重难点01 相交线与平行线热考模型（考题猜想，10种几何模型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版2024）

重难点01 相交线与平行线热考模型 （10种题型汇总+专题训练+10种模型解析） 【题型汇总】 题型01 三线八角的识别 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠4与∠6； 3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. 直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD 1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 2）内错角相等：∠3=∠5、∠4=∠6； 3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； 4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8. 解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 1．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1）解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示， (1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角． (2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角． (3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角． (4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角． 【答案】(1)；；；同位 (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键． （1）根据同位角的特征，即可解答； （2）根据内错角的特征，即可解答； （3）根据同旁内角的特征，即可解答； （4）根据内错角的特征，即可解答． 【详解】（1）解：和是、被所截得的同位角， 故答案为：；；；同位； （2）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；； （3）解：和是、被所截而成的同旁内角， 故答案为：；； （4）解：和是、被所截得的内错角， 故答案为：；． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)． 【分析】（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）借助（）（）中的两个基本模型可得结论； （）根据平行线的性质，逐一找出与相等的角可得答案． 本题主要考查了相交线，同位角，内错角，同旁内角，平行线的性质等数学常识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与； 故答案为：，，； （2）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与； 内错角有：与，与，与，与，与，与； 同旁内角有：与，与，与，与，与，与； 故答案为：，，； （3）解：图中共有（）型的基本图形个，（）型的基本图形个，由以上的结论可知， 图中共有同旁内角：． 故答案为：． （4）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 猪蹄模型 猪蹄模型 猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型） 条件 AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠E=∠BCE ∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE 左拐角之和=右拐角之和 辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线. 【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程. 1．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 【答案】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；         （2）过点作直线，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题． 【详解】（1） 过点作,则 而          ∴满足的数量关系是 故答案为： （2） 过点作直线， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以； 因为平分平分， 所以 ． 只同理可证． 以此类推：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，添加辅助线是解题的关键，利用归纳推理的思想解决． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．过点作，根据题意求得，从而，过点H作，同理可求． 【详解】解：如图，过点作 ∴ 分别是和的角平分线 过点H作， 同理可求 故选C． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线定义理解，熟练掌握平行线的判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点H作，过点F作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足． (1)若，求的度数． (2)若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质． （1）由平行线当性质推出，即可求出． （2）延长交反向延长线于K，由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 延长交反向延长线于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点P在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， 图1， ， ，． ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点P在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 题型03 铅笔头模型 铅笔头模型 铅笔头模型-进阶 条件 AB∥DE AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠BCE+∠E=360° ∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540° [类推] 1 如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则 ． 【答案】/32度 【分析】过点G，M，H作，，，根据已知易得：，再利用锯齿模型可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进而可得，最后利用猪脚模型可得，即可解答． 本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点G，M，H分别作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型04 大脚模型 类型 大脚模型 骨折模型 已知 AB∥CD 图示 结论 ∠E=∠1-∠3 即：脚尖度数=大角-小角 ∠E=∠3-∠1 1．（21-22九年级上·吉林·阶段练习）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知 ，，，则 ．    【答案】/30度 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作，   ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C作，结合可得，，结合，即可得到答案． 【详解】解：过C作， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出合适的辅助线，根据平行线性质得到角度关系． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．过点F作，过点E作，易证，推出，，根据题意得，再利用角度之间的和差即可解答． 【详解】解：过点F作，过点E作， ， ， ，， 直线平分，直线平分， ， ， ，， ，即， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． (1)如下图，若，，求的度数； (2)如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 【答案】(1) (2)①， 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差，对顶角相等． （1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质得到，，两式消去，即可解答； ②过作，则，因此，，结合对顶角相等与角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数， 本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， 设，则， ∵，，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 题型05 蛇形模型 条件 AB∥CD 图示 结论 ∠BCD+∠D-∠B=180° ∠BCD+∠B-∠D=180° 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，延长交于点，且与相交于点，利用平行线的性质即可求解，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，且与相交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 题型06 平行平分三等角 解题大招：平行平分得三等角. 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．由平行线的性质得出，，再由等量代换得出，最后求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角平分线的定义等知识，根据对顶角相等得出，再证明，然后由平行线的性质解答即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．    (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据题意可得，进而可知，结合可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得出结论； （2）根据平分线的定义可得，设，则，结合可得关于的一元一次方程，解得的值，可求得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查垂直的定义、平行线的判定和性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 题型07 平行线折叠问题 记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等. ②折叠不改变原先的平行关系. ③以折线为对称轴. 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题．熟练掌握折叠性质，平行线性质，是解题的关键． 两向延长到N和M，由折叠的性质得到，由平角定义求出，由平行线的性质推出，得到，即可求出． 【详解】解：两向延长到N和M， 由折叠的性质得到：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，为一长条形纸带，，将纸带沿EF折叠，，两点分别与C，D对应，若比大，则的度数为 ． 【答案】/71度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据相关性质找出角度之间的数量关系列方程是解题关键．根据题意，设，则，根据平行线和折叠的性质，得到，再利用平角等于列方程，求出，即可得到答案． 【详解】解：比大， 设，则， ， ， 将沿折叠，、两点分别与、对应， ， ，即， ， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，图形的折叠； 分两种情况讨论：当在上方时，延长交于点Q，证明，则；当在下方时，延长交于点T，证明，则． 【详解】当在上方时，延长交于点Q，如图1， 由折叠可得：， ∵ ； 当在下方时，延长交于点T，如图1， 由折叠可得：， ∵ ∴ 故答案为：或． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将一张宽度相等的纸条按如图所示方式折叠，记点的对应点分别为，，折痕为，且交于点． (1)若，则______度． (2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数． (3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求出的度数． （2）根据题意可分成两种情况，当向下翻折时，当向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求出的度数． （3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得，即，代入数值解得，根据对顶角，角平分线的性质，平行线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∴， 故答案为． （2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示： ∵，， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴． 当向上翻折时，交与点，如图所示： 由上可得 ∵ ∴ 根据折叠的性质可得， 综上可得的度数为或． （3）补全图形，如下图所示： 设，则， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 根据折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、对顶角性质、角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型08 三角板拼接模型 常见的三角板与三角板（平行）拼接模型： 类型 两条斜边平行 斜边于直角边平行 两条直角边平行 图示 顶点在斜边上 顶点在直角边上 顶点在边上 顶点重合 【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值. 1．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，其中，，，则下列结论正确的有（    ）   ①； ②如果与互余，则； ③如果，则有； ④如果，必有. A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：如图，点在的延长线上，   ， ， 又， ， 又， ， 即， 故①正确，符合题意； 与互余， ， ， ， ， 与不平行， 故②错误，不符合题意； ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 2．（2023·山西晋中·模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是(    )    A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由余角的性质，得到，由，得到，因为，故和不平行，由，得到． 【详解】解： ＋＋， ， 故A正确； ， ，故B正确； ， ， ， ， 和不平行， 故C错误； ， ， ， ， ， 故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 3．（22-23七年级下·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．    【答案】或 【分析】分和两种情况求解． 【详解】当时， ∵， ∴， ∵， ； 当时， ∵， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级下·广东揭阳·阶段练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角板，三角板绕点在平面内旋转，当（    ）时，．    A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，根据，利用平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示：当时，；    如图所示：当时，， ；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系． 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，一副三角板，其中． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值． (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1) (2)15或60或105或150 (3)30或120 【分析】（1）由题意得，，，，利用平行线的性质可得，即可求得答案； （2）当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解；当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质即可求解； （3）当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质求解即可；当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方或在下方时，分别运用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得，，，， ，， ， ， ； （2）解：如图，当时，延长交于点， ， 当在上方时， ， ， ， ， ， ，即， ； 当在下方时，， ， ， ， ， ， ，即， ； 当时， 当在上方时，，如图，延长交于点， ， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ； 当在下方时，如图，延长交于点， ， 根据题意可知：， ， ， ， ， ， ， 即， 综上所述：所有满足条件的的值为15或60或105或150； （3）解：由题意得，，， 如图，当时，延长交于点 ， 当在上方时， ， ， ， ， ， ，即， ， 当在下方时，， ， ， ， ， ， ，即， （不符合题意，舍去）； 当时，延长交于点， 当在上方时，，如图， ， 根据题意得：， ， ， ， 即， ， ，此时应该在下方，不符合题意，舍去； 当在下方时，如图， ， 根据题意可知：， ， ， ， 即， ， 综上所述：所有满足条件的的值为30或120． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想解决问题． 题型09 直尺与三角板拼接模型综合 类型一 直尺与30°角的三角板拼接 图示 解题方法 利用三线八角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=90° 类型二 直尺与45°角的三角板拼接 图示 解题方法 遇拐点作平行线 三线八角+三角板特殊角求解 三角板特殊角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算. 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，直线，含有角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过B作，推出，由平行线的性质得到，，求出，即可得到． 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角定义，角度计算，平行线性质．根据题意即可算出度数，再利用平行性质即可算出本题答案． 【详解】解：如下图所示： ∵，一块含有角的三角板， ∴， ∵两个顶点放在直尺的一组对边上， ∴， ∴， 故选：B． 3．（22-23七年级上·河南鹤壁·期末）如图，将直尺与含角的直角三角形叠放在一起，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，     ，， ， ∵直尺对边平行， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板（，与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则　　 ； (2)如图2，若点B在直线a的下方，在直线b的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出证明； (3)如图3，若点B在直线b的下方，请写出与之间的关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由余角性质和平行线的性质分析即可； （2）过点B作，然后运用余角性质和平行线的性质解答即可； （3）运用对顶角性质、余角性质和平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N， 由余角性质和平行线的性质可知， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）与的关系：． 证明：过点B作， ∵，． ∴ 由题意可知， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． （3）． 证明：设与直线b交于E点，与直线b交于F点， 则，，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质、余角的性质、平行线的性质等知识点，灵活使用平行线的性质是解答本题的关键． 24．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图， ，直线分别交、于点、，平分，则的度数为 ． 【答案】或度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．根据可得，由平分可得，最后根据平角的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 题型10 等积模型 条件：AB∥CD 图形： 结论：1)2) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 2．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹： (1)画出，线段扫过的图形的面积为______； (2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？ 【答案】(1)10 (2)4 【分析】（1）根据平移的性质得出，线段扫过的面积用矩形面积减去周围个直角三角形面积即可； （2）根据平行线之间的距离处处相等可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 线段扫过的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，作，则点即为所求，共有个， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图——平移变换，平行四边形的面积，平行线的性质等知识，准确画出图形是解题的关键． 3．（21-22七年级下·浙江台州·期中）定理：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等.如图1，若直线a∥b，则有MN=PQ.运用此定理可得结论：如图2，直线a∥b，三角形ABC与三角形BCD，若都将BC看成底，则两三角形的高相等，从而面积相等，可记为S三角形ABC=S三角形BCD. 利用所得结论解决下列问题： (1)图2中，除S三角形ABC=S三角形BCD外，还有其它面积相等的三角形，请你写出所有面积相等的三角形； (2)如图3，已知三角形ABC，平面内有一点D，满足S三角形ABC=S三角形ABD，试画出所有符合题意的点D形成的图形（不要求写作法，作图工具不限）； (3)如图4，在一个88的网格中，我们把小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1.若要在网格中找到格点C，使三角形ABC面积为2，则点C位置有几种可能． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】（1）根据底边和底边上的高都相等的两个三角形面积相等可得出答案； （2）构建平行线FD∥EC∥AB，根据（1）中的结论得：S△ABD=S△ABC，从而得结论； （3）由题意画出图形可得出答案． 【详解】（1）∵a∥b， ∴S△ADB=S△ADC， ∴S△ADB-S△AOD=S△ADC-S△AOD， ∴S△AOB=S△COD． 故面积相等的三角形还有S△ADB=S△ADC，S△AOB=S△COD． （2）如图，所有符合题意的点D形成的图形是平行于AB的两条直线． （3）如图， 使三角形ABC面积为2的点C位置有9种． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力，也考查了学生的画图能力． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 相交线与平行线热考模型 （10种题型汇总+专题训练+10种模型解析） 【题型汇总】 题型01 三线八角的识别 已知 图示 结论（性质） 直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行 1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； 2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠4与∠6； 3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； 4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8. 直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD 1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； 2）内错角相等：∠3=∠5、∠4=∠6； 3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； 4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8. 解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线的性质及其他有关角的性质、定义进行计算. 1．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示， (1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角． (2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的内错角． (3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁内角． (4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的内错角． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个     题型02 猪蹄模型 猪蹄模型 猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型） 条件 AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠E=∠BCE ∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE 左拐角之和=右拐角之和 辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线. 【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程. 1．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足． (1)若，求的度数． (2)若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由． 5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 题型03 铅笔头模型 铅笔头模型 铅笔头模型-进阶 条件 AB∥DE AB∥DE a∥b 图示 结论 ∠B+∠BCE+∠E=360° ∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540° [类推] 1 如图，若，，，，试说明． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则 ． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 题型04 大脚模型 类型 大脚模型 骨折模型 已知 AB∥CD 图示 结论 ∠E=∠1-∠3 即：脚尖度数=大角-小角 ∠E=∠3-∠1 1．（21-22九年级上·吉林·阶段练习）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知 ，，，则 ．    2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图是自来水公司安装的一条自来水管道，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，，直线平分，直线平分，直线，相交于点F，则与的数量关系 ． 4．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点B在的内部． (1)如下图，若，，求的度数； (2)如下图，以为边向左侧作，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作的平分线，交于点E，连结并延长，交直线于点F，记与直线m的夹角为，．若． ①求与的数量关系； ②求的值． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 题型05 蛇形模型 条件 AB∥CD 图示 结论 ∠BCD+∠D-∠B=180° ∠BCD+∠B-∠D=180° 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 题型06 平行平分三等角 解题大招：平行平分得三等角. 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，，平分，求的度数． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．    (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 题型07 平行线折叠问题 记住三句话: ①折叠前后对应角，对应边相等. ②折叠不改变原先的平行关系. ③以折线为对称轴. 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，为一长条形纸带，，将纸带沿EF折叠，，两点分别与C，D对应，若比大，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将一张宽度相等的纸条按如图所示方式折叠，记点的对应点分别为，，折痕为，且交于点． (1)若，则______度． (2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数． (3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数 题型08 三角板拼接模型 常见的三角板与三角板（平行）拼接模型： 类型 两条斜边平行 斜边于直角边平行 两条直角边平行 图示 顶点在斜边上 顶点在直角边上 顶点在边上 顶点重合 【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值. 1．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，其中，，，则下列结论正确的有（    ）   ①； ②如果与互余，则； ③如果，则有； ④如果，必有. A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（2023·山西晋中·模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是(    )    A． B． C．若，则 D．若，则 3．（22-23七年级下·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．    4．（22-23七年级下·广东揭阳·阶段练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三角板，三角板绕点在平面内旋转，当（    ）时，．    A． B．或 C．或 D．或 5．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，一副三角板，其中． (1)若这副三角板如图摆放，，求的度数． (2)将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值． (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值． 题型09 直尺与三角板拼接模型综合 类型一 直尺与30°角的三角板拼接 图示 解题方法 利用三线八角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2 ∠1+∠2=90° 类型二 直尺与45°角的三角板拼接 图示 解题方法 遇拐点作平行线 三线八角+三角板特殊角求解 三角板特殊角求解 结论 ∠1+∠2=90° ∠1=∠2=75° ∠1=105° 【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算. 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，直线，含有角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·河南鹤壁·期末）如图，将直尺与含角的直角三角形叠放在一起，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板（，与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则　　 ； (2)如图2，若点B在直线a的下方，在直线b的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出证明； (3)如图3，若点B在直线b的下方，请写出与之间的关系并说明理由． 题型10 等积模型 条件：AB∥CD 图形： 结论：1)2) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 2．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹： (1)画出，线段扫过的图形的面积为______； (2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？ 3．（21-22七年级下·浙江台州·期中）定理：任何两条夹在平行线间的垂线段长度相等.如图1，若直线a∥b，则有MN=PQ.运用此定理可得结论：如图2，直线a∥b，三角形ABC与三角形BCD，若都将BC看成底，则两三角形的高相等，从而面积相等，可记为S三角形ABC=S三角形BCD. 利用所得结论解决下列问题： (1)图2中，除S三角形ABC=S三角形BCD外，还有其它面积相等的三角形，请你写出所有面积相等的三角形； (2)如图3，已知三角形ABC，平面内有一点D，满足S三角形ABC=S三角形ABD，试画出所有符合题意的点D形成的图形（不要求写作法，作图工具不限）； (3)如图4，在一个88的网格中，我们把小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1.若要在网格中找到格点C，使三角形ABC面积为2，则点C位置有几种可能． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$