高一数学期中模拟卷（天津专用，测试范围：人教A版2019必修第二册第六章～第八章8.3）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 4．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 5．在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 9．已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足，则点M的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 第Ⅱ卷 1. 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 11．设、为单位向量，且，则 ． 12．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 13．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 17．（15分） 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 18．（15分） 如图，甲、乙是边长为的正方形铁皮，现将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于原正方形的面积（不计焊接缝的面积）． (1)将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中，并作简要说明； (2)试比较你制作的两个几何体体积的大小，并说明你的理由． 19．（15分） 已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 20．（16分） 在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（ 共 7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 16 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D C D C C A D D C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 11． 12． / 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（14分） 【解析】（1）当时，，（2分） 所以.（4分） （2）若复数是纯虚数，则，（6分） 解得，（8分） 所以.（9分） （3） 复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，（11分） 即，（13分） 所以，实数的取值范围是.（14分） 17（15分） 【解析】（1）由，则，（2分） 又，故，（4分） 由.（7分） （2）在三角形中，则，（8分） 故，（10分） ，（12分） 所以.（15分） 18（15分） 【解析】（1）裁剪方法如图所示．将正方形甲按图甲中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个小长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱．（3分） 将正方形乙按图乙中虚线煎开，以两个长方形焊接成的边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成一个侧面，焊接成一个底面边长为，侧面三角形高为的正四棱锥．（7分） （2）由正方形甲裁剪焊接的正四棱柱的体积．（8分） 由正方形乙裁剪焊接的正四棱锥的高，（9分） 其体积．（10分） 因为，（12分） 即，（13分） 所以，即．（14分） 故制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．（15分） 19（15分） 【解析】（1）已知单位向量，夹角为， 则，（1分） （2分） ，，（3分） 将上述结果代入可得： ，两边平方可得，（4分） 即，解得（舍去）.（5分） 将代入得，则.（6分） .（7分） （2）由（1）知，，.（8分） 根据向量投影向量公式，在上的投影向量为.（9分） （3）已知，， 则，. 因为与所成的角是锐角，（10分） 则且与不共线. （11分） 解得.（12分） 若与共线，则存在实数，使得， 即，可得，解得，（13分） 所以且.（14分） 综上，实数的取值范围是.（15分） 20（16分） 【解析】（1）由题意知，所以，（1分） 又，（2分） 故，由正弦定理，得，（3分） 所以，（4分） 所以；（5分） （2）设，，因为， 所以，（6分） 即，（7分） 所以，所以，（8分） 当且仅当，即，时等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为；（9分） （3）设，， 则，，， 在中，由正弦定理，得， 所以，（10分） 在中，，即， 所以，所以，（11分） 所以，所以， 又，，解得，， 所以，，（12分） 所以，（13分） 又，，所以， 所以，解得，所以，（14分） 在中，由余弦定理， 得，（15分） 解得或，又，所以.（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 4．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 5．在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 9．已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足，则点M的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 第Ⅱ卷 1. 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 11．设、为单位向量，且，则 ． 12．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 13．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 17．（15分） 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 18．（15分） 如图，甲、乙是边长为的正方形铁皮，现将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于原正方形的面积（不计焊接缝的面积）． (1)将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中，并作简要说明； (2)试比较你制作的两个几何体体积的大小，并说明你的理由． 19．（15分） 已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 20．（16分） 在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷（天津） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-8.3）。 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选D. 2．如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选C. 3．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选D. 4．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选. 5．在不等边三角形中，为最大边，且，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 又因为为最大边且三角形是不等边三角形，所以，所以， 即，所以. 故选C. 6．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选A. 7．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选D 8．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选D. 9．已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足，则点M的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以点M不在棱，棱上， 所以当点M在棱上时，设，连， 在中，，由余弦定理可得，， 即，可解得， 所以在棱上存在满足题意的一个点M； 由对称性可知在棱，棱，棱上各存在一个点M； 因为，所以点M不在平面内. 所以当点M在棱上时，设，连， 在直角三角形中，， 所以，即，可解得， 所以在棱上存在满足题意的一个点M； 由对称性可知在棱上也存在一个点M； 综上可知满足题意的点M共6个. 故选C. 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，复平面内对应点的坐标为 . 【答案】 【解析】复数在复平面对应的点为. 故答案为：. 11．设、为单位向量，且，则 ． 【答案】 【解析】因为、为单位向量，则，所以，， 因此，. 故答案为：. 12．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 【答案】/ 【解析】因为成公差为的等差数列，所以； 因为，由正弦定理可得； 解得，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以的面积为， 故答案为：. 13．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    【答案】 【解析】    如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , ， 故答案为：；. 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 15．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，由余弦定理得， 则，所以， 又，所以，解得或， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 其中， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 所以，所以， 所以，， 故. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以. （2）若复数是纯虚数，则，解得，所以. （3）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，即， 所以，实数的取值范围是. 17．（15分） 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）由，则，又，故， 由. （2）在三角形中，则， 故，， 所以. 18．（15分） 如图，甲、乙是边长为的正方形铁皮，现将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于原正方形的面积（不计焊接缝的面积）． (1)将你的裁剪方法用虚线标示在甲、乙两个正方形中，并作简要说明； (2)试比较你制作的两个几何体体积的大小，并说明你的理由． 【解析】（1）裁剪方法如图所示．将正方形甲按图甲中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个小长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱． 将正方形乙按图乙中虚线煎开，以两个长方形焊接成的边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成一个侧面，焊接成一个底面边长为，侧面三角形高为的正四棱锥． （2）由正方形甲裁剪焊接的正四棱柱的体积． 由正方形乙裁剪焊接的正四棱锥的高， 其体积． 因为，即， 所以，即． 故制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大． 19．（15分） 已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）已知单位向量，夹角为，则， ，， 将上述结果代入可得： ，两边平方可得， 即，解得（舍去）. 将代入得，则. . （2）由（1）知，，. 根据向量投影向量公式，在上的投影向量为. （3）已知，， 则，. 因为与所成的角是锐角， 则且与不共线. 解得. 若与共线，则存在实数，使得， 即，可得，解得， 所以且. 综上，实数的取值范围是. 20．（16分） 在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 【解析】（1）由题意知，所以， 又， 故，由正弦定理，得， 所以， 所以； （2）设，，因为， 所以， 即， 所以，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为； （3）设，， 则，，， 在中，由正弦定理，得， 所以， 在中，，即， 所以，所以， 所以，所以， 又，，解得，， 所以，， 所以， 又，，所以， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理， 得， 解得或，又，所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$