6.2.4 第1课时 组合与组合数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6.2.3　组合 6．2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 学业标准 素养目标 1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(重点) 2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点) 3．会解决一些简单的组合问题．(难点) 1．通过对组合概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．组合数公式的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 3．通过利用组合与组合数公式解决简单的实际问题，主要提升数学建模核心素养. 导学1 组合的定义 　从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘． (1) 所得商和积的个数相同吗？ [提示]　不相同． (2)它们是排列吗？ [提示]　从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． ◎结论形成 1．组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合与排列的区别：组合无序，排列有序． 导学2 组合与组合数公式 　从1,3,5,7中任取两个数相除，可得到A个商数，也可用分步法求商的个数，按照下列步骤得到： 第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法； 第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法． 由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA，由此你能得到C和A的关系吗？ [提示]　C＝＝6. ◎结论形成 组合数及组合数公式 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示 组合数 公式 乘积 形式 C＝ 阶乘 形式 C＝ 性质 C＝ C＝C＋ 备注 规定C＝1 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)C＝5×4×3＝60.(　　) (2)C＝C＝2 023.(　　) (3)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.(　　) (4)“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．方程C＝C的解为(　　) A．4或9　　　　　　　 B．4 C．9 D．其他 解析　当x＝3x－8时，解得x＝4； 当28－x＝3x－8时，解得x＝9. 答案　A 3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 解析　从6人中任选4人的选法种数为C＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14. 答案　A 4．计算：C＋C＝________. 解析　C＋C＝C＝C＝＝1 275. 答案　1 275 题型一　组合的概念 　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？ [解析]　(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的． (2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别． (3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的． 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．　 [触类旁通] 1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． 解析　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示． 由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 题型二　组合数公式及应用 　(1)计算：C＋C·C； (2)若－<，求n的取值集合． [解析] (1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006. (2)由－＜， 可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12. 又n∈N*，且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}． 所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}． (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N*. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质．求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．　 [触类旁通] 2．求等式＝中的n的值． 解析　原方程可变形为＋1＝，C＝C，即 ＝·， 化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求． 题型三　简单的组合问题 　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加． [解析]　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法． [素养聚焦] 在解决简单的组合应用问题时，首先要根据组合的概念把实际问题数学化，在此过程中提升数学建模的核心素养. 解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．　 [触类旁通] 3．从7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选． 解析　(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C＝120. (2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C＝252. (3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选的选法种数为C－C＝672. 知识落实 技法强化 1．组合与组合数的定义． 2．排列与组合的区别与联系． 3．用列举法写组合. 枚举法、公式法、间接法是常用的方法，但在解题时注意区分“排列”还是“组合”. 学科网（北京）股份有限公司 $$