清单04 分式（5个考点清单+18种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

清单04 分式（5个考点梳理+18种题型解读+提升训练） 清单01 分式的相关概念 分式相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 清单02 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 清单03 分式的约分、通分 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 清单04 分式的加减乘除法法 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 清单05 分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【考点题型一 分式的相关概念】（） 【例1】（23-24八年级下·江苏常州·期中）下列各式：、、、中，是分式的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式中：，分式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】（23-24八年级下·江苏·期中）下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）式子，，，，中，分式有 个 【变式1-4】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【考点题型二 分式有无意义的条件】（） 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知关于的分式，求下列问题： (1)当满足什么条件，分式无意义； (2)当满足什么条件，分式有意义； (3)当满足什么条件，分式的值等于0． 【变式2-4】（24-25八年级下·江苏·期中）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【考点题型三 分式的求值】（） 【例3】（23-24八年级下·江苏南京·期中）对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0 C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2 【变式3-2】（23-24八年级下·江苏盐城·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式3-3】（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）已知：（均不为零），则 ． 【变式3-4】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）已知，满足，则的值为 ． 【考点题型四 分式值为整数时的范围】（） 【例4】（24-25八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【变式4-2】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南通·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【变式4-4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【考点题型五 分式的基本性质】（） 【例5】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果把分式中的都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小到原来的倍 C．扩大到原来的2倍 D．无法确定 【变式5-2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）利用分式基本性质变形可得，则整式 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏连云港·专题练习）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为 ． 【变式5-4】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 ． 【考点题型六 最简分式与最简公分母】（） 【例6】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是(　　) A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【变式6-4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【变式6-5】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）分式，与的最简公分母是 ． 【考点题型七 约分与通分】（） 【例7】（2024八年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，则 ． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏连云港·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【变式7-4】（23-24八年级下·江苏连云港·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【考点题型八 分式的加减法】（） 【例8】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式8-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）计算：． 【变式8-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-4】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点题型九 已知分式恒等式确定分子或分母】（） 【例9】（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若，则 ， ． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若恒成立，则A-B= ． 【变式9-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【考点题型十 分式加减的实际应用】（） 【例10】（23-24八年级下·北京昌平·期中）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏连云港·课后作业）小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C．千时 D．千米/时 【变式10-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需 小时. 【变式10-4】（24-25八年级下·江苏南京·期末）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为． （1）再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； A．    B．    C． （2）请证明你的选择． 【考点题型十一 分式的乘除法】（） 【例11】（24-25八年级下·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏·期中）计算：． 【变式11-3】（24-25八年级下·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【变式11-4】（24-25八年级下·江苏连云港·专题练习）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【考点题型十二 分式的乘方】（） 【例12】（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列各式中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25八年级下·江苏连云港·课后作业）计算：＝ ． 【变式12-4】（24-25八年级下·四川宜宾·期末）计算：＝ ． 【考点题型十三 分式的混合运算】（） 【例13】（2025·江苏南京·中考真题）计算： 【变式13-1】（2023·江苏南京·一模）计算：． 【变式13-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）计算：． 【变式13-3】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式13-4】（2024·江苏连云港·二模）化简： 【考点题型十四 分式的化简求值】（） 【例14】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【变式14-1】（23-24八年级下·广东湛江·期末）化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【变式14-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再在，，中选一个合适的数代入求值． 【变式14-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【变式14-4】（23-24八年级下·广东云浮·阶段练习）先化简，后求值：，其中a为从1、2、3中选一个你喜欢的数． 【考点题型十五 解分式方程】（） 【例15】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）解方程：． 【变式15-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）解分式方程： (1)； (2) 【变式15-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）解分式方程： (1) (2) 【变式15-3】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【变式15-4】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点题型十六 分式方程的增根与无解情况求参】（） 【例16】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【变式16-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【变式16-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【变式16-3】（2024八年级·江苏连云港·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式16-4】（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）解方程： (1)解方程：； (2)解方程：； (3)关于x的分式方程． ①若方程的增根为，求m的值； ②若方程有增根，求m的值； ③若方程无解，求m的值． 【考点题型十七 分式方程的实际应用】（） 【例17】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【变式17-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）某商店购进、两种纪念品，已知纪念品的单价比纪念品的单价高10元．用600元购进纪念品的数量和用400元购进纪念品的数量相同． (1)求纪念品、的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品、共400件，且纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【变式17-2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）某商店决定购进两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品的件数不少于B种纪念品件数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【变式17-3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【变式17-4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程.) 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是________元，纯电新能源车的每千米行驶费用是________元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，则续航里程a的值为多少？ 【考点题型十八 分式的新定义问题】（） 【例18】（2024八年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【变式18-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【变式18-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【变式18-3】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)； (2)求分式的“等和积分式”； (3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ； ②用发现的规律解决问题： 若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值． 【变式18-4】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）方程有增根，则的值是（　　） A．2 B． C．3 D．4 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）化简 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 9．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于x的方程的解为整数，且关于y的不等式组有解且最多有四个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 13．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程： ； （2）计算：． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 15．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，动力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量，某店某品牌款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元． (1)今年5月份款新能源汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，门店决定再经销同品牌的款新能源汽车，已知款每辆进价为8万元，款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？ (3)按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果款每辆售价为8.8万元，为打开款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆款新能源汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是______万元． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 7 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 分式（5个考点梳理+18种题型解读+提升训练） 清单01 分式的相关概念 分式相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 清单02 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 清单03 分式的约分、通分 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 清单04 分式的加减乘除法法 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 清单05 分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【考点题型一 分式的相关概念】（） 【例1】（23-24八年级下·江苏常州·期中）下列各式：、、、中，是分式的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、，分母中含有字母，是分式；、，分母中不含字母，是整式；所以分式的共有2个． 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式中：，分式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：是分式，不是分式， 分式的个数是个， 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级下·江苏·期中）下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）式子，，，，中，分式有 个 【答案】3 【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可． 【详解】∵ ，中，分母不含字母， ∴不是分式； ∵中，分母中含有字母a,b， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母y， ∴是分式； ∵中，分母中含有字母x， ∴是分式； 共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【变式1-4】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，，，，，，． 【答案】整式：，，，，，，；分式：，，， 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：，，，，，，； 分式有：，，，． 【考点题型二 分式有无意义的条件】（） 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可． 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误； C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确； 故选：D． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于0．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故选：D． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）当 时，分式无意义；当 时，分式的值为零． 【答案】 3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 分式无意义：分母等于零；分式的值等于零：分子等于零，分母不等于零． 【详解】解：当分母， 即时，分式无意义； 当分子，且分母时， 分式的值为零， 解得，． 故答案为：3；． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知关于的分式，求下列问题： (1)当满足什么条件，分式无意义； (2)当满足什么条件，分式有意义； (3)当满足什么条件，分式的值等于0． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可； （2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可； （3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可． 【详解】（1）解：由题可得， 解得：或， ∴当或时，分式无意义； （2）解：由题可得， 解得：且， ∴当且时，分式有意义； （3）解：由题可得， 解得， ∴当时，分式的值等于0． 【点睛】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键． 【变式2-4】（24-25八年级下·江苏·期中）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或4或8 【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可； （2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可； （3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解． 【详解】（1）解：∵分式无意义， ∴， 解得：或； （2）∵分式值为0， ∴， 解得：； （3） ∵分式的值为整数， ∴或5或或， 解得：或8或2或， ∵且， ∴整数x的值为或4或8． 【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 【考点题型三 分式的求值】（） 【例3】（23-24八年级下·江苏南京·期中）对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【答案】C 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意； B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； C 当时，当时，，，分式的值为，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0 C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：A． 当时，分式有意义，故说法正确； B．当时，分式无意义，故说法错误； C．当时，分式的值为，故说法正确； D．， ∵， ∴分式的值不可能为2，故说法正确；． 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级下·江苏盐城·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 【变式3-3】（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）已知：（均不为零），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 【变式3-4】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）已知，满足，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了分式的化简求值．由整理得，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， 故答案为：． 【考点题型四 分式值为整数时的范围】（） 【例4】（24-25八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【详解】解：， ∵x为非正整数，分式的结果正整数， ∴x取值为，0， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 【变式4-2】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若使分式的值是整数，则所有符合条件的整数m的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的值，把握分母是4的因数是解题的关键；由题意，是4的因数，且为奇数，由此可求得m的值，进而求得所有整数m的和． 【详解】解：要使分式的值是整数，则是4的因数， 故， 但是奇数，则， 所以或0 ； 所以； 故答案为：1． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南通·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可； （3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且为正整数， ∴为正整数， ∴为整数， ∵也为正整数， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 【变式4-4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 【考点题型五 分式的基本性质】（） 【例5】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，可能为0，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项正确，符合题意；     C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果把分式中的都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小到原来的倍 C．扩大到原来的2倍 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的都扩大为原来的2倍，再求出比值，然后与之前分式的值对比即可解答． 【详解】解：分式中的都扩大为原来的2倍，得到的新分式为：，即分式的值为原来的倍． 故选B． 【变式5-2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）利用分式基本性质变形可得，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·江苏连云港·专题练习）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为 ． 【答案】 【分析】分式与分式的公分母是，据此即可求解． 【详解】解：因为分式与分式的公分母是，所以分式的分母变为，则分式的分子应变为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 【变式5-4】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【考点题型六 最简分式与最简公分母】（） 【例6】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义，分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可． 【详解】解：A．，是最简分式，符合题意； B． ，故原式不是最简分式，不合题意； C． ，故原式不是最简分式，不合题意； D．，故原式不是最简分式，不合题意； 故选：A． 【变式6-1】（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母的确定方法：数字取各分母系数的最小公倍数，同底数幂取次数最高的，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，得到的因式的积就是最简公分母．根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：两个分式可化为： ，     最简公分母：， 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分、分解因式，分式的能分就是把异分母分式化为同分母分式，通分的关键是找各分式的最简公分母，最简公分母就是取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数，再取各分母中所有因式的最高次幂作为公分母的因式，从而可得答案． 【详解】解：， ， 最简公分母是． 故答案为： ． 【变式6-4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 【变式6-5】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）分式，与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】直接根据最简公分母的确定方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 分式，与的最简公分母是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义和确定方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【考点题型七 约分与通分】（） 【例7】（2024八年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键． 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、已经为最简形式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式7-1】（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先进行化简，然后约分，利用取值范围即可得出结果，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级下·江苏连云港·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是分式的通分，约分． （1）把分子与分母约分法则即可； （2）找出最简公分母，计算即可； （2）把分子与分母约分法则即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2） 故答案为：； （3）； 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 【变式7-4】（23-24八年级下·江苏连云港·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 【考点题型八 分式的加减法】（） 【例8】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化成同分母，然后再算减法，后化简即可． （2）首先化成同分母，然后再算减法，后化简即可． 此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握分式加减法计算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法运算，先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】解： ； 【变式8-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查分式的加减法计算， （1）根据分式加减法计算法则计算即可； （2）先通分，相加减，再化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式加减运算：同分母分式的加减法是分母不变，分式相加减；异分母分式的加减法运算通过通分转化为同分母的加减运算． （1）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案； （2）先把分式的分子与分母进行因式分解，再化成同分母分式，然后进行约分，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式8-4】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算． （1）根据同分母减法运算法则进行计算即可； （2）根据异分母减法运算法则进行计算即可； （3）根据异分母加法运算法则进行计算即可； （4）异分母减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型九 已知分式恒等式确定分子或分母】（） 【例9】（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式9-1】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【变式9-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）若，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 【变式9-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若恒成立，则A-B= ． 【答案】2 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解：等式整理得， ∴ ∴A-B＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解． 【变式9-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 【考点题型十 分式加减的实际应用】（） 【例10】（23-24八年级下·北京昌平·期中）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是，则，根据得，即可得． 【详解】解：有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是， 设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是， ∵ = = = = ∵， ∴， ∴， 即， , 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏连云港·课后作业）小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C．千时 D．千米/时 【答案】D 【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解． 【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：， ∴小强上山和下山的平均速度为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键． 【变式10-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口一次共需 小时. 【答案】 【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解． 【详解】解：轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时， 顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米， 轮船往返两个港口一次共需时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式． 【变式10-4】（24-25八年级下·江苏南京·期末）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为． （1）再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； A．    B．    C． （2）请证明你的选择． 【答案】（1）A；（2）见解析 【分析】（1）根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题； （2）根据作差比较法，可以证明（1）中的结论成立． 【详解】（1）由题意可得， 故选A （2）利用作差法比较大小： ，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小． 【考点题型十一 分式的乘除法】（） 【例11】（24-25八年级下·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据分式的乘法和性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘除法进行计算即可求解． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了分式乘除法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【变式11-3】（24-25八年级下·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）将分式除法变形为分式乘法，再约分化简； （2）先通过提取公因式、完全平方公式进行因式分解，再约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【变式11-4】（24-25八年级下·江苏连云港·专题练习）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先把分子因式分解，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先乘方，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【考点题型十二 分式的乘方】（） 【例12】（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的负整数次幂和分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查分式的负整数次幂、分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式12-1】（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解． 【详解】、，故本选项错误，符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【变式12-2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列各式中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式12-3】（24-25八年级下·江苏连云港·课后作业）计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】首先计算乘方，把分子分母分别乘方，然后再计算乘法，即可得答案． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． 【变式12-4】（24-25八年级下·四川宜宾·期末）计算：＝ ． 【答案】 【分析】根据分式的乘方以及乘除运算法则，对式子进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘方以及乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【考点题型十三 分式的混合运算】（） 【例13】（2025·江苏南京·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先通分计算括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：． 【变式13-1】（2023·江苏南京·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算．熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键．注意，在计算时，能进行因式分解的要进行因式分解，最终结果要化为最简分式． 先将括号内的式子进行通分计算，再对后面分式的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算． 【详解】解： =． 【变式13-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先将括号内通分，将各个分子分母进行因式分解，将除法改写为乘法，再进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式13-3】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘法，再运算加法，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式13-4】（2024·江苏连云港·二模）化简： 【答案】 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法． 本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则． 【详解】解： ． 【考点题型十四 分式的化简求值】（） 【例14】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解：          ，                      ，， ，，     当时，原式． 【变式14-1】（23-24八年级下·广东湛江·期末）化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值；熟知运算法则是正确解答此题的关键． 先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式． 【变式14-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再在，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值等知识点，掌握分式的运算及分式有意义的条件是解题的关键． 先通分计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，然后约分即可化简，最后选取使原分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，原式． 【变式14-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】原式， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式14-4】（23-24八年级下·广东云浮·阶段练习）先化简，后求值：，其中a为从1、2、3中选一个你喜欢的数． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据分式的减法计算括号内的，再将除法可以化为乘法，并约分化到最简，然后根据分式有意义的条件确定a的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 . 由题意得，， 当时，原式. 【考点题型十五 解分式方程】（） 【例15】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程的解法、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握分式方程的解法和相关公式是解题的关键． 去分母，将分式方程转化为一元一次方程进行求解，最后检验． 【详解】解：， ， 两边同乘，得： ， ， ， 化简的：， 解得：； 检验：当时，，原方程无意义， ∴原分式方程无解． 【变式15-1】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 【变式15-2】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免出现增根． （1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案； （2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解：去分母，得， 解得， 经检验：是增根，舍去， ∴原方程无解． 【变式15-3】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 经检验是方程的解； （2）解： 去分母得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原分式方程无解． 【变式15-4】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 【考点题型十六 分式方程的增根与无解情况求参】（） 【例16】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 【变式16-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键． 先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：，两边都乘以得：， 关于的方程有增根， ， 解得：， ∴， ． 故选：A． 【变式16-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 【变式16-3】（2024八年级·江苏连云港·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 【变式16-4】（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）解方程： (1)解方程：； (2)解方程：； (3)关于x的分式方程． ①若方程的增根为，求m的值； ②若方程有增根，求m的值； ③若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)无解 (3)①；②或；③或或 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． （3）①将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得值即可；②若原分式方程有增根，则，解得的值，再分别代入（1）中的，即可解得值；③分原分式方程有增根时和无解两种情况求得值即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为； （2）去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． （3）①去分母，得：， ∴， 当方程的增根为时，，所以； ②若原分式方程有增根，则， 或， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以的值为或9时，方程有增根； ③当方程无解时，即当时，无解，所以； 当方程有增根时，原方程也无解，即或时，方程无解， 所以，当或或时方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键． 【考点题型十七 分式方程的实际应用】（） 【例17】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【答案】“滨滨”的单价为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，根据购买“滨滨”和购买“妮妮”的费用分别为8000元和5600元，且“滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，由题意得： ， 解得：， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 答：“滨滨”的单价为100元． 【变式17-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）某商店购进、两种纪念品，已知纪念品的单价比纪念品的单价高10元．用600元购进纪念品的数量和用400元购进纪念品的数量相同． (1)求纪念品、的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品、共400件，且纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，则B种纪念品购进件，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，利用一元一次不等式求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元，则B种纪念品购进件， 则， 又∵， 解得（为正整数）， ∵， ∴y随a的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 此时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 【变式17-2】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）某商店决定购进两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品的件数不少于B种纪念品件数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1)种纪念品的进价为元，种纪念品的进价为元 (2)当购进A纪念品件，B纪念品件时，总费用最少为625元 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用， （1）设每件纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元．再根据“用800元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件，然后再列出W与m的关系式，再根据“A种纪念品的件数不少于B种纪念品的件数的”列不等式求解即可； 【详解】（1）解：设每件A纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元． 根据题意，得．解得， 经检验是原方程的解 ∴答：每件A纪念品的进价为10元，每件B纪念品的进价为5元． （2）解：设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件，根据题意，得． ∵A种纪念品的件数不少于B种纪念品的件数的， ∴ ∴． ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W最小． 此时． （元） 答：当购进A纪念品25件，B纪念品75件时，总费用最少为625元． 【变式17-3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】(1)150，120 (2)17 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； （2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台． 【变式17-4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：（续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程.) 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池电量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是________元，纯电新能源车的每千米行驶费用是________元；（请用含a的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，则续航里程a的值为多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程； （1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题； 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：续航里程a的值为692千米. 【考点题型十八 分式的新定义问题】（） 【例18】（2024八年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真 (2) (3)0，，2， 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的方法把原式化为带分式即可； （3）原式化为带分式，根据与分式的值都为整数，求出即可． 【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴，，1，3， 解得：，，0，2， 则所有符合条件的值为0，，2，． 【变式18-1】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 【变式18-2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式18-3】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)； (2)求分式的“等和积分式”； (3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ； ②用发现的规律解决问题： 若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)①  ②， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，属于创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键． （1）根据“等和积分式”的定义进行判断； （2）设分式的“等和积分式”为A，由“等和积分式”的定义可得，由此可解； （3）①观察互为“等和积分式”中分子、分母的关系，可得答案；②利用规律写出的“等和积分式”，与比较，得出关于m，n的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 分式与分式是“等和积分式”， 故答案为：是； （2）解：设分式的“等和积分式”为A，则， ， ， 即分式的“等和积分式”为； （3）解：①分式的“等和积分式”为，理由如下： 设分式的“等和积分式”为M，则， ， ； ②由规律可得的“等和积分式”为， 与互为“等和积分式”， ， 由得：， 将代入，得：， 解得， ． 【变式18-4】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)分式__________分式的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则，， ．请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． ②用发现的规律解决问题：若是“关联分式”，求实数，的值． 【答案】(1)是 (2) (3)①；②． 【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式” 故答案为：是； （2）解：设的“关联分式”为，则， ∴，即， ∴； （3）解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得， 解得． 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时，设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题与分式方程，正确得出等量关系是解题的关键． 根据型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少小时得出方程，进而得出答案． 【详解】解：设型机器人每小时搬运建筑材料，则型机器人每小时搬运的建筑材料， 根据题意可得：； 故选：D 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质．根据分式的基本性质对各个选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）方程有增根，则的值是（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程去分母转化为整式方程；根据方程有增根得到，将x的值代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得，， ∴， ∵原方程有增根， ∴最简公分母，即增根是， ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，利用解分式方程的步骤和方法表示出，根据分式方程的解为负数，建立不等式求解，再根据分式方程有解，即无增根，得到，综合考虑，即可得到m的可能取值． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得， ，解得， 即， 解得， 综上所述，m的值可能是， 故选：C． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式的解集求出参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数的范围，求出不等式组和分式方程的解，进而求出的取值范围，得到所有满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得：， ∵方程的解为负整数且， ∴为负整数，且， ∴整数或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是； 故选B． 6．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，单项式除以单项式，负整数指数幂，根据积的乘方以及同底数幂的除法进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键． 先根据，，求得，，，再将其代入分式求值即可； 【详解】解：，，， ， ， ， 即，，， 原式； 故答案为： 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）定义一种新的运算“*”：对于任意实数x、y，，根据此规则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，根据已知条件中的新定义，把所求式子写成两个分式相减的形式，然后进行通分，从而进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 9．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以得，， 整理的，， 当，即时，方程无解； 当，即时，， ∵方程无解， ∴是方程的增根， ∴， 解得； ∴的值为或， 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）若关于x的方程的解为整数，且关于y的不等式组有解且最多有四个奇数解，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组有解且最多有四个奇数解，确定m的值，即可解答． 【详解】解：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为整数且， ∴为整数且， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且最多有四个奇数解，为1，3，5，7， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴m的值为：， 符合条件的整数m的和为：， 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键： （1）先乘方，除法变乘法，约分化简即可； （2）先通分，化为同分母，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 ． 13．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程： ； （2）计算：． 【答案】（）原分式方程无解；（）． 【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握解方程方法及运算法则是解题的关键． （）先去分母，再解整式方程，然后检验即可． （）先计算分式乘法，再计算分式减法即可． 【详解】解：（）； 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （）原式 ． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值． （1）可以化为，根据题意即可求解； （2）根据，分别是方程的两个解得到 代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据题意求出方程的解，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为，； 故答案为：，； （2）∵，分别是方程的两个解， ∴ ∴ （3）解：由题意得可化为， 设，方程可化为， 易知k和是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 15．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，动力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量，某店某品牌款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元． (1)今年5月份款新能源汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，门店决定再经销同品牌的款新能源汽车，已知款每辆进价为8万元，款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？ (3)按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果款每辆售价为8.8万元，为打开款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆款新能源汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是______万元． 【答案】(1)今年5月份款汽车每辆售价为万元 (2)共有种进货方案，方案一：购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设今年5月份款汽车每辆售价为万元，则去年5月份款汽车每辆售价为万元，根据“卖出相同数量的款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设购进款汽车辆，则购进款汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案； （3）设总获利为万元，购进款汽车辆，由题意得出关于的关系式，结合题意得出，即可得解． 【详解】（1）解：设今年5月份款汽车每辆售价为万元，则去年5月份款汽车每辆售价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意； ∴今年5月份款汽车每辆售价为万元； （2）解：设购进款汽车辆，则购进款汽车辆， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的值可以为、、， ∴共有种进货方案，方案一：购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆；购进款汽车辆，购进款汽车辆； （3）解：设总获利为万元，购进款汽车辆， 则， ∵要使（2）中所有的方案获利相同， ∴， ∴． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 72 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$