第6章 教考衔接2 二项式定理(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

一、真题展示 (2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6　　　　　　　　 B．－6 C．12 D．－12 二、真题溯源 [教科书第35页习题6.3第6题] 求下列各式的二项展开式中指定项的系数： (1)10的含的项； (2)10的常数项． 三、类法探究 可以看到，无论是高考题，还是教科书例题，求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，题型为选择题或填空题，属容易题，在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思想、等价转化思想． 类型一　通项公式的应用 　(1)在10的展开式中，x－7的系数等于(　　) A．45　　　　　　　 B．10 C．－45 D．－10 (2)(多选题)已知在n的二项展开式中，第6项为常数项，则(　　) A．n＝10 B．展开式中项数共有13项 C．含x2的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 [解析]　(1)10的通项为Tk＋1＝C(x－1)10－k·＝(0≤k≤10，k∈N)， 令k－10＝－7，解得k＝2， 故x－7的系数等于C(－1)2＝45. 故选A． (2)依题意，n展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()n－r·r＝C·r·， 因为第6项为常数项， 所以r＝5时，有＝0，解得n＝10，故A正确； 由n＝10，得10展开式中项数共有10＋1＝11项，故B错误； 令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2， 所求含x2的项的系数为C×2＝.故C正确； 由 令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k， 即r＝5－k， 因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2,0，－2，即r可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确． 故选ACD. [答案]　(1)A　(2)ACD (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．　 类型二　二项式系数与项的系数的问题 　(多选题)(2024·甘肃高二期末)若(2x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　　) A．a0＝1 B．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝39 C．a0，a1，a2，…，a9中，a5最大 D．a1＋＋＋…＋＝2 [解析]　对于A，令x＝0，得a0＝9＝－1，A错误； 对于B，显然a1，a3，a5，a7，a9均为正数，a0，a2，a4，a6，a8均为负数，取x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝(－3)9＝－39， 因此|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝－(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，B正确； 对于C，a1＝C×2＝18，a3＝C×23＝21×25， a5＝C×25＝63×26，a7＝C×27＝9×29， a9＝C×29＝29，因此a7最大，C错误； 对于D，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0， 则＋＋…＋＝1， 因此a1＋＋＋…＋＝2，D正确． 故选BD. [答案]　BD 赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 　 学科网（北京）股份有限公司 $$