6.2.2 第1课时 排列与排列数(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．2.1　排列 6．2.2　排列数 第1课时　排列与排列数 学业标准 素养目标 1．了解排列的概念．(重点) 2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点) 1．通过排列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用排列数公式计算和证明恒等式，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1 排列的定义 　从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．让你安排这项活动需要分几步？ [提示]　分两步．第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学． ◎结论形成 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． (3)全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 导学2 排列数与排列数公式 　两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏． (1)从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？ [提示]　4×3＝12个无重复数字的两位数． (2)从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ [提示]　4×3×2＝24个无重复数字的三位数． (3)从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？ [提示]　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法． ◎结论形成 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 A 阶乘 正整数从1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n！ 排列数乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 公式 阶乘式 A＝ 性质 A＝n！，0！＝1 备注 n，m∈N*，m≤n 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　　) (2)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　) (3)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) (4)由1,2,3组成的全排列数有A种．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数运算，按照计算结果，可以看作排列问题的运算为(　　) A．加法　　　　　　　 B．减法 C．乘法 D．除法 解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题． 答案　BD 3．89×90×91×…×100可表示为(　　) A．A　　 B．A C．A　　 D．A 解析　A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89. 答案　C 4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种． 解析　从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A＝20种添加方法． 答案　20 题型一　排列的概念 　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)； (2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (3)某班40名学生在假期相互通信． [解析]　(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题． 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 　 [触类旁通] 1．判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解析　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题． 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定； 在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 题型二　排列的列举问题 　某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． [解析]　如图， 由树状图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． 在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状图写出排列．　 [触类旁通] 2．写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列． 解析　画出树状图如图所示： 因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc. 题型三　排列数公式及应用 　(1)计算：＝(　　) A．12　　　　　　　 B．24 C．30 D．36 (2)求证：A＝A·A. (1)[解析]　A＝＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36. [答案]　D (2)[证明]　A·A＝(n－m)！＝n！＝A，∴等式成立． [母题变式] 　(变条件)在本例(2)中，把等式换为k·A＝(k＋1)！－k！，试求证． 证明　左边＝k·A＝k·k！＝(k＋1－1)·k！＝(k＋1)！－k！＝右边，∴等式成立． [素养聚焦] 在利用排列数公式证明等式的过程中，要仔细观察等式两端的代数式的特征，找到推证的方向，在此过程中提升逻辑推理的核心素养. 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．　 [触类旁通] 3．不等式A<6A的解集为(　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} 解析　由A<6A， 得＜6×， 化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，① 又所以2≤x≤8，② 由①②及x∈N*，得x＝8. 答案　D 知识落实 技法强化 1．排列、排列数的定义． 2．排列的简单应用． 3．排列数公式的应用. 在解题过程中常忽视A中“n，m∈N*”及“m≤n”这个条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$