18.2.1.2 矩形的判定 课时练习 2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.2.1.2 矩形的判定 【练基础】 必备知识1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ） A.∠ABC=90° B.AC=BD C.AD=AB D.∠BAD=∠ADC 2.如图，在▱ABCD中，点E，F在AD边上，且BF=CE，AE=DF. (1)求证：△ABF≌△DCE. (2)求证：四边形ABCD是矩形. 必备知识2 对角线相等的平行四边形是矩形 3.【邯郸期末】四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A.AC=BD B.∠ABD=∠CBD C.AB=BD D.AB=CD 4.如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC，DF. (1)求证：AD=CF. (2)嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观点?如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由. 必备知识3 有三个角是直角的四边形是矩形 5.如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BC于点E，AD平分∠FAC，CD⊥AD于点D.求证：四边形AECD是矩形. 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线. (1)求∠CFD的度数. (2)求证：四边形FDEC是矩形. 【练能力】 7.【教材P68T9变式】如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，还要添加_______才能使四边形EFGH是矩形.(写出一个条件即可，图中不能再添加别的“点”或“线”)  8.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点. (1)求证：BE=DF. (2)设=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形?请说明理由. 9.如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E. (1)求证：四边形ACOB是矩形. (2)猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论. 10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形. (2)已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长. 【练素养】 11.如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤5. (1)AE=________ cm，EF=________ cm.(用含t的式子表示)  (2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形. (3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形. 参考答案 【练基础】 1.C 2.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD. ∵AE=FD，∴AE+EF=FD+EF，即AF=DE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE(SSS). (2)由(1)可知△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴▱ABCD是矩形. 3.A 4.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE. ∵E为DC的中点，∴ED=EC， ∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AD=CF. (2)同意.当DC=AF时，四边形ACFD是矩形. 证明：∵AD∥CF，AD=CF，∴四边形ACFD是平行四边形. ∵DC=AF，∴四边形ACFD是矩形. 5.【证明】∵AB=AC，AE⊥BC于点E， ∴∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE=∠BAC. ∵AD平分∠FAC，∴∠DAC=∠FAC， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠BAC+∠FAC=(∠BAC+∠FAC)=×180°=90°. 又∵CD⊥AD于点D，∴∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形. 6.【解析】(1)∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴BD=CD=AD. ∵DF是∠ADC的平分线，∴DF⊥AC. ∴∠CFD=90°. (2)证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴AD=CD=BD. ∵DE是∠BDC的平分线，∴DE⊥BC， ∴∠DEC=90°. ∵∠CFD=90°，∠ACB=90°， ∴四边形DECF是矩形. 【练能力】 7.AC⊥BD(答案不唯一) 8.【解析】(1)证明：解法一　如图，连接DE，BF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=OD，AO=OC. ∵E，F分别为AO，OC的中点， ∴EO=OA，OF=OC， ∴EO=FO. ∵BO=OD，EO=FO， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE=DF. 解法二　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，∴∠DCF=∠BAE. ∵E，F分别OA，OC的中点， ∴AE=OA，CF=OC，∴AE=CF. 在△DCF和△BAE中， ∴△DCF≌△BAE，∴BE=DF. (2)当k=2时，四边形DEBF是矩形.理由如下： 易知四边形DEBF是平行四边形， 当BD=EF，即OD=OE时，四边形DEBF是矩形， 此时AE=OE，∴AO=2OE，则k====2， ∴当k=2时，四边形DEBF是矩形. 9.【解析】(1)证明：∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线， ∴∠AOM=2∠AOB，∠AON=2∠AOC. ∵点M，O，N在同一直线上，∴∠AOM+∠AON=180°， ∴2∠AOB+2∠AOC=180°，∴∠AOB+∠AOC=90°，即∠BOC=90°. ∵AB⊥OB，AC⊥OC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴四边形ACOB是矩形. (2)BC∥MN.证明：由(1)可得，四边形ACOB是矩形，∴OE=CE， ∴∠AOC=∠BCO. ∵OC是∠AON的平分线，∴∠AOC=∠NOC， ∴∠BCO=∠NOC，∴BC∥MN. 10.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB. ∵CF=AE，∴DF=BE. 又∵DC∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形， ∵DE⊥AB，∴平行四边形BFDE是矩形. (2)∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB， ∴AE=，DE==. 由(1)可得四边形DFBE是矩形， ∴BF=DE=. ∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=∠DAB=30°，且BF⊥AB， ∴AF=2BF=3， ∴AB==，∴CD=. 【练素养】 11.【解析】(1)t；(5-2t)(0≤t≤2.5)或(2t-5)(2.5<t≤5). 提示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°， ∴AC===5(cm). 由题意得AE=CF=t cm. 当0≤t≤2.5时， EF=AC-AE-CF=(5-2t)cm； 当2.5<t≤5时，EF=AE+CF-AC=(2t-5)cm. (2)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GAF=∠HCE. ∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG=CH. ∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE. 在△AFG与△CEH中， ∴△AFG≌△CEH，∴GF=HE. 在△AGE与△CHF中， ∴△AGE≌△CHF，∴GE=HF， ∴四边形EGFH是平行四边形. (3)如图，连接GH. 由(2)知四边形EGFH是平行四边形. ∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点， ∴GH=BC=4 cm， ∴当EF=GH=4 cm时，四边形EGFH是矩形. 分两种情况： ①当0≤t≤2.5时，EF=(5-2t)cm，即5-2t=4，解得t=0.5. ②当2.5<t≤5时，EF=(2t-5)cm， 即2t-5=4，解得t=4.5. 综上所述，当t=0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $$