6.2.4 第2课时 组合与组合数的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时　组合与组合数的应用 学业标准 素养目标 1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．(重点) 2．能解决有限制条件的组合问题．(重点、难点) 在利用组合数与排列数公式解决组合及排列组合的实际应用问题的过程中，提升数学建模、数学运算等核心素养. 题型一　有限制条件的组合问题 　某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队． (1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？ [解析]　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)． (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．故共有C·C＋C＝6 936(种)． (4)法一(直接法)　男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女． 所以共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝14 656(种)． 法二(间接法)　由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)． 有限制条件的组合问题分类及解题策略 (1)“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数； (2)“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏．　 [触类旁通] 1．课外活动小组共13人，其中男生8人、女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选． 解析　(1)一名女生，四名男生．故共有C·C＝350(种)． (2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165(种)． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C·C＋C·C＝825种，或采用排除法有C－C＝825(种)． (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生． 故选法为C·C＋C·C＋C＝966(种)． 题型二　几何中的组合问题 　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ [解析]　法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准． 第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形； 第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形； 第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形． 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)． 法二(间接法)　从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4(种)． 故这12个点构成的三角形有C－C＝216(个)． 解答几何组合问题的策略 (1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强． (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．　 [触类旁通] 2．在四棱锥P­ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有(　　) A．40种　　　　　 B．48种 C．56种 D．62种 解析　满足要求的点的取法可分为3类： 第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取法； 第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C种取法； 第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法． 所以，满足题意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56种，选C. 答案　C 题型三　排列组合综合问题 　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本． [解析]　(1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60(种)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(种)． [母题变式] 1．(变条件)本例的条件不变，6本不同的书分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ 解析　先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)． 2．(变结论)本例的条件不变，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 解析　先平均分成三组，有种分法，再分给3个人，所以分配方式共有·A＝90(种)． [素养聚焦] 在解决计数问题时常用下面的结论：“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数；对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，再排列，通过解决此类问题，培养数学建模、数学运算等核心素养. 1．解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列． 2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点： (1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题． (2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．　 [触类旁通] 3．某地举办旅游节，在旅游节期间，需从4位志愿者中选3位安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者A不能安排在甲岗位，则不同的安排方法种数为________． 解析　法一　运用分步乘法计数原理，先安排甲岗位，再安排乙、丙岗位， 则不同的安排方法共有CA＝18(种)． 法二　运用分类加法计数原理， 若A不入选，有A＝6种安排方法； 若A入选，则有CA＝12种安排方法， 所以共有6＋12＝18种不同的安排方法． 答案　18 知识落实 技法强化 1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算． 4．分组分配问题. 分类讨论、正难则反、方程思想是常用的方法和思想，解题时要注意分组分配中是否为“平均分组”. 学科网（北京）股份有限公司 $$