6.3.1 二项式定理(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

　二项式定理 6．3.1　二项式定理 学业标准 素养目标 1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点) 3．会用二项式定理解决有关的简单问题．(重点) 1．通过理解二项式定理及二项展开式的通项公式，培养数学抽象核心素养． 2．在利用二项式定理的通项公式求特定项的过程中，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 二项式定理 　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式． [提示]　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 　上述两个等式的右侧有何特点？ [提示]　(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4. 　你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ [提示]　(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项． 若都选a，则得Ca4b0； 若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b； 若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2； 若有三个选b，一个选a，则得Cab3； 若都选b，则得Ca0b4. 　能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？ [提示]　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn. ◎结论形成 二项式定理及其相关概念 二项式定理 当n是正整数时，有(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn， 上述公式称为二项式定理 (a＋b)n的展开式 等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项 通项 其中Can－kbk 是展开式中的第k＋1项，叫做二项展开式的通项(通常用Tk＋1表示) 二项式系数 C(k＝0,1，…，n)称为第k＋1项的二项式系数 通项公式 我们将Tk＋1＝Can－kbk称为二项展开式的通项公式．其中n是正整数，k是满足0≤k≤n的正整数 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　) A．1　　　　　　　 B．1 C．(－1)n D．3n 解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b， 可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 答案　C 3．在6的展开式中，第4项是________． 解析　由通项公式可得T4＝C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3， 所以T4＝－160x3. 答案　－160x3 4．在5的展开式中，x2的系数是________． 解析　∵Tk＋1＝Cx5－kk＝2kCx5－3k， 令5－3k＝2，得k＝1， ∴T2＝2Cx2＝10x2，∴x2的系数是10. 答案　10 题型一　二项式定理的展开式 　利用(a＋b)n的二项展开式解题． (1)求(a＋2b)4的展开式； (2)求5的展开式． [解析]　(1)根据二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn， 得(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca·(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4. (2)5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3·2＋C(2x)23＋C(2x)4＋C5＝32x5－120x2＋－＋－. 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．　 [触类旁通] 1．(1)求4的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解析　(1)法一　4 ＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C·4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二　4＝ ＝[C(3x)4＋C(3x)3＋C(3x)2＋C·3x＋C] ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1． 题型二　求二项展开式中的特定项 　已知在m的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. (1)求m的值； (2)求m的展开式的中间两项． [解析]　(1)展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)m－k·k＝C·2k·x2m－， ∴展开式中第4项的系数为C·23，倒数第4项的系数为C·2m－3， ∴＝，即＝，∴m＝7. (2)由(1)可知，m＝7， ∴m的展开式的通项为Tk＋1＝C·2k·x2m－＝C·2k·x14－. 二项展开式共有8项，中间两项即为第4项和第5项， ∴T4＝C·23·x14－＝280x， T5＝C·24·x14－＝560x4. ∴m的展开式的中间两项分别为280x，560x4. [素养聚焦] 可以把求二项展开式的特定项问题“程序化”，其步骤为：二项式→通项公式→结合题目条件→结论，其关键是熟练运用通项公式，在此过程中体现了数学运算的核心素养. 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的k次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．　 [触类旁通] 2．在8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)x2的系数． 解析　(1)T5＝T4＋1＝C(2x2)8－44＝C·24·x，所以第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120. (2)8的通项是C(2x2)8－kk＝(－1)kC·28－k·x16－k. 由题意，得16－k＝2，解得k＝6， 因此，x2的系数是(－1)6C·28－6＝112. 题型三　二项式系数与项的系数问题 　(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数及第6项的系数； (2)求9的展开式中x3的系数． [解析]　(1)由已知得二项展开式的通项为 Tk＋1＝C(2)6－k·k＝26－kC·(－1)k·x3－，∴T6＝－12·x－. ∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则 Tk＋1＝Cx9－k·k＝(－1)k·C·x9－2k， 令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84. [母题变式] 1．(变结论)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”． 解析　由通项Tk＋1＝(－1)k·C·26－k·x3－， 知第四项的二项式系数为C＝20， 第四项的系数为C·(－1)3·23＝－160. 2．(变结论)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解． 解析　设展开式中第k＋1项为含x5的项，则Tk＋1＝(－1)k·C·x9－2k， 令9－2k＝5，得k＝2.即展开式中的第3项含x5，且系数为C＝36. [素养聚焦] 在利用二项展开式的通项公式求特定项的系数的过程中，特别要注意计算的正确性，在此过程中培养数学运算的核心素养. 求某项的二项式系数或展开式中含xk的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．　 [触类旁通] 3．已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n的值； (2)求含x2的项的系数； (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数． 解析　(1)通项为Tk＋1＝＝ . 因为第6项为常数项，所以当k＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝2. 所以所求的系数为C(－3)2＝405. (3)因为10的展开式的通项是 Tk＋1＝， 所以第4项的二项式系数为C＝120， 第4项的系数为C(－3)3＝－120×27＝－3 240 . 知识落实 技法强化 1．二项式定理． 2．二项展开式的通项公式. 二项式系数与系数的区别，Can－kbk是展开式的第k＋1项. 学科网（北京）股份有限公司 $$