专题04 垂直平分线与角平分线（五大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题04 垂直平分线与角平分线 题型概览 题型01线段垂直平分线的性质 题型02线段垂直平分线的判定 题型03角平分线的性质 题型04角平分线的判定 题型05线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 ( 题型01 )线段垂直平分线的性质 1．（23-24八下·广东深圳龙岗区·期中）如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点D作的平分线，分别交于点．若，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点P与点E重合时，最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 2．（23-24八下·河北沧州沧县多校·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 【答案】D 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 3．（23-24八下·云南文山砚山县·期中）如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为 ． 【答案】13 【详解】解：∵等腰的周长为20，底边， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：13． 4．（23-24八下·江苏东台·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 5．（23-24八下·广东广州南沙区·期中）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24八下·山东德州禹城·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵的垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式；含30度角的直角三角形的性质，熟记角平分线的判定与线段的垂直平分线的性质是解本题的关键． ( 题型0 2 )线段垂直平分线的判定 7．（23-24八下·江西新余渝水区·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）， ， ，， ， 在和中， ， ， 点是的中点， ， ； （2）连接交于点， ,点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 垂直平分． 8．（23-24八下·山东日照·期中）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)若，求的度数． (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，见解析 【详解】（1）解：， 边、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， 又，， ， ， ． （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接、、， 边、的垂直平分线与分别交于点、，直线、交于点． ，， ， 点在的垂直平分线上 9．（23-24八下·福建厦门同安区·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 【答案】(1)12 (2)点在的垂直平分线上，理由见解析 【详解】（1）解：，的垂直平分线分别交于点，， ，， 的周长； （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ，分别是，的垂直平分线， ，， ， 点在的垂直平分线上； 10．（23-24八下·江苏南通通州区·期中）如图，在等边中，，点是线段上的一个动点（不与点，重合），点在线段的左侧，始终是等边三角形． (1)当时，则________； (2)连接，若且，求的长； (3)试判断点是否在线段的垂直平分线上，若是，请说明理由；若不是，请举反例． 【答案】(1)15 (2)2 (3)见解析 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：15； （2）如图所示，当时，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴点F在上． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）是，理由如下：作，于点G，取的中点H. 在中，，设，则， ∴，， 根据勾股定理，得，， 任意作一个等边三角形，连接， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， 即点F在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，构造全等三角形是解题的关键． 11．（23-24八下·湖北武汉武昌区·期中）已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分，理由如下：如图，   ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． ( 题型0 3 )角平分线的性质 12．（23-24八下·湖南岳阳岳阳县·期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：过E作于H， ∵平分， ∵， ∴， ∵，于点D， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 13．（23-24八下·贵州六盘水·期中）如图，在中，的平分线交于点，交于点，若，则（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】的平分线交于点 与平行 是等腰三角形 故选：B． 14．（23-24八下·江苏扬州宝应县·期中）如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ． 【答案】5 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E， ∵平分，，， ∴， 所以点D到的距离是5． 故答案为：5． 15．（23-24八下·河南商丘民权县·期中）如图，在中，平分，则点到的距离是 ． 【答案】4 【详解】解：∵平分， 则：点到边和点到边的距离相等，即为的长， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于4； 故答案为：4． 16．（23-24八下·江苏连云港东海县·期中）如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，连接， 平分，，，， ， 动点在射线上运动， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 17．（23-24八下·内蒙古包头固阳县·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于， 如图， ∵是的角平分线， ∴ ， ∵ ， 故答案为：． 18．（23-24八下·山东菏泽成武县·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． ( 题型0 4 )角平分线的判定 19．（23-24八下·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中）如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【详解】解：，于点，于点， 点在的平分线上， 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上， 故选：B． 20．（23-24八下·河南安阳第六十三中学·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 21．（23-24八下·福建南平政和县·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 22．（23-24八下·湖北孝感云梦县·期中）如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵于点F，于点E， ， 在和中， ， ， ． 又于点F，于点E， 平分． 23．（23-24八下·福建福州闽清县·期中）如图，在中，，点D，E分别在，上，且满足，，连接，求证：是的平分线． 【答案】见解析 【详解】证明：过点D作，垂足为F，如图： ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线； 24．（23-24八下·甘肃兰州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． ( 题型0 5 )线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 25．（23-24八下·湖南湘潭·期中）如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 26．（23-24八下·广东佛山顺德区·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故选B． 27．（23-24八下·四川德阳·期中）如图，已知点D在的边上，若，由作图痕迹，可得的最小值是（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图痕迹得平分， ∴. 过P点作于H点，如图， ∴， 根据垂线段最短，可得的最小值是6． 故选：C． 28．（23-24八下·浙江宁波宁海县·期中）如图，在中，，，分别以点A和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接交于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ， ． 故选：C． 29．（23-24八下·贵州六盘水·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 30．（23-24八下·云南昭通绥江县·期中）如图，在中，． (1)已知的平分线与交于点P，用尺规作图法求作点P，保留作图痕迹，不写作法： (2)若，求点P到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点P到的距离为． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； ； （2）解：过点P作，垂足为D． ∵平分，，， ∴， 依题意，得，， ∵， ∴， 解得，即点P到的距离为． 31．（23-24八下·河南商丘宁陵县·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：，为的平分线， ， ∴， ∴，， 点在的垂直平分线上， ， ． 1．（23-24八下·山东东营广饶县·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，垂足为点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（23-24八下·山东菏泽成武县·期中）如图，是的角平分线，C为上一点，于E，，，在射线上有一动点Q，则在运动过程中，当的长度是几时有（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或10 【答案】D 【详解】解：如图，过点C作于点D， 是的角平分线，，， ， 当点Q位于之间时，如图， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当点Q位于射线之间时，如图， 同理可得：，， ； 故选：D． 3．（23-24八下·广东广州花都区·期中）如图，点是的中点，，，平分，则下列结论中，下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，平分， ， 在和中， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故②符合题意； ， 故④符合题意； ， 故①符合题意， ， ， 故③不符合题意， 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 4．（23-24八下·广东广州花都区·期中）如图，在中，，是边的中线．为上一点，，．则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，是边的中线， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 又， ， ． 又是的外角， ；同理可得 ， ． 故答案为：． 5．（23-24八下·江苏扬州广陵区·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】33 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 6．（23-24八下·河南商丘宁陵县·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点P，下列结论正确的是（填序号） ． ①；    ②平分；    ③平分；④． 【答案】①②④ 【详解】解：， ， ， ，， ， ， 故①正确； 作于点，于点， ， ， ，， ， ， 平分. 故②正确； ， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定平分， 故③错误； 记与相交于点， ， ， ， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，角的平分线判定，本题的关键是全等三角形性质求得对应高相等． 7．（23-24八下·江苏扬州宝应县·期中）如图，在中，是边上的高．    (1)作的平分线，交于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的面积是20，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：过点E作于点F，    ∵△BCE的面积是20，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵CE为∠ACB的平分线，， ∴． 8．（23-24八下·山东德州陵城区·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 9．（23-24八下·河南周口扶沟县·期中）如图，在中，，． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为D，交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； ； （2）解：∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八下·河南新乡辉县·期中）如图，中， D是角平分线上的一点，过点D作于E，的延长线于G，且垂直平分．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接， 平分，，， ，， 垂直平分， ， ， ． 11．（23-24八下·江苏宿迁泗阳县·期中）如图，四边形中，平分于点F，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，请你求出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平分于点 ． 在和中， （2）解 ， 又 ∴ ， 12．（23-24八下·甘肃兰州·期中）如图，中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：和是等边三角形， ， ， ， ， 即， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ． 13．（23-24八下·广西南宁横州百合镇·期中）角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点． ∵是的角平分线， ∴  ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 垂直平分线与角平分线 题型概览 题型01线段垂直平分线的性质 题型02线段垂直平分线的判定 题型03角平分线的性质 题型04角平分线的判定 题型05线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 ( 题型01 )线段垂直平分线的性质 1．（23-24八下·广东深圳龙岗区·期中）如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点D作的平分线，分别交于点．若，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．17 B．18 C．19 D．20 2．（23-24八下·河北沧州沧县多校·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．14 D．10或14 3．（23-24八下·云南文山砚山县·期中）如图，等腰的周长为20，底边，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为 ． 4．（23-24八下·江苏东台·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 5．（23-24八下·广东广州南沙区·期中）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（23-24八下·山东德州禹城·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且． (1)求的度数； (2)若，求的长． ( 题型0 2 )线段垂直平分线的判定 7．（23-24八下·江西新余渝水区·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 8．（23-24八下·山东日照·期中）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)若，求的度数． (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 9．（23-24八下·福建厦门同安区·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 10．（23-24八下·江苏南通通州区·期中）如图，在等边中，，点是线段上的一个动点（不与点，重合），点在线段的左侧，始终是等边三角形． (1)当时，则________； (2)连接，若且，求的长； (3)试判断点是否在线段的垂直平分线上，若是，请说明理由；若不是，请举反例． 11．（23-24八下·湖北武汉武昌区·期中）已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． ( 题型0 3 )角平分线的性质 12．（23-24八下·湖南岳阳岳阳县·期中）已知中，，，，，于点D，的平分线交于点E，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 13．（23-24八下·贵州六盘水·期中）如图，在中，的平分线交于点，交于点，若，则（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（23-24八下·江苏扬州宝应县·期中）如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ． 15．（23-24八下·河南商丘民权县·期中）如图，在中，平分，则点到的距离是 ． 16．（23-24八下·江苏连云港东海县·期中）如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是 ． 17．（23-24八下·内蒙古包头固阳县·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，，，则的面积为 ． 18．（23-24八下·山东菏泽成武县·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． ( 题型0 4 )角平分线的判定 19．（23-24八下·福建莆田仙游县初中第四教研片区·期中）如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 20．（23-24八下·河南安阳第六十三中学·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 21．（23-24八下·福建南平政和县·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 22．（23-24八下·湖北孝感云梦县·期中）如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 23．（23-24八下·福建福州闽清县·期中）如图，在中，，点D，E分别在，上，且满足，，连接，求证：是的平分线． 24．（23-24八下·甘肃兰州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． ( 题型0 5 )线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 25．（23-24八下·湖南湘潭·期中）如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八下·广东佛山顺德区·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，求（   ） A． B． C． D． 27．（23-24八下·四川德阳·期中）如图，已知点D在的边上，若，由作图痕迹，可得的最小值是（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 28．（23-24八下·浙江宁波宁海县·期中）如图，在中，，，分别以点A和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接交于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八下·贵州六盘水·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 30．（23-24八下·云南昭通绥江县·期中）如图，在中，． (1)已知的平分线与交于点P，用尺规作图法求作点P，保留作图痕迹，不写作法： (2)若，求点P到的距离． 31．（23-24八下·河南商丘宁陵县·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 1．（23-24八下·山东东营广饶县·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，垂足为点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八下·山东菏泽成武县·期中）如图，是的角平分线，C为上一点，于E，，，在射线上有一动点Q，则在运动过程中，当的长度是几时有（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或10 3．（23-24八下·广东广州花都区·期中）如图，点是的中点，，，平分，则下列结论中，下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 4．（23-24八下·广东广州花都区·期中）如图，在中，，是边的中线．为上一点，，．则的度数为 ． 5．（23-24八下·江苏扬州广陵区·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 6．（23-24八下·河南商丘宁陵县·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点P，下列结论正确的是（填序号） ． ①；    ②平分；    ③平分；④． 7．（23-24八下·江苏扬州宝应县·期中）如图，在中，是边上的高．    (1)作的平分线，交于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的面积是20，，求的长度． 8．（23-24八下·山东德州陵城区·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 9．（23-24八下·河南周口扶沟县·期中）如图，在中，，． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为D，交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 10．（23-24八下·河南新乡辉县·期中）如图，中， D是角平分线上的一点，过点D作于E，的延长线于G，且垂直平分．求证：． 11．（23-24八下·江苏宿迁泗阳县·期中）如图，四边形中，平分于点F，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，请你求出的长． 12．（23-24八下·甘肃兰州·期中）如图，中，，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，连接交于点．求证：． 13．（23-24八下·广西南宁横州百合镇·期中）角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$