）阅读材料： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 请你用上述方法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)2024． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、求代数式的值等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式配方变形后，然后再代入计算即可； （2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ， ∴ ． 题型十一 已知代数式的值，化简求值（高频） 37．（2024八年级下·浙江·专题练习）求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据分母有理化把原式化简，代入计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 本题考查的是二次根式的化简求值，分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：（1） ， 当，时，原式； （2）解：，， ，， 原式． 38．（2024八年级下·浙江·专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析：与解答的（见表） 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值． ，， ， 【答案】 【分析】利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式计算即可．本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， ， ，即， ， ． 39．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设，再利用完全平方公式运算求解即可． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 41．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． $$