7.1.1 第1课时 条件概率(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

　条件概率与全概率公式 7．1．1　条件概率 第1课时　条件概率 学业标准 素养目标 1．理解条件概率的定义．(重点) 2．掌握条件概率的计算方法．(重点) 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过条件概率概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用条件概率公式解决相关问题，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 条件概率 　100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}． (1)试求P(A)，P(B)，P(AB)． [提示]　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. (2)任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率． [提示]　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝. (3)P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系？ [提示]　P(A|B)＝. ◎结论形成 1．条件概率的公式 条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算 公式 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝； ②公式法：P(B|A)＝ 2.条件概率的性质 设P(A)＞0，则： (1)P(Ω|A)＝1； (2)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1． (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (4)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(A∩B)＝P(AB)．(　　) (2)对事件A，B，有P(A|B)＝P(B|A)．(　　) (3)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1．(　　) (4)P(AB)＝P(A)P(A|B)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知P(AB)＝，P(A)＝，那么P(B|A)＝(　　) A．　　　　　　　　　 B. C. D． 解析　由条件概率公式得P(B|A)＝＝＝，故选D. 答案　D 3．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下雨的概率为(　　) A．　　 　 B. C.　　 　 D． 解析　设事件A表示四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)＝＝，故选D. 答案　D 4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________． 解析　一个家庭的两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由题意可知这4个基本事件的发生是等可能的，所求概率P＝. 答案　 题型一　利用定义求条件概率 　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目、如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [解析]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝. 法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．　 [触类旁通] 1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8　　 B．0.75　　　 C．0.6　　 D．0.45 解析　设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝＝＝0.8. 答案　A 题型二　缩小样本点范围求条件概率 　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． [解析]　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝. [母题变式] 1．(变结论)在本例条件下，求乙抽到偶数的概率． 解析　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝. 2．(变条件、变结论)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：甲抽到的数大于4；事件B：甲、乙抽到的两数之和等于7，求P(B|A)． 解析　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝. 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．　 [触类旁通] 2．袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中一次任取2个球，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为(　　) A．　 　　 B. C.　 　　 D． 解析　设1个红色球为a,2个蓝色球为b，c,2个黑色球为d，e，从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的样本点有(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，d)，(c，e)，共7个，其中“另一个是红色球或黑色球”有6个，所以所求概率为. 答案　D 题型三　条件概率性质的应用 　把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个、白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． [解析]　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}， B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝， P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝. 事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59. [素养聚焦] 利用条件概率的性质求条件概率关键是把所求概率的事件分解为几个互斥事件，在这个过程中，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．　 [触类旁通] 3．在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 解析　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝， P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋ ＝＋＝. 故获得优秀成绩的概率为. 知识落实 技法强化 1．条件概率的理解． 2．利用定义求条件概率． 3．缩小样本空间求条件概率. 在解题时要分清在“谁的条件”下，求 “谁的概率”. 学科网（北京）股份有限公司 $$