6.3.2 二项式系数的性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 学业标准 素养目标 1．能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．(重点) 2．会用“赋值法”求展开式系数的和．(难点) 1．通过对二项式系数性质的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用二项式系数的性质解决相关问题，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学 二项式系数的性质 　(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (1)从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ [提示]　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． (2)计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ [提示]　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. (3)二项式系数的最大值有何规律？ [提示]　n＝2,4,6时，中间一项最大；n＝3,5时，中间两项最大． ◎结论形成 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 增减性与 最大值 当二项式的幂指数n是偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值 各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) (4)令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　) A．n，n＋1　　　　　　 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 解析　2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第＋1项，即第n＋1项与第n＋2项，故选C. 答案　C 3．(多选题)若n的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．第3项　 B．第4项 C．第5项　 D．第6项 解析　∵n的展开式中第3项与第8项的系数相等，∴C＝C，∴n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项． 答案　CD 4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________． 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1．① 又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k， ∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. 答案　－15 题型一　与杨辉三角有关的问题 　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19. [解析]　由杨辉三角可知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，……，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 故S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝＋C＝274. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 　 [触类旁通] 1．如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，在哪一行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3? 解析　杨辉三角中的每个数均为二项式系数，第n行中从左至右第k个数为C. 由题意得C∶C＝2∶3，∴2C＝3·C， 即2·＝3·， 2(n－13)＝3×14，∴n＝34. 故在第34行中的第14个数与第15个数之比为2∶3. 题型二　求二项展示式的系数和 　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [解析]　(1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1， 则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由得： a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256. (3)由得： a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一　∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6) ＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. “赋值法”是解决二项展开式中项的系数的常用方法，根据题目要求，灵活赋予字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．　 [触类旁通] 2．若(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，求： (1)a1＋a2＋a3＋…＋a11； (2)a0＋a2＋a4＋…＋a10. 解析　(1)由(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11， 令x＝1，得 26×(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11， 即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26①， 又令x＝0，得a0＝1． 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26－1＝－65. (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝0②， 由，得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝(－26＋0)＝－32. 题型三　求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 　在8的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ [解析]　Tk＋1＝C·()8－k·k＝(－1)k·C·2k·x4－. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6. (2)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以k＝5或k＝6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [母题变式] 1．(变结论) 在本例条件下，求系数最大的项与系数最小的项． 解析　由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11．系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－. 2．(变条件)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． 解析　由题意知n＝8， 通项为Tk＋1＝(－1)k·C·8－k·x8－k， 令8－k＝0，得k＝6，故常数项为第7项， 且T7＝(－1)6·2·C＝7. [素养聚焦] 解决二项展开式中系数最大的项或二项式系数最大的项的方法是解不等式组或利用结论，在此过程中提升数学运算等核心素养. (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．　 [触类旁通] 3．(1)(多选题)在n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是－252，则下列说法正确的是(　　) A．n＝10 B．各项的二项式系数之和为1 024 C．a＝－1 D．各项的系数之和为1 024 (2)在二项式(x＋1)11的展开式中，系数最大的项的系数为________(结果用数值表示)． 解析　(1)因为n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n＝10，选项A正确； 所以10的展开式中二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故选项B正确； 根据二项式定理知n的通项式为Tk＋1＝Cx10－kk＝Cakx10－2k，令10－2k＝0，得k＝5，所以n的展开式中常数项为Ca5，所以Ca5＝－252，解得a＝－1，故选项C正确； 令x＝1，得10＝0，所以各项的系数之和为0，所以D选项错误． 故选ABC. (2)二项式(x＋1)11的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx11－k，所以当k＝5或k＝6时，其系数最大，则最大系数为C＝C＝462. 答案　(1)ABC　(2)462 知识落实 技法强化 1．二项式系数的性质． 2．赋值法求各项系数的和. 在赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项. 学科网（北京）股份有限公司 $$