高一数学期中模拟卷01（人教A版2019，测试范围：必修第二册第六章～第八章8.3）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ）    A． B．4 C．6 D． 4．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示十创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（   ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 10．已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 11．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则 ． 13．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 14．某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 16．（15分） 如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 17．（15分） 已知在中，. (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 18．（17分） 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 19．（17分） 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选B 2．已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，所以． 故选C． 3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【解析】还原四边形，如图所示， 依题意可得． 取的中点，连接，则，且， 故．    故选C 4．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】因为中，，由正弦定理得，所以； 由，由正弦定理得，所以； 则“”是“”的充要条件. 故选C. 5．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选D. 6．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选A. 7．已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等边三角形内切圆的半径为， 则， 则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为. 设等边三角形外接圆半径为，则， 所以，设是等边三角形的中心，是的中点， 连接，则，， 是球表面上一点，则 ， ，（同向是为，反向时为）， 所以，所以的取值范围是. 故选B 8．第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示十创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为底面为等腰梯形，且，，， 所以，. 在中，，，， 所以. 所以. 所以，， 又设边上的高为，则. 由. 即蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为. 故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选BC. 10．已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确， 对于B，，则，由余弦定理可得，B正确， 对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误， 对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确， 故选ABD 11．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 【答案】BCD 【解析】选项A：当时，，但，不满足正多边形条件，故A错误； 选项B：如图1，因为棱长为4的正方体中，，，…，，所以，， 当此半正多面体是由正八边形与正三角形围成时，，，解得，故B正确； 选项C，如图2，当此半正多面体是由正方形与正三角形围成时，， 所以，体积为，故C正确； 选项D，当时，如图3所示，此半正多面体是由正方形与正六边形围成， 此时几何体也是半正多面体，故D正确， 故选BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则 ． 【答案】 【解析】因为向量，，则， 因此，. 故答案为：. 13．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得如图所示图形，则,, 过作于点，过作于点, 则，所以，即该正四棱台的高为.    故答案为：. 14．某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 【答案】米 【解析】在中，，，则， 因为，所以， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，， 由余弦定理得 ， 所以米. 故答案为：米 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； （2）由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 16．（15分） 如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径， ∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积， 圆柱的体积. （2）如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以， 则，∴， 所以， 此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以的最小值为. 又在中，， 所以， 则在中， . 17．（15分） 已知在中，. (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 【解析】（1）为直角三角形，理由如下： 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为直角三角形； （2）因为，为以为直角的直角三角形，所以， 设，则，，所以， 所以在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 18．（17分） 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值. 则的最小值为2. （3）设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 19．（17分） 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【解析】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 1 / 2 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C C D A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．米 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）令且，则，（1分） 所以，（2分） 则，可得，（4分） 所以，（5分） 则；（6分） （2）由，（8分） 故对应点在第三象限，则，（11分） 所以，（12分） 即.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由已知，圆柱底面圆的半径，（1分） ∵母线长，∴圆柱的高，（2分） ∴圆柱的侧面积，（4分） 圆柱的体积.（6分） （2）如图，延长线段至，使得，（7分） 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以，（8分） 则，∴，（9分） 所以， 此时，取得最小值，（10分） 因为，，所以， 所以在中，， 所以，（12分） 所以的最小值为.（13分） 又在中，， 所以，（14分） 则在中， . （15分） 17．（15分） 【解析】（1）为直角三角形，理由如下： 因为，（1分） 由正弦定理可得，（2分） 又，（3分） 所以， 所以，（4分） 因为，所以，所以，（5分） 所以，（6分） 所以为直角三角形；（7分） （2）因为，为以为直角的直角三角形，所以，（8分） 设，则，，所以，（9分） 所以在中，由余弦定理可得，（10分） 即，（11分） 解得，（13分） 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，（1分） 所以由余弦定理得，即，所以.（2分） 若与垂直，则， 所以，所以，（3分） 解得，即时，与垂直；（4分） （2）因为为的重心，所以，（5分） 又因为，所以，（6分） 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，（7分） 所以，所以.（8分） 显然，则，（9分） 当且仅当时，即时，取最值.（10分） 则的最小值为2.（11分） （3）设与的夹角为，在中，，（12分） 所以，（13分） 又（14分） ，（15分） 所以当时，有最小值，所以，解得，（16分） 即取最小值1时，．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上，（1分） 所以，（2分） 又，所以；（3分） （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，（4分） 所以，（5分） 所以，（6分） 在中，由余弦定理可得， 即，（7分） 解得（负值已舍去）， 所以，（8分） 所以的周长为.（9分） （3）因为，所以，则，（10分） 因为，所以，（11分） 又，所以，（2分） 又，所以，所以，（13分） 所以，（15分） 当且仅当，即，时等号成立，（16分） 所以的最小值为.（17分） 1 / 6 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ）    A． B．4 C．6 D． 4．已知角A、B是的内角，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示十创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（   ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 10．已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则 11．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（    ） A．当时，该几何体是一个半正多面体 B．若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 C．若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 D．该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则 ． 13．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 14．某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 (1)求的值； (2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 16．（15分） 如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 17．（15分） 已知在中，. (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积. 18．（17分） 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. (1)若，当k为何值时，与垂直？ (2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. (3)若的最小值为1，求的值. 19．（17分） 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$null 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） $$