专题01 相交线与平行线（考题猜想，12大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

专题01 相交线与平行线（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 画垂线、平行线 · 题型二 与垂线有关的计算问题（易错） · 题型三 根据平行线的性质求角的度数（高频） · 题型四 根据平行线的性质探究角的关系（难点） · 题型五 平行线的性质在实际生活中的应用 · 题型六 利用平行线的性质与判定求角的度数 · 题型七 与平行线的性质与判定有关的证明（补全证明过程）（易错） · 题型八 与平行线的性质与判定有关的证明 · 题型九 利用平行线间的距离求解 · 题型十 平行线与旋转综合（压轴） · 题型十一 平行线与折叠综合（压轴） 题型十二 与平行线有关的热考模型（高频） 题型一 画垂线、平行线 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，在内有一点P． (1)过P画；(2)过P画． 2．（20-21七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在7×6的方格中，有两条线段AB，BC．利用方格完成以下操作． (1)过点A作BC的平行线AD（点D在格点上）； (2)过点B作AD的垂线BE（点E在格点上）． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 题型二 与垂线有关的计算问题 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求和的度数． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)连结，若平分，，求的度数． 8．（22-23七年级下·云南昭通·期中）据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 9．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 10．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设． (1)如图1，当点D在点C右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系． 11．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 题型五 平行线的性质在实际生活中的应用 12．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 14．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 15．（20-21七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值． 16．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1) ， ； (2)若灯B射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，问A灯转动多少秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系式是 ． 题型六 利用平行线的性质与判定求角的度数 17．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，直线交于点O，，且．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)䒴点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：． (2)若将沿折叠，使顶点落在点处． ①若点刚好在直线上，求：的度数． ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数． 19．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 20．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 题型七 与平行线的性质与判定有关的证明（补全证明过程） 21．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知：如图，，，试说明：（请按图填空，并补充理由）： 证明：（已知）， ____________________，（               ） __________，（两直线平行，内错角相等） 又（已知） __________，（等量代换） ____________________，（内错角相等，两直线平行）．（               ） 22．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，分别与，交于点G，H．，分别平分，．求证：． 证明：因为， 所以．（                         ） 因为平分， 所以， 同理，__________，所以__________， 所以．（                         ） 补全横线的内容，在括号里填写理由． 23．（23-24七年级下·浙江·期中）根据推理过程，完成填空． 如图，已知，，．判断与是否垂直，并说明理由． 解：∵，（已知） ∴ ，（垂直的意义） ∴ ．（ ） ∴，（ ） 又∵，（已知） ∴ ．（ ） ∴．（ ） ∴ ．（两直线平行，同位角相等） ∴． 24．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，已知于点A，． (1)试说明．（填空） 已知，得，所以______， 又已知，根据______，得，根据______， 得，根据______，得． (2)若，求的度数． 题型八 与平行线的性质与判定有关的证明 25．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 26．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法：                  小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.                  请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 27．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 28．（23-24七年级下·浙江台州·期末）【综合与实践】 如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图2，他们先在纸上画一条线段，利用三角尺和直尺将平移，得到线段，连接，，裁出四边形，连接，在上取点E，F，将三角形，三角形分别沿折叠，得到三角形，点G，H均在上，则有，，，． (1)以下是组员小新证明与平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全． 由画法可得，，（同位角相等，两直线平行）所以，（________） 因为折叠，所以，__________， 所以________=_________，（等量代换）所以（________） (2)组员小潘的说法（）正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由． (3)在制作过程中，小组发现，当的长不少于，且不大于时，闪电形态较美观，若的长均为整数，当最短时，求的长． 题型九 利用平行线间的距离求解 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 30．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)的面积为 ； (2)将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全； (3)连接，则这两条线段之间的关系是 ； (4)点为格点，且（点与点不重合），满足这样条件的点有 个． 31．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 题型十 平行线与旋转综合 32．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．已知，为上两点，连接，，平分交于点，为上一点，连接． (1)求______ (2)如图，为上一点，连接．当时，试说明：； (3)探照灯照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值．   33．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点． ①_________； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点F以每秒的速度逆时针旋转，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，求出此时t的值． 34．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 35．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 题型十一 平行线与折叠综合 36．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 37．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 38．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则________． ②当时，帽子比较美观，求此 时y的值． 39．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． (1)①若，则______°； ②用含x的代数式表示． (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若 ，用含x的式子表示． 题型十二 与平行线有关的热考模型 40．（21-22七年级下·浙江宁波·期中） (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 41．（22-23七年级下·广东揭阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 42．（19-20七年级·浙江金华·期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．    (1)如图（2）所示，已知//，请问，，有何关系并说明理由； (2)如图（3）所示，已知//，请问，，又有何关系并说明理由； (3)如图（4）所示，已知//，请问与有何关系并说明理由． 43．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． $$专题01 相交线与平行线（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 画垂线、平行线 · 题型二 与垂线有关的计算问题（易错） · 题型三 根据平行线的性质求角的度数（高频） · 题型四 根据平行线的性质探究角的关系（难点） · 题型五 平行线的性质在实际生活中的应用 · 题型六 利用平行线的性质与判定求角的度数 · 题型七 与平行线的性质与判定有关的证明（补全证明过程）（易错） · 题型八 与平行线的性质与判定有关的证明 · 题型九 利用平行线间的距离求解 · 题型十 平行线与旋转综合（压轴） · 题型十一 平行线与折叠综合（压轴） · 题型十二 与平行线有关的热考模型 （高频） 题型一 画垂线、平行线 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 2．（20-21七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在7×6的方格中，有两条线段AB，BC．利用方格完成以下操作． (1)过点A作BC的平行线AD（点D在格点上）； (2)过点B作AD的垂线BE（点E在格点上）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的判定画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）如图，线段AD即为所求； （2）如图，线段BE即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：的平行线如图所示； （2）解：的垂线如图所示； （3）解：点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为：； （4）解：根据垂线段最短可知， 故答案为：． 题型二 与垂线有关的计算问题 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，角平分线的有关计算，由平角的定义可得出，由对顶角相等可得出，根据角的和差关系即可得出，由角平分线的定义可得出，再根据角的和差关系即可得出． 【详解】解：∵是直角， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等，掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是正确解答的关键． 题型三 根据平行线的性质求角的度数 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平行线的性质等；由三角形内角和得，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)连结，若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了长方形与折叠性质，平行线的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由折叠性质可得，再由两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）根据角平分线定义以及平行线性质可得，结合即可求出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 8．（22-23七年级下·云南昭通·期中）据图解答下列各题． (1)如图1，已知，求证：； (2)如图2，已知，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，然后根据两直线平行内错角相等的性质解此类题． （1）过E作，利用两直线平行，同旁内角互补和平行线的判定解答即可； （2）过G作，利用两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）证明：过E作， ， ， ， ， ； （2） 解：过G作， ， ， ， ， ， ， ， 即， 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 9．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合题意，得到，由，得到，即可求解； （2）如图所示，过点分别作的平行线，可得，设，结合题意得到，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点分别作的平行线， ∴， ∴，设， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设． (1)如图1，当点D在点C右侧时，若， ①求的度数； ②求证； (2)当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)① ② ③ 【分析】本题考查的是平行线性质的应用及角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的性质是解题关键， （1）①先求，再求，即可求出结论；②先求，证明即可证明结论； （2）分三种情况：当点D在点C 右侧时；当点D在点C 左侧、在点A右侧时；当点D在点A左侧时分别根据平行线的性质求出结论即可； 【详解】（1）解：①，， ， ， ， ， ； ②平分，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如下图：当点D在点C 右侧时，，， ， ， ，， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点C 左侧、在点A右侧时，，， ， ， ，， ， ， 平分， ，即； 如下图：当点D在点A左侧时，，， ， ，， ， 平分， ，即； 11．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． 【小试牛刀】 （1）①若时，求的度数； ②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示） 【变式探索】 （2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【能力提升】 （3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）． 【答案】（1）①；②；（2）不变，；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； ②根据平行线的性质推出，结合题意，根据角平分线的性质，即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解； （3）由得，当时有，得，根据角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即可得出答案． 【详解】（1）①∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ②∵分别平分和， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）与之间的数量关系保持不变；理由如下， ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴； ∴与之间的数量关系保持不变，关系为； （3）∵， ∴， 当时，则有， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型五 平行线的性质在实际生活中的应用 12．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 14．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 15．（20-21七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值为或或或或 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分五种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ． 由题意，， ． ． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图，   由题意，，． ． ∵， ． ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值为或或或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 16．（22-23七年级下·浙江金华·阶段练习）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． (1) ， ； (2)若灯B射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，问A灯转动多少秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系式是 ． 【答案】(1) (2)A灯转动秒或秒，两灯的光束互相平行 (3) 【分析】（1）由题意得，据此即可求解； （2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行；分类讨论时，时，时，时，四种情况即可求解； （3）由题意得，进一步可求得、，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为： （2）解：设A灯转动秒，两灯的光束互相平行 时，即A灯第一次到达射线前 则 ∵ ∴ ∴， 解得：； 时，即A灯第一次转动到之后，未到之前 则 ∵． ∴， ∴， ∴ ， 解得：； 时，即A灯第二次到达射线前 则 ∴， 解得：（舍）； 时，即A灯第二次转动到之后，在灯B射线到达之前 此种情况不存在 综上所述：A灯转动秒或秒，两灯的光束互相平行 （3）解：由题意得： ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，在动态问题中掌握分类讨论的数学思想是解题关键. 题型六 利用平行线的性质与判定求角的度数 17．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，直线交于点O，，且．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定以及性质，角平分线的定义，余角和补角性质； （1）根据题意可已知条件并结合图形进行分析，内错角相等，即可得到答案． （2）根据题意利用平行线得性质角平分线的定义，余角和补角性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， 设， 则， 即，解得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)䒴点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：． (2)若将沿折叠，使顶点落在点处． ①若点刚好在直线上，求：的度数． ②若点落在两平行线之间，且，求：的度数． 【答案】(1)见解析； (2)①；② 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角的和差倍分的计算，掌握平行线的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． （1）根据，可得，根据，即可求解； （2）①根据折叠可得，根据平行线的性质及，可得，由此即可求解；②由折叠可知，根据题意可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明， ， ， ， ； （2）解：①如图2，由折叠可知， ， ， ， ， ； ②如图3，由折叠可知，， ， ， ， ， ， ． 19．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位七年级同学在复习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图1所示摆放，其中，， 、点A，B在直线上，点D，F在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小嵊将三角板向右平移． ①如图2，当点E落在线段上时，求的度数． ②如图1，在三角板平移过程中，连接，记为，为，当点E在左侧时，的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，，，且，若边与另一三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】问题解决：①②是定值，；思维拓展：s或s 【分析】本题考查了动角问题，平行线的判定及性质，角的和差等； 问题解决：①过点E作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差即可求解；②过作交于，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解； 思维拓展：（ⅰ）当时，延长交于点P，①在上方时，由平行线的判定方法及等量代换得，即可求解；②当在下方时，同理可求；（ⅱ）当时，延长交于点I，①在上方时，同理可求；②在下方时，同理可求； 掌握平行线的判定方法及性质，能根据、的不同位置进行分类讨论是解题的关键 【详解】解：问题解决： ①如图，过点E作， ， ， ， ， ； ②是定值，理由如下： 如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， 故为定值； 思维拓展： 由题意得， ， ， （ⅰ）如图，当时，延长交于点P， ①在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； （ⅱ）当时，延长交于点I， ①如图，在上方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②如图，在下方时， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，所有满足条件的t的值为s或s． 20．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 题型七 与平行线的性质与判定有关的证明（补全证明过程） 21．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知：如图，，，试说明：（请按图填空，并补充理由）：    证明：（已知）， ____________________，（               ） __________，（两直线平行，内错角相等） 又（已知） __________，（等量代换） ____________________，（内错角相等，两直线平行） ．（               ） 【答案】见解析 【分析】本题平行线的判定与性质，依据平行线的判定以及性质，即可得到，再根据等量代换即可得出，进而得到，最后依据两直线平行，同位角相等，即可得出结论． 【详解】证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 22．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，分别与，交于点G，H．，分别平分，．求证：． 证明：因为， 所以．（                         ） 因为平分， 所以， 同理，__________， 所以__________， 所以．（                         ） 补全横线的内容，在括号里填写理由． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线的定义． 根据平行线的判定及性质，角平分线的定义推导证明即可． 【详解】证明：因为， 所以．（两直线平行，内错角相等．） 因为平分， 所以， 同理，， 所以， 所以．（内错角相等，两直线平行．） 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行 23．（23-24七年级下·浙江·期中）根据推理过程，完成填空． 如图，已知，，．判断与是否垂直，并说明理由． 解：∵，（已知） ∴ ，（垂直的意义） ∴ ．（ ） ∴，（ ） 又∵，（已知） ∴ ．（ ） ∴．（ ） ∴ ．（两直线平行，同位角相等） ∴． 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行； 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质、垂直的定义求解即可． 【详解】解：∵，(已知)， ∴．(垂直的意义)， ∴．(同位角相等，两直线平行， ∴，(两直线平行，内错角相等)， 又∵，(已知)， ∴．(等量代换)， ∴．(同旁内角互补，两直线平行)， ∴．(两直线平行，同位角相等)， ∴． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行：． 24．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，已知于点A，． (1)试说明．（填空） 已知，得，所以______， 又已知，根据______，得，根据______， 得，根据______，得． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键． （1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可； （2）根据，得到，进而得到，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：已知，得， 所以， 又已知，根据同角的余角相等，得， 根据同位角相等，两直线平行，得， 根据两直线平行，同旁内角互补，得； 故答案为：，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 题型八 与平行线的性质与判定有关的证明 25．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的判定与性质求出，利用邻补角求出即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵平分， ． ， ， ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 26．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践 【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法：                  小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.                  请你选择一位同学的方法，并进行证明： 【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； 【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 探索发现：小刚的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论； 小红的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论； 深入思考：先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论． 拓展延伸：设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数． 【详解】探索发现： 解：小刚的证明如下： 过点作， ， ， ， ， 即； 小红的证明如下： 延长交于点， ， ， 是的一个外角， ， 即； 【深入思考】证明：是的一个外角， ， ， ， ； 【拓展延伸】解：平分，， ， 设， ， ， 在（2）的条件下， ， ， 解得：， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 在（2）的条件下， ， ， 即， 解得：， ． 27．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，已知，． (1)求证：； (2)如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的判定和性质是解题的关键． （1）根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论； （2）过点P作，证明，得到即可解答； （3）过点N、F作，，设，，，根据平行的性质得到，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：过点P作，如图1所示： ， 由（1）得，， ， ， ， （3）解：过点N、F作，，如图所示： ， ． 平分、， ，， 不妨设 ，，， ，① ， ，， ， ，② ， ， ， ， ， 又 ， ，③ 由①②③式可得，，即 28．（23-24七年级下·浙江台州·期末）【综合与实践】 如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图2，他们先在纸上画一条线段，利用三角尺和直尺将平移，得到线段，连接，，裁出四边形，连接，在上取点E，F，将三角形，三角形分别沿折叠，得到三角形，点G，H均在上，则有，，，． (1)以下是组员小新证明与平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全． 由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（________） 因为折叠， 所以，__________， 所以________=_________，（等量代换） 所以（________） (2)组员小潘的说法（）正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由． (3)在制作过程中，小组发现，当的长不少于，且不大于时，闪电形态较美观，若的长均为整数，当最短时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)正确，证明见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，折叠的性质等等： （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程证明即可； （2）由平行线的性质先证明，再由折叠的性质证明，即可证明； （3）由平移的性质得到，由折叠的性质可得，再由得到，进而得到，再结合的长均为整数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（两直线平行，内错角相等） 因为折叠， 所以，， 所以，（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） （2）解：正确，证明如下： ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （3）解：由平移的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵的长不少于，且不大于， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵都是整数， ∴符合题意的的最小值为7，此时的值为4． 题型九 利用平行线间的距离求解 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图 ，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图 ，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          30．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)的面积为 ； (2)将平移后得到，图中标出了点的对应点，请补全； (3)连接，则这两条线段之间的关系是 ； (4)点为格点，且（点与点不重合），满足这样条件的点有 个． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据网格的特点结合三角形面积公式即可求解； （2）根据题意找到平移后点的对应点，顺次连接即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据网格的特点，找到过点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解． 【详解】（1）解：的面积为， 故答案为：． （2）解：如图所示，即为所求 （3）根据平移的特点，可知， 故答案为：． （4）如图，符合题意的点有个 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质是解题的关键． 31．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 【答案】任务1：4；任务2：2；任务3：理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、平行线间的距离，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键． 任务1：先求出三角形的面积为4，再根据三角形和三角形的面积相等即可得； 任务2：先画出图形，根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为4，再根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，由此即可得； 任务3：先根据素材1可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得三角形的面积与三角形的面积相等，再根据三角形的中线可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得四边形的面积与三角形的面积相等，由此即可得． 【详解】解：任务1：∵三角形的面积为，三角形的面积为， ∴三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴三角形的面积为4， 故答案为：4． 任务2：由题意，画出图形如下： ∵在三角形中，是的中点，三角形的面积为8， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， ∵是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， 故答案为：2． 任务3：如图，连接，交于点， ∵， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积， 即三角形的面积三角形的面积， ∵在三角形中，点是的中点， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， 即四边形的面积三角形的面积， ∴直线平分三角形的面积． 题型十 平行线与旋转综合 32．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．已知，为上两点，连接，，平分交于点，为上一点，连接． (1)求______ (2)如图，为上一点，连接．当时，试说明：； (3)探照灯照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或或或或． 【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （）分五种情况画图，列出关于的式子即可解答即可求解； 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当时，则，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若转射线后回旋， 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或或或或． 33．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点． ①_________； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点F以每秒的速度逆时针旋转，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，求出此时t的值． 【答案】（1）①45；②50度；（2）或20或 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理的应用，平行线的性质，垂直的定义． （1）①根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和可得；②等量代换可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，求得，即可求得的度数； （2）根据②中结论，分类讨论：当时，当时，当时，分别求得的度数，进而得解． 【详解】（1）解：① 平分，平分， ，， ， ， 又， 故， 即， ， ，； ②， ， ， ， 又，， ， 故， 解得：， 故， ； （2）解：由②可得，，，，， 当边与射线重合时，所经过的时间为：（秒）， 当时，如图：交于点H， ， ，， ， ， 此时旋转时间为（秒）； 当时，如图：交于点H， ， ， 此时旋转时间为（秒）； 当时，如图：交于点H， ，， 此时旋转时间为（秒）； 综上，满足条件的值为或20或． 34．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 【答案】(1) (2)①12.5秒  ②画图见解析； 【分析】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒    ②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 延长，交于点O，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：； 当，    同理得 当    同理得       同理得 综上可得：t的值为． 35．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 题型十一 平行线与折叠综合 36．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，如图， ∵将长方形纸带沿折叠， ∴， ∴， ∴； ∴当时， ； 故答案为：； （2）当时： 由（1）可知：，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）当时，，解得； 当时，，解得； 故：或． 37．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，求和的度数． ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系． （1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案； （2）①根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案． ②由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，由翻折的性质得：， ． 四边形是长方形， ，， ，， ． （2）解：①如图2，， ， ， ． 由翻折的性质得：， ， ． 继续沿进行第二次折叠， ， ． ②如图3， ， ． 由翻折得， ， ． 继续沿进行第二次折叠， ， ． ， ， ， ． ， ． 38．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则________． ②当时，帽子比较美观，求此 时y的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由可求得，再由折叠的性质得，在中，即可求得答案； （2）①由题意可知，，因此，，进而可得，在中，即可用含x的代数式表示y； ②由①知，，根据，可求得，代入即可求出y的值． 【详解】（1）由题意可知， ， 又， ， 由折叠的性质得：， ， 由折痕角可知： 在中，； （2）①由题意可知，， ，， ， 设度，度，则度， 在中，， ； ②由①知，， ，， 由， ， ， 即， 由①知， ． 39．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． (1)①若，则______°； ②用含x的代数式表示． (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若 ，用含x的式子表示． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由矩形的性质得出，则； ②由折叠的性质得，再由平角的定义求出的度数，再由矩形的性质得出，则，即可得出结果； （2）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由平行线的性质得出，由折叠的性质得，最后由平行线的性质得出，即可得出答案； ②由平行线的性质得出，再由折叠的性质得，即可得出结果． 【详解】（1）解：①由折叠的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：80； ②由折叠的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：①由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 即， 解得：； ②， ， 由折叠的性质得：， ． 题型十二 与平行线有关的热考模型 40．（21-22七年级下·浙江宁波·期中） (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 【答案】(1)65° (2)见解析 (3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论； （2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论； （3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：过P作PE∥l1 ∵l1∥l2 ∴PE∥l2∥l1 ∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65° 即∠A+∠B=65°； （2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4 ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥l3∥l4 ∵l1∥l3（已知） ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等） ∵l3∥l4（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） ∵l2∥l4（已知） ∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180° 又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q ∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°． （3）解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1， ∵， ∴ ∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5， ∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM， ∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5， ∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4． 【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 41．（22-23七年级下·广东揭阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，见解析 【分析】（1）过作，因为，所以，可得，，所以； （2）过点作，因为，所以，可得，，已知，，可得的度数，即得的度数； （3）过点作，因为，所以，可得，，已知，，因为，可得的度数； （4）过点作，因为，所以，可得，，因为，可得． 本题考查了平行线的性质，平行公理，关键是掌握平行线的性质． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：过点作， ，即， ， ， ，即， ， ． 42．（19-20七年级·浙江金华·期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．    (1)如图（2）所示，已知//，请问，，有何关系并说明理由； (2)如图（3）所示，已知//，请问，，又有何关系并说明理由； (3)如图（4）所示，已知//，请问与有何关系并说明理由． 【答案】(1)∠B+∠D=∠BED； (2)∠B+∠BED+∠D=360°； (3)∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D． 【分析】（1）如图，过E作，证明，再利用平行线的性质可得结论； （2）如图，过E作，证明，再利用平行线的性质可得结论； （3）分别过E，F，G作AB的平行线， 证明 再利用平行线的性质可得结论. 【详解】（1）解：如图，过E作，    ∴， ∴∠MEB=∠B，∠MED=∠D， ∴∠B+∠D=∠BED； （2）如图，过E作，    ∴， ∴∠MEB+∠B=180°，∠MED+∠D=180°， ∴∠B+∠BED+∠D=360°； （3）分别过E，F，G作AB的平行线，    同理可得： 则∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D， ∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D， 即，∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D． 【点睛】本题主要考查构造辅助线：平行线，充分运用平行线的性质探究角与角之间的关系是解本题的关键，同时考查了平行公理的应用． 43．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． $$