黄金卷08（浙江专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B A B C D A C 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11．m（m+2）2． 12．﹣2029． 13．54°． 14．16． 15．． 16．9，． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17．解：（1） ＝﹣4+（）×8+1 ＝﹣4﹣4+1 ＝﹣7；（3分） （2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）， 则3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（3x+2）＝0， 则x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，x2．（3分） 18．解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择“B承师之魂，扬师之光”的结果有1种， ∴他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为． 故答案为：．（3分） （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的结果有：（A，C），（C，A），共2种， ∴李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率为．（3分） 19．解：（1）如图1中，点P即为所求；（4分） （2）如图2中，点Q即为所求．（4分） 20．解：（1）根据题意得：每天能售出（40+5x）双运动鞋． 故答案为：（40+5x）；（3分） （2）根据题意得：（200﹣x﹣150）（40+5x）＝3360， 整理得：x2﹣42x+272＝0， 解得：x1＝8，x2＝34， ∵要最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润， ∴x＝34． 答：当每双运动鞋降价34元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元．（5分） 21．解：连接CD， 由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF， ∴∠ABO＝∠DOE＝90°， ∵∠BEA＝∠OED， ∴△ABE∽△DOE， ∴， 即， ∴． ∵∠CFO＝∠AFB， ∴△ABF∽△COF， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：OB＝2， ∴ABOB+12+1（m）， ∴围墙AB的高度为m．（10分） 22．解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得， 故，B（0，6）， ∵OB＝2OA∴， ∴k＝2， ∴一次函数解析式为：y＝2x+6， ∵OD＝2， ∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10， 即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得， ∴m＝20， ∴反比例函数的解析式为：； 故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：．（3分） （2）将一次函数与反比例函数联立得， 解得或， 故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，；（4分） （3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10）， ∵， ∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2．（3分） 23．解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中， 得：， 两式相减得﹣4＝4b， ∴b＝﹣1；（3分） （2）把b＝﹣1代入1＝4a﹣2b+c得：1＝4a+2+c， ∴a， ∴顶点的纵坐标cc+11， ∵c＞﹣1， ∴c+1＞0， 下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b， ∵（）2＝a+b﹣20， ∴a+b≥2，当a＝b时取等号， ∴c+11＝21＝1， ∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1；（4分） （3）由题意得：am2﹣m+c＝0， 且c＝﹣1﹣4a， ∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0， Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2， 若﹣1＜m＜2， 则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下， ∴a＜0，且2， 解得a＜0， ∴a＜0， 若2＜m＜3， 则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上， ∴a＞0，且3， 解得a； ∴a＜0或a时满足题意．（5分） 24．（1）①证明：∵AB是⊙O的直径，PA⊥AB， ∴PA是⊙O的切线， ∵PT与⊙O相切于点T， ∴PA＝PT；（2分） ②解：PO∥BT， 证明：连接OT，如图， ∵PT与⊙O相切于点T， ∴OT⊥PT， 在Rt△AOP和Rt△TOP中， ， ∴Rt△AOP≌Rt△TOP （HL）， ∴∠POA＝∠POT， ∵OT＝OB， ∴∠OTB＝∠OBT， ∵∠AOT＝∠OTB+∠OBT， ∴∠POT＝∠OTB， ∴PO∥BT；（2分） （2）解：连接OT，如图， ∵AB＝8， ∴OA＝OB＝OT＝4， ∵AC＝4， ∴OC＝OA﹣AC， 在Rt△OCP中，OC2+PC2＝OP2 在Rt△OTP中，OT2+PT2＝OP2 ∴OC2+PC2＝OT2+PT2， ∴（）2+52＝42+PT2， 解得 PT＝4， ∴tan∠POT1， ∴∠POT＝45°， ∴劣弧的长π；（4分） （3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，连接AD，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝90°， ∴∠A+∠ADC＝∠A+∠B＝90°， ∴∠ADC＝∠B， ∴△ADC∽△BDC， ∴， ∴CD2＝AC•BC， 设AC＝x，则BC＝8﹣x， ∴CD， 连接DT， ∵PT∥BD， ∴∠PTD＝∠TDB， ∵∠TDB＝∠E， ∴∠E＝∠PTD， ∵∠TPD＝∠EPT， ∴△PTD∽△PET， ∴， ∴PT2＝PD•PE， 设PT2＝y， ∵PC＝5， ∴y＝[5][5]， ∴y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25， ∴y最小＝9， 即PT长的最小值为3．（4分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（3分）2025年3月底，大家预测《哪吒之魔童闹海》的最终票房可能超过 160 亿元，有机会冲击全球前三。其中“160亿”用科学记数法表示为（　　） A．16×109 B．1.6×109 C．1.6×1010 D．0.16×1011 2．（3分）唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4 4．（3分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　） A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75 5．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°13′，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．115°23′ B．115°13′ C．105°13′ D．125°13′ 7．（3分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，PM与⊙O相切于点M，点N在⊙O上，且AM＝AN，连接PN，若PM∥AN，则下列结论错误的是（　　） A．四边形AMPN是菱形 B．PN是⊙O的切线 C． D． 9．（3分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，则tan∠GFI的值为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）点M是二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2图象的顶点，MN⊥x轴，且交一次函数y＝x﹣2的图象于点N，点P在y轴上，下列结论错误的是（　　） A．点（﹣1，0）一定在二次函数图象上 B． C．当MN最小时，MP+NP的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11．（3分）分解因式m3+4m2+4m＝　 　． 12．（3分）当x＝1时，整式ax3+bx﹣2的值为2025，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2的值是　 　． 13．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，EM⊥BC于点M，连接AC，交EM于点N，则∠ANE的度数为 　 　． 14．（3分）如图所示为一直角三角形ABC，AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为　 　． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　 　． 16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 　 　，AB＝ 　 　． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17．（6分）（1）计算：；（2）解方程：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 18．（6分）某校决定举行“思政大讲堂”活动，学校给出了四个思政主题供参与活动的老师选择，分别是A红色文化与精神传承、B承师之魂，扬师之光、C大国重器与大国崛起、D中国式现代化． （1）张老师从上述四个选项中任选一个作为自己的分享主题，则他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为 　 　； （2）李老师也参与了该项活动，请利用画树状图法或者列表法计算李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率是多少（每个条件在列表或画图时用前边对应的字母表示）． 19．（8分）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母． （1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A． （2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得． 20．（8分）某运动鞋专卖店在销售中发现，一款运动鞋每双的进价为150元，当销售单价为200元时，每天可售出40双．店庆期间，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每双运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双，设每双运动鞋销售单价降价x元（x＞0）． （1）每天能售出 　 　双运动鞋；（用含x的代数式表示） （2）当每双运动鞋降价多少元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元？ 21．（10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得OF＝5m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，还测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度． 22．（10分）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式kx+6的解集． 23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． （1）求b的值； （2）当c＞﹣1时，求该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值； （3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，求a的取值范围． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在直径AB上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，在PC右侧作⊙O的切线PT，切点为T，连接PO． （1）如图1，当点C与点A重合时，连接BT． ①求证：PA＝PT； ②直接写出此时PO与BT的位置关系（不说理由）； （2）设线段OP与⊙O交于点Q，如图2，当时，求劣弧的长； （3）直接写出PT长的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（3分）2025年3月底，大家预测《哪吒之魔童闹海》的最终票房可能超过 160 亿元，有机会冲击全球前三。其中“160亿”用科学记数法表示为（　　） A．16×109 B．1.6×109 C．1.6×1010 D．0.16×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：160亿＝1.6×1010． 故选：C． 2．（3分）唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【解答】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项B符合， 故选：B． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4 【分析】利用同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐个计算，根据计算结果得结论． 【解答】解：A．由于a2、a3不是同类项，不能合并，故选项A计算错误； B．a3•a2＝a3+2＝a5≠a6，故选项B计算错误； C．（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，故选项C计算错误； D．a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故选项D计算正确． 故选：D． 4．（3分）某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　） A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75 【分析】根据平均数和方差、中位数，众数得出答案即可． 【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中， 平均数（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8， 65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88， ∴中位数75，众数为75，方差[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61， 故选：B． 5．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，在Rt△DHO中，有勾股定理即可求出结果． 【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H， ∴， 在Rt△DHO中，OH3， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 6．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°13′，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．115°23′ B．115°13′ C．105°13′ D．125°13′ 【分析】根据平行的性质得到∠3＝90°，根据三角形内角和定理求出∠2＝64°47′，根据平行的性质即可得到答案． 【解答】解：∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠3＝90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1＝90°， ∵∠α＝25°13′， ∴∠2＝∠1＝90°﹣∠α＝90°﹣25°13′＝64°47′， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2＝180°， ∴∠β＝115°13′， 故选：B． 7．（3分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1． 在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合， 故选：C． 8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，PM与⊙O相切于点M，点N在⊙O上，且AM＝AN，连接PN，若PM∥AN，则下列结论错误的是（　　） A．四边形AMPN是菱形 B．PN是⊙O的切线 C． D． 【分析】根据圆周角定理及切线的性质可得∠AMO＝∠PMB，再两次利用全等三角形的判定与性质可得PN⊥ON，从而判断选项B；利用平行线的性质及菱形的判定方法可判断选项A；根据全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及三角函数可判断选项C；最后由线段的倍分关系可判断选项D． 【解答】解：连接OM，BM， ∵AB是⊙O的直径，PM与⊙O相切于点M， ∴∠AMB＝∠AMO+∠OMB＝90°，OM⊥PM， ∴∠OMP＝∠OMB+∠BMP＝90°， ∴∠AMO＝∠PMB， 在△AMO和△ANO中， ， ∴△AMO≌△ANO（SSS）， ∴∠MAO＝∠NAO，∠AMO＝∠ANO， 在△AMP和△ANP中， ， ∴△AMP≌△ANP（SAS）， ∴PM＝PN，∠AMP＝∠ANP， ∴∠AMP﹣∠AMO＝∠ANP﹣∠ANO， ∴∠PMO＝∠PNO＝90°， ∴PN⊥ON， ∵ON是⊙O的半径， ∴PN是⊙O的切线，故选项B正确； ∵MP∥AN， ∴∠MPA＝∠NAP， ∴∠MAP＝∠MPA， ∴MA＝MP， ∴AM＝AN＝PM＝PN， ∴四边形ANPM是菱形，故选项A正确； 在△AMO和△PMB中， ， ∴△AMO≌△PMB（AAS）， ∴MO＝MB， ∵MO＝BO， ∴MO＝MB＝OB， ∴△MOB是等边三角形， ∴∠MOB＝∠OMB＝60°， ∴∠OPM＝∠BMP＝90°﹣60°＝30°， ∴MB＝PB， ∴BP＝OMOP， ∵sin∠MOP， ∴sin60°， ∴MP， ∴， ∴，故选项C正确； ∵AO＝BO＝BP， ∴AP， ∴，故选项D错误． 故选：D． 9．（3分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，则tan∠GFI的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】证明△BCE∽△FDE，可得，而△BCE与△FDE的面积比为，即得，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，在Rt△AFB中，有tan∠BFA，又∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，从而推导出tan∠GFI＝tan∠BFA． 【解答】解：∵ABCD都是正方形， ∴∠FDC＝90°＝∠BCD， ∵∠FED＝∠CEB， ∴△BCE∽△FDE， ∴， ∵△BCE与△FDE的面积比为， ∴（负值已舍）， 设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t， ∴AF＝AD+DF＝7t， 在Rt△AFB中，tan∠BFA， 由“青朱出入图”可知：∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA， ∴tan∠GFI＝tan∠BFA． 故选：A． 10．（3分）点M是二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2图象的顶点，MN⊥x轴，且交一次函数y＝x﹣2的图象于点N，点P在y轴上，下列结论错误的是（　　） A．点（﹣1，0）一定在二次函数图象上 B． C．当MN最小时，MP+NP的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则 【分析】依据题意，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣m）2+（m+1）2＝0， ∴点（﹣1，0）一定在二次函数图象上，故选项A正确； ∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2， ∴该函数的顶点坐标为（m，（m+1）2）， ∴点M的坐标为（m，（m+1）2）， ∵点N在y＝x﹣2上，MN⊥x轴， ∴点N的坐标为（m，m﹣2）， ∴， 故选项B正确； ∴当MN最小时，，此时， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点P在y轴上，点M，N在y轴的左侧， M 关于y轴对称点为M′，则直线M′N与y轴的交点即为点P，此时MP+NP的值最小， ∴， ∴MP+NP的最小值是，选项C错误； ∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2， ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝m， 当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+（m+1）2＝2m+1， ∴该函数图象与y轴交于点（0，2m+1）， 一次函数y＝x﹣2与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（2，0）， 将（0，﹣2）代入y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，得﹣（0﹣m）2+（m+1）2＝﹣2，解得：， 将（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，得﹣（2﹣m）2+（m+1）2＝0，解得：， ∵两函数图象在第四象限有交点， ∴， 故选项D正确； 故选：C． 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11．（3分）分解因式m3+4m2+4m＝　m（m+2）2　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式m，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：m3+4m2+4m， ＝m（m2+4m+4）， ＝m（m+2）2． 12．（3分）当x＝1时，整式ax3+bx﹣2的值为2025，则当x＝-1时，整式ax3+bx-2的值是　﹣2029　． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝1时，ax3+bx﹣2＝a+b﹣2＝2025， ∴a+b＝2027， ∴当x＝﹣1时，ax3+bx﹣2＝﹣a﹣b﹣2＝﹣（a+b）﹣2＝﹣2027﹣2＝﹣2029． 故答案为：﹣2029． 13．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，EM⊥BC于点M，连接AC，交EM于点N，则∠ANE的度数为 　54°　． 【分析】根据正五边形的对称性，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵EM⊥BC， ∴∠CME＝90°， ∵正五边形ABCDE， ∴AB＝BC，∠ABC108°， ∴∠BCA＝∠BAC36°， ∴∠ANE＝∠CNM＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54°． 14．（3分）如图所示为一直角三角形ABC，AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为　16　． 【分析】通过题干的尺规作图得出AG是∠CAB的角平分线，直线MN是AG的垂直平分线，再通过ASA证明△AZP≌△AZQ，则AP＝AQ＝PG＝GQ，所以四边形APGQ是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答． 【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°， ∴， 如图： 根据作图可知AG是∠CAB的角平分线， ∴， 根据作图可知直线MN是AG的垂直平分线， ∴AG⊥PQ，AP＝PG，AQ＝GQ， ∴∠AZP＝∠AZQ＝90°， ∵ZA＝ZA，∠CAG＝∠BAG， ∴△AZP≌△AZQ， ∴AP＝AQ， 即AP＝AQ＝PG＝GQ， ∴四边形APGQ是菱形， 则Rt△PCG中，∠CPG＝∠PAG+∠PGA＝60°， 即∠CGP＝30°， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴AP＝4， ∴4×4＝16， 即菱形APGQ的周长是16， 故答案为：16． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　　． 【分析】过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设B′G＝DG＝x，CG＝CD﹣DG＝5﹣x，利用勾股定理求出x的值，证明△ADG∽△AB′F，求出B′F，然后证明△CDF≌△AB′F（AAS），得DF＝B′F，再由△C′EF∽△CDF，得，求出C′E，EF，证明△ADM∽△AEC′，对应边成比例即可求出DM的长． 【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠B′AC＝∠DCA， ∴GA＝GC， 由翻折可知：B′A＝BA＝5，B′C＝BC＝B′C′＝3， ∴B′A＝CD＝5， ∴B′G＝DG， 设B′G＝DG＝x， ∴CG＝CD﹣DG＝5﹣x， 在Rt△B′CG中，根据勾股定理得： B′G2+B′C2＝CG2， ∴x2+32＝（5﹣x）2， ∴x， ∴B′G＝DG＝x， ∴AG＝CG＝5﹣x， ∵∠DAG＝∠B′AF，∠ADG＝∠AB′F＝90°， ∴△ADG∽△AB′F， ∴， ∴， ∴B′F， ∴C′F＝C′B′﹣B′F＝3，CF＝CB′+B′F＝3， ∵∠CFD＝∠AFB′，∠CDF＝∠AB′F＝90°，CD＝AB′， ∴△CDF≌△AB′F（AAS）， ∴DF＝B′F， ∵C′E⊥AD，CD⊥AD， ∴C′E∥CD， ∴△C′EF∽△CDF， ∴， ∴， ∴C′E，EF， ∴DE＝DF+EF， ∴AE＝AD+DE＝3， ∵C′E∥DM， ∴△ADM∽△AEC′， ∴， ∴， ∴DM． 故答案为：． 16．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 　9　，AB＝ 　　． 【分析】连接AD，作CL⊥ED于点L，由AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C，得∠ACF＝∠ADC＝90°，则∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD，可证明∠FCD＝∠FBC，进而证明△FCD∽△FBC，得，由CF＝3，DF＝1，求得BF＝9，则BD＝8，由BDDE＝8，求得DE＝3，则BE＝5，EF＝4，求得CE，由S△CEF4CL3，求得CL，则EL，所以DL，求得DC，再证明△BAE∽△CDE，得，求得AB，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AD，作CL⊥ED于点L，则∠CLE＝∠CLD＝90°， ∵AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C， ∴CF⊥AC， ∴∠ACF＝∠ADC＝90°， ∴∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD， ∵∠FBC＝∠DAC， ∴∠FCD＝∠FBC， ∵∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FBC， ∴， ∵CF＝3，DF＝1， ∴BF9， ∴BD＝BF﹣DF＝9﹣1＝8， ∵BDDE＝8， ∴DE＝3， ∴BE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5，EF＝DE+DF＝3+1＝4， ∴CE， ∵S△CEF4CL3， ∴CL， ∴EL， ∴DL＝DE﹣EL＝3， ∴DC， ∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC， ∴△BAE∽△CDE， ∴， ∴AB， 故答案为：9，． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17．（6分）（1）计算：； （2）解方程：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）． 【分析】（1）先算零指数幂、负整数指数幂和乘方，再进行计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1） ＝﹣4+（）×8+1 ＝﹣4﹣4+1 ＝﹣7； （2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）， 则3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（3x+2）＝0， 则x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，x2． 18．（6分）某校决定举行“思政大讲堂”活动，学校给出了四个思政主题供参与活动的老师选择，分别是A红色文化与精神传承、B承师之魂，扬师之光、C大国重器与大国崛起、D中国式现代化． （1）张老师从上述四个选项中任选一个作为自己的分享主题，则他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为 　　； （2）李老师也参与了该项活动，请利用画树状图法或者列表法计算李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率是多少（每个条件在列表或画图时用前边对应的字母表示）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择“B承师之魂，扬师之光”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择“B承师之魂，扬师之光”的结果有1种， ∴他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的结果有：（A，C），（C，A），共2种， ∴李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率为． 19．（8分）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母． （1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A． （2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得． 【分析】（1）作出△ABC的外心P，连接PB，PC即可； （2）取格点E，F，连接EF交AC于点Q，点Q即为所求（利用相似三角形的性质证明AQ：QC＝CF：AE＝2：1）． 【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求； （2）如图2中，点Q即为所求． 20．（8分）某运动鞋专卖店在销售中发现，一款运动鞋每双的进价为150元，当销售单价为200元时，每天可售出40双．店庆期间，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每双运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双，设每双运动鞋销售单价降价x元（x＞0）． （1）每天能售出 　（40+5x）　双运动鞋；（用含x的代数式表示） （2）当每双运动鞋降价多少元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元？ 【分析】（1）利用日销售量＝40+5×每双运动鞋销售单价降价的钱数，可用含x的代数式表示出日销售； （2）利用总利润＝每双的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合“要最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润”，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：每天能售出（40+5x）双运动鞋． 故答案为：（40+5x）； （2）根据题意得：（200﹣x﹣150）（40+5x）＝3360， 整理得：x2﹣42x+272＝0， 解得：x1＝8，x2＝34， ∵要最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润， ∴x＝34． 答：当每双运动鞋降价34元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元． 21．（10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得OF＝5m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，还测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m． 解决问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度． 【分析】连接CD，由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，再根据垂直定义可得∠ABO＝∠DOE＝90°，然后证明A字模型相似△ABE∽△DOE，△ABF∽△COF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：连接CD， 由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF， ∴∠ABO＝∠DOE＝90°， ∵∠BEA＝∠OED， ∴△ABE∽△DOE， ∴， 即， ∴． ∵∠CFO＝∠AFB， ∴△ABF∽△COF， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：OB＝2， ∴ABOB+12+1（m）， ∴围墙AB的高度为m． 22．（10分）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式kx+6的解集． 【分析】（1）用含k代数式表示出A，B两点的坐标，然后根据OB＝2OA即可求出k，然后再将点C的横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入即可求出m； （2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点E的坐标，然后即可计算△BOE的面积； （3）根据点E和点C的横坐标，结合图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方时对应的x范围即可． 【解答】解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得， 故，B（0，6）， ∵OB＝2OA∴， ∴k＝2， ∴一次函数解析式为：y＝2x+6， ∵OD＝2， ∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10， 即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得， ∴m＝20， ∴反比例函数的解析式为：； 故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：． （2）将一次函数与反比例函数联立得， 解得或， 故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，； （3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10）， ∵， ∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2． 23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． （1）求b的值； （2）当c＞﹣1时，求该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值； （3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，求a的取值范围． 【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值； （2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值； （3）当a＞0时，x＝﹣1，y＝﹣3a＜0；x＝3，y＝5a﹣4＞0；当a＜0时，x＝﹣1，y＝﹣3a＞0；x＝3，y＝5a﹣4＜0． 【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中， 得：， 两式相减得﹣4＝4b， ∴b＝﹣1； （2）把b＝﹣1代入1＝4a﹣2b+c得：1＝4a+2+c， ∴a， ∴顶点的纵坐标cc+11， ∵c＞﹣1， ∴c+1＞0， 下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b， ∵（）2＝a+b﹣20， ∴a+b≥2，当a＝b时取等号， ∴c+11＝21＝1， ∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1； （3）由题意得：am2﹣m+c＝0， 且c＝﹣1﹣4a， ∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0， Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2， 若﹣1＜m＜2， 则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下， ∴a＜0，且2， 解得a＜0， ∴a＜0， 若2＜m＜3， 则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上， ∴a＞0，且3， 解得a； ∴a＜0或a时满足题意． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在直径AB上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，在PC右侧作⊙O的切线PT，切点为T，连接PO． （1）如图1，当点C与点A重合时，连接BT． ①求证：PA＝PT； ②直接写出此时PO与BT的位置关系（不说理由）； （2）设线段OP与⊙O交于点Q，如图2，当时，求劣弧的长； （3）直接写出PT长的最小值． 【分析】（1）①根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线，根据切线的性质得到PA＝PT； ②连接OT，如图，根据切线的性质得到OT⊥PT，根据全等三角形的性质得到∠POA＝∠POT，求得∠OTB＝∠OBT，根据平行线的判定定理得到结论； （2）连接OT，如图，根据勾股定理得到PT＝4，根据三角函数的定义得到∠POT＝45°，于是得到劣弧的长π； （3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，连接AD，BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质得到CD2＝AC•BC，设AC＝x，则BC＝8﹣x，得到CD，连接DT，根据相似三角形的性质得到PT2＝PD•PE，设PT2＝y，求得y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25，根据二次函数的性质得到结论． 【解答】（1）①证明：∵AB是⊙O的直径，PA⊥AB， ∴PA是⊙O的切线， ∵PT与⊙O相切于点T， ∴PA＝PT； ②解：PO∥BT， 证明：连接OT，如图， ∵PT与⊙O相切于点T， ∴OT⊥PT， 在Rt△AOP和Rt△TOP中， ， ∴Rt△AOP≌Rt△TOP （HL）， ∴∠POA＝∠POT， ∵OT＝OB， ∴∠OTB＝∠OBT， ∵∠AOT＝∠OTB+∠OBT， ∴∠POT＝∠OTB， ∴PO∥BT； （2）解：连接OT，如图， ∵AB＝8， ∴OA＝OB＝OT＝4， ∵AC＝4， ∴OC＝OA﹣AC， 在Rt△OCP中，OC2+PC2＝OP2 在Rt△OTP中，OT2+PT2＝OP2 ∴OC2+PC2＝OT2+PT2， ∴（）2+52＝42+PT2， 解得 PT＝4， ∴tan∠POT1， ∴∠POT＝45°， ∴劣弧的长π； （3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，连接AD，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝90°， ∴∠A+∠ADC＝∠A+∠B＝90°， ∴∠ADC＝∠B， ∴△ADC∽△BDC， ∴， ∴CD2＝AC•BC， 设AC＝x，则BC＝8﹣x， ∴CD， 连接DT， ∵PT∥BD， ∴∠PTD＝∠TDB， ∵∠TDB＝∠E， ∴∠E＝∠PTD， ∵∠TPD＝∠EPT， ∴△PTD∽△PET， ∴， ∴PT2＝PD•PE， 设PT2＝y， ∵PC＝5， ∴y＝[5][5]， ∴y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25， ∴y最小＝9， 即PT长的最小值为3． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 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