10.1.1 有限样本空间与随机事件(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

第十章!概率 #*"# ! "#,-./0 $)#$#$!有限样本空间与随机事件 新课程标准解读 学科核心素养 结合具体实例"理解样本点和有限样本空间的含义! 数学抽象 理解随机事件与样本点的关系! 数学建模 !"#$%&'( $ )*+, ! !!体育彩票摇奖时"将$)个质地和大小完全相同 的小球标上号码"分别为)"$"&"1"3"0"4"2"("""然 后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个 小球! 问题 观察两个小球的号码"你知道这个试验的结果有几 种情况吗( ! !提示" ) -./0 知识点一!随机试验及样本空间 $!随机试验的概念和特点 *$+随机试验#我们把对!!!!!!的实现和对它的观察称为随机试验" 简称试验"常用字母!!!!!!表示, *&+随机试验的特点# ! 试验可以在相同条件下!!!!!!进行, " 试验的所有可能结果是!!!!!!的"并且不止一个, % 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个"但事先不能确定出现哪 一个结果! 想一想 !随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗( !提示" $¯€'ç !$ Š ™ÐX $Ӏ'ç % Š™ÐX è %$ Š (éef" #(& &!样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点随机试验9的每个!!!!!!!的 !!!!!!称为样本点 用!!!!!!表 示样本点 样本空间全体!!!!!!的集合称为试验9的样本空间 用!!!!!!表 示样本空间 有限样 本空间 如果一个随机试验有# 个可能结果 ! $ " ! & "-" ! # "则称样本空间 " '4 ! $ " ! & "-" ! # 5为有限样本空间 " '4 ! $ " ! & "-" ! # 5 ! !提醒" 知识点二!三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间 " 的!!!!!!称为随机事件"简称事件" 并把只包含!!!!!!样本点的事件称为基本事件!随机事 件一般用大写字母3"4":"-表示!在每次试验中"当且仅当3 中某个样本点出现时"称为事件3发生 必然事件 " 作为自身的子集"包含了!!!!!!的样本点"在每次试 验中总有一个样本点发生"所以 " 总会发生"我们称 " 为必然 事件 不可能 事件 空集 % 不包含!!!!!!样本点"在每次试验中都不会发 生"我们称 % 为不可能事件 !提醒" ]w~nUw~ê> :Â_oqw~n H±jk¡é:&€ ™Ð:¤~efX / w~n:eðÈ© ¡é : w ~ ê >ƒ „ëìw~ê>© ‚e:‘’X ¨ ‚w~ê>" . 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !下列事件# ! 长度为1"3"0的三条线段可以构成一个直角三角形, " 经过有信号灯的路口"遇上 红灯, % 下周六是晴天!其中是随机事件的是 *!!+ *! !" +! "% ,! !% -! " "!从含有(件正品!&件次品的$)件产品中"任意抽取1件"则必然事件是 *!!+ *!1件都是正品 +!至少有$件次品 ,!1件都是次品 -!至少有$件正品 #!%袋子中有红!黄!蓝三个小球"从中取出两个球"观察颜色&这一试验的样本空间为!!!!! #(' 5607%89: 56;% 事件类型的判断 ! !方法总结$" !从$"&"1"-"$)这$)个数中任取1个不同的数"那么事件%这三个数的和 大于$)&是 *!!+ *!必然事件 +!不可能事件 ,!随机事件 -!以上选项均不正确 56<% 确定试验的样本点与样本空间 ! !方法总结&" !方法总结$" Äů€íîHï íî:Æi ¯Ñ;îX ´©ÊŠ íîrHp]t¯â ;î“ð:ƒ ÓÑefHÈñCX ¯âñC:HòYí îX ‡¯âñC:H jkíîX ¯â‡ñ C:H‡™Ðíî" !方法总结&" ów~ê>:ÎÏH ôw~nX ·Ê ŠÆi !!"võioŽ tw~n€2‡Hö X ™@+w~n¯ ¯võBW:‘’X ‰võ–ò÷Ù¯â :–ÀX zøb‡C ‡Fƒ !#"ùúiio ŽtDûƒÝ+: w~n:ü{X ¯Ø 3z`Û!ÍÛAÍ Û@q"ý¡:ef ™@ Ž ù ú i O P võƒ !("v$ioŽ t¡é+þÿ̀* ̀@q:![X y ¡éefp]: w~n€2:{ƒ ÝX [°+w~"# ©ÉÀ(2]Ê X ¶™ŽÅÆiX v$ i:$nHbN3/ j3‡ÔEF" #(( !*$+一个家庭生两个小孩"所有的样本点有 *!!+ *!*男"女+"*男"男+"*女"女+ +!*男"女+"*女"男+ ,!*男"男+"*男"女+"*女"男+"*女"女+ -!*男"男+"*女"女+ *&+甲!乙两人做猜拳游戏*锤子!剪刀!布+!求该事件的样本空间! 56=% 随机事件的含义 #!柜子里有1双不同的鞋"随机抽取&只"用3 $ "3 & "4 $ "4 & ": $ ": & 分别表 示1双不同的鞋"其中下标为奇数表示左脚"下标为偶数表示右脚!指 出下列随机事件的含义# *$++'43 $ 4 $ "3 $ 4 & "3 $ : $ "3 $ : & "3 & 4 $ "3 & 4 & "3 & : $ "3 & : & "4 $ : $ "4 $ : & " 4 & : $ "4 & : & 5, *&+"'43 $ 4 $ "4 $ : $ "3 $ : $ 5, *1+;'43 $ 4 & "3 $ : & "3 & 4 $ "3 & : $ "4 $ : & "4 & : $ 5! ! !方法总结1" !在试验9#%连续抛掷一枚均匀的骰子&次"观察每次掷出的点数&中"指出 下列随机事件的含义# *$+事件3'4*$"1+"*&"1+"*1"1+"*3"1+"*0"1+"*4"1+5, *&+事件4'4*$"0+"*0"$+"*&"3+"*3"&+"*1"1+5, *1+事件:'4*$"1+"*1"$+"*3"&+"*&"3+"*1"0+"*0"1+"*3"4+"*4" 3+5! !方法总结1" %µÝ&X z' ¿_Ý5X ()¡ é\žAw~ê>X @Aíî+w~n: 5’X Â*+íî+ w~n:,-X .Ð Nâíî:ÿ’" #() ?@A4%BCD !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !以下事件中不是随机事件的是 *!!+ *!在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次"两次都出现反面 +!明天下雨 ,!连续两次抛掷同一枚骰子"两次都出现&点 -!平面四边形的内角和是14)C "!集合3'4&"15"4'4$"&"35"从3"4中各任意取一个数"构成一个两位数"则所有样本点的个数 为 *!!+ *!( +!" ,!$& -!$$ #!抛掷一枚质地均匀的骰子两次"事件+'4*&"4+"*1"0+"*3"3+"*0"1+"*4"&+5"则事件+的含 义是!!!!!!!!!!!!!!!!! $!笼子中有3只鸡和1只兔"依次随机抽取"每次只取一只"直到1只兔全部被取出!记录剩余动物 的脚的只数"则该试验的样本空间为!!!!! %!从标有$"&"1"3"0的五张卡片中任取两张"观察取出的卡片上的数字! *$+写出这个试验的样本空间, *&+求这个试验的样本点的总数, *1+%数字之和为0&这一事件包含哪几个样本点( 请同学们认真完成练案!34" $)!$!&!事件的关系和运算 新课程标准解读 学科核心素养 了解随机事件的交!并含义! 数学抽象 理解互斥事件!对立事件的概念! 直观想象 能结合实例进行随机事件的交!并运算! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( $ )*+, ! !!在掷骰子试验中"定义如下事件#: $ '4出现$点5,: & '4出现&点5,: 1 '4出现1点5,: 3 ' 4出现3点5,: 0 '4出现0点5,: 4 '4出现4点5,< $ '4出现的点数不大于$5,< & '4出现的点 数不大于15,< 1 '4出现的点数不大于05,9'4出现的点数小于05,='4出现的点数大于35,> '4出现的点数为偶数5,?'4出现的点数为奇数5! #(! 2!乙!甲!.代表平均水平!因为.甲F.乙!所以乙同学的平均 成绩好!7% 表示相对于平均成绩的集中与分散)稳定与波动的 大小!因为7%甲F7%乙!所以甲同学的各科发展均衡! 章末复习与总结 例$%#$$ $ 抽样调查! % 高速公路上所有车的行驶速度!"辆 车的行驶速度!#%$'"1!#$$ $ 一名交警在高速公路上随机 观测了"辆车的车速!然后他给出了一份报告!交警采用的是 抽样调查的调查方式! % 这个调查的总体是高速公路上所有车的行驶速度!样本是 "辆车的行驶速度!个体是每辆车的行驶速度! #%$从随机数表第$行第1列的数开始向右读!编号分别为 ))$!/22!'"1!则第)支疫苗的编号为'"1! 例%%#$$+!#%$)'!#$$G次的训练成绩从小到大排列为%12! 1"!1G!11!11!1D!D'!G (1'! .2!"!所以第1'百分位数为从 小到大排列的数据中的第"个数据!即1D!故选+! #%$因为分数位于*%'!/'$和*/'!"'$的频率之和为#'!''2 0 '!'$'$ (%' .'!)!所以"'分为成绩的第)'百分位数! 例)%#$$因为#'!''' % 0'!''' / 0'!''' ) 0'!''' $$ (2'' . '!2!所以5 .'!2 $ ''' .'!''' 2!又'!''' 2 (2'' .'!%2!所以月 收入在*/ '''!/ 2''$内的频率为'!%2!所以$''人中月收入 在*/ '''!/ 2''$内的人数为'!%2 ($'' .%2! #%$因为'!''' % (2'' .'!$!'!''' / (2'' .'!%!'!''' 2 ( 2'' .'!%2!'!$ 0'!% .'!) F'!2!'!$ 0'!% 0'!%2 .'!22 C '!2!所以中位数在区间*) 2''!/ '''$内!所以样本数据的中 位数是) 2'' 0'!2 4#'!$ 0'!%$ '!''' 2 .) D''#元$! #)$样本平均数为#% G2' ('!''' % 0) %2' ('!''' / 0) G2' ('!''' 2 0/ %2' ('!''' 2 0/ G2' ('!''' ) 02 %2' ( '!''' $$ (2'' .) D''#元$! 例/%#$$由#'!'% 0'!'/ 0'!'" 0'!'G 0'!'D 0'!$' 0.$ (% . $!解得..'!$%! #%$估计%''件该产品中尺寸在*D1!$''$内的个数为%'' ( '!'D (% .)"! #)$由题意可得!这批产品中优等品有) ''' (#'!$1 0'!%'$ .$ $/'#件$! 不合格品有) ''' ('!'/ .$%'#件$! 合格品有) ''' 4$ $/' 4$%' .$ G/'#件$! 所以每台机器生产的产品一个月所获得的利润为$ $/' (2 0 $ G/' () 4$%' (% .$' "1'#元$! 因为$' "1' F$$ '''!所以需要对该工厂设备实施升级改造! 例2%#$$一)六!#%$乙!#$$由题意知!当产量在#) G'' 4% ( 2'!) G'' 0% (2'$即#) "''!) 1''$之外时该生产线失去控 制!由表中数据可知!该生产线在星期一和星期六两天失去了 控制! #%$因为方差越小!发挥越稳定!且比赛成绩是时间越短越好! 所以选乙参加比赛! 例"%从不同的角度分析如下% $ 甲组成绩的众数为D'分!乙组成绩的众数为G'分!从成绩 的众数这一角度看!甲组成绩好些! % 7 % 甲. $ % 02 0$' 0$) 0$/ 0" (*% (#2' 41'$ % 02 (#"' 4 1'$ % 0$' (#G' 41'$ % 0$) (#1' 41'$ % 0$/ (#D' 41'$ % 0" (#$'' 41'$ % + .$G%!同理得7%乙.%2"!因为7%甲F7%乙!所以甲 组的成绩比乙组的成绩稳定! ! 甲)乙两组成绩的中位数)平均数都是1'分!其中甲组成绩 在1'分以上#含1'分$的有))人!乙组成绩在1'分以上#含 1'分$的有%"人!从这一角度看!甲组成绩总体较好! & 从成绩统计表看!甲组成绩大于或等于D'分的有%'人!乙 组成绩大于或等于D'分的有%/人!所以乙组成绩在高分段 的人数多!同时!乙组$''分人数比甲组$''分人数多"人! 从这一角度看!乙组成绩较好! 例G%#$$中位数为/) 0/" % .//!2! 平均数为)2 0/" 0)% 0/% 0/) 02' 0)D 02% 02$ 0"' $' ./2! #%$由题知!今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间 段有关!明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今 年的平均销售量按比例分担! 今年白天的平均销售量为)2 0)% 0/) 0)D 02$ 2 ./'#件O天$! 今年晚上的平均销售量为/" 0/% 02' 02% 0"' 2 .2'#件O天$! 所以甲同学应分担的租金为D'' ( /' /' 02' ./''#元$! 乙同学应分担的租金为D'' ( 2' /' 02' .2''#元$! 第十章!概率 $'#$!随机事件与概率 $'#$#$!有限样本空间与随机事件 教材梳理!明要点 新知初探 知识点一 $!#$$随机现象!'!#%$重复!明确可知 想一想 !所得结果是随机的!但所有可能结果是一样的! %!可能!基本结果! % !样本点! * 知识点二 子集!一个!所有!任何 预习自测 $!+! $ 长度为)!/!2的三条线段可以构成一个直角三角形是 必然事件" % 经过有信号灯的路口!可能遇上红灯也可能不遇 上红灯!是随机事件" ! 下周六可能是晴天也可能不是晴天! 是随机事件!故选+! %!-!将抽到正品记为$!次品记为'!则样本空间 * ./#$!$! '$!#$!'!'$!#$!$!$$0!因此至少有$件正品为必然事件! )!/#红!黄$!#红!蓝$!#黄!蓝$0!袋子中有红)黄)蓝三个小 球!从中取出两个球!观察颜色!可能的组合有%#红!黄$! #红!蓝$!#黄!蓝$!故该试验的样本空间为/#红!黄$!#红! 蓝$!#黄!蓝$0! 题型探究!提技能 例$%#$$所有三角形的两边之和都大于第三边!所以是必然 事件! #%$空气和水是人类生存的必要条件!没有空气和水!人类无 法生存!所以是不可能事件! #)$任意抽取!可能得到$!%!)!/号标签中的任意一张!所以 是随机事件! #/$由能量守恒定律可知!不需任何能量的&永动机'不会出 现!所以是不可能事件! 跟踪训练$%,!因为从$!%!)!1!$'这$'个数中任取)个不同 的数!这)个数的和可能小于$'!可能等于$'!也有可能大于 $'!所以事件&这三个数的和大于$''是随机事件!故选,! 例%%#$$该试验的样本空间 * $ ./)!/!2!1!$10! #%$该试验所有可能的结果如图所示! 因此!该试验的样本空间 * % ./ 5 $ 5 % !5 $ 6 $ !5 $ 6 % !5 % 6 $ !5 % 6 % ! 6 $ 6 % 0! #)$ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 列出抛掷两次骰子出现点数和对应的表 ($)#( 由表可知&出现的点数之和大于1'可用集合表示为/#)!"$! #/!2$!#/!"$!#2!/$!#2!2$!#2!"$!#"!)$!#"!/$!#"!2$! #"!"$0! 跟踪训练%%#$$,!#%$见解析!#$$把第一个孩子的性别写在 前面!第二个孩子的性别写在后面!则所有的样本点是#男! 男$!#男!女$!#女!男$!#女!女$!故选,! #%$样本空间 * ./#锤子!锤子$!#锤子!剪刀$!#锤子!布$! #剪刀!锤子$!#剪刀!剪刀$!#剪刀!布$!#布!锤子$!#布!剪 刀$!#布!布$0! 例)%#$$事件)的含义是&从)双不同的鞋中随机抽取%只!取 出的%只鞋不成双'! #%$事件*的含义是&从)双不同的鞋中!随机抽取%只!取 出的%只鞋都是左脚的'! #)$事件+的含义是&从)双不同的鞋中!随机抽取%只!取 到的鞋一只是左脚的!一只是右脚的!且不成双'! 跟踪训练)%#$$事件"中所含的样本点中的第二个数为)!根据 样本空间知第二个数为)的样本点都在事件"中!故事件" 的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子%次!第二次掷出的点数 为)! #%$事件#中所含的样本点中两个数的和均为"!且样本空间 中两数和为"的样本点都在事件#中!故事件#的含义为连 续抛掷一枚均匀的骰子%次!%次掷出的点数之和为"! #)$事件%中所含样本点中两个数的差的绝对值为%!且样本 空间中两个数的差的绝对值为%的样本点都在事件%中! 故事件%的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子%次!两次掷出 的点数之差的绝对值为%! 随堂检测!重反馈 $!-!因为平面四边形的内角和是)"'3是一个确定的事实!而 其他三个都是随机出现的!所以选项-符合题意!故选-! %!-!从"!#中各任意取一个数!可构成$%!%$!%%!%/!/%!$)! )$!%)!)%!)/!/)!共$$个样本点! )!抛掷一枚质地均匀的骰子两次!向上点数之和为1 /!/'!%!/!"!10!由题意知!最少取)次!最多取G次!那么剩余 鸡的只数最多为/!最少为'!所以剩余动物的脚的只数可能 是1!"!/!%!'!故样本空间为/'!%!/!"!10! 2!#$$这个试验的样本空间 * ./#$!%$!#$!)$!#$!/$!#$!2$! #%!)$!#%!/$!#%!2$!#)!/$!#)!2$!#/!2$0! #%$样本点的总数是$'! #)$&数字之和为2'这一事件包含以下两个样本点%#$!/$! #%!)$! $'#$#%!事件的关系和运算 教材梳理!明要点 新知初探 知识点 想一想 !至少有一个发生可表示为" . # . %#或"0#0%$"同时发生 可表示为" : # : %#或"#%$! 预习自测 $!+!"." $ . " % . " ) 所表示的含义是" $ !" % !" ) 这三个事件中 至少有一个发生!即可能击中$发)%发或)发!故选+! %!-!记事件&./$枚硬币正面朝上0!事件'./%枚硬币正面 朝上0!事件(./)枚硬币正面朝上0!则".& . ' . (!#.% . & . '!显然% ) " : #!% ) " . #!% ? #!%不含于"!故选-! )!出现偶数点!掷一颗骰子!事件"%出现奇数点!则"的对立 事件为出现偶数点! 题型探究!提技能 例$%#$$ ? !#%$ ? !#)$ ? !#/$ .!因为出现的点数小于2 包含出现$点!出现%点!出现)点!出现/点四种情况!所以 事件#发生时!事件F必然发生!故# ? F"同理& ? Q!' ? J" 又易知事件"与事件4相等!即".4! 跟踪训练$%当事件"发生时!事件%一定发生! 当事件#发生时!事件%一定发生! 因此有" ? %!# ? %" 当事件"发生时!事件#一定不发生! 当事件#发生时!事件"一定不发生! 因此事件"与事件#之间不存在包含关系! 综上!事件"!#!%之间的包含关系为" ? %!# ? %! 例%%#$$对于事件&!可能的结果为$个红球%个白球或%个红 球$个白球!故&." . #! #%$对于事件%!可能的结果为$个红球%个白球!%个红球$ 个白球!)个均为红球!故% : "."! 跟踪训练%%#$$,!#%$,-!#$$从$!%!)!/这/个数中!任取% 个数求和!则试验的样本空间为 * ./#$!%$!#$!)$!#$!/$! #%!)$!#%!/$!#)!/$0!其中事件"包含的样本点有#$!/$! #%!)$!#%!/$!#)!/$!共/个!事件#包含的样本点有#$!)$! #%!/$!共%个!所以事件" . #包含的样本点有#$!)$!#$! /$!#%!)$!#%!/$!#)!/$!共2个"事件" : #包含的样本点有 #%!/$!共$个!故选,! #%$; .&第一次摸到红球'!:.&两次都摸到红球'!则: ? ;! *不正确":.&两次都摸到红球'!4.&两次都摸到绿球'!两 个事件没有公共的基本事件!: : 4. @ !+不正确":.&两次 都摸到红球'!4.&两次都摸到绿球'!).&两球颜色相同'! :或4表示摸的两个球的颜色相同!即: . 4.)!,正确" ).&两球颜色相同'!*.&两球颜色不同'!由对立事件的定 义知).*!-正确!故选,-! 例)%#$$,!#%$+-!#$$同时抛掷两枚均匀的骰子!可能出现 的结果共有)"个!&都不是2点且都不是"点'包含$"个样 本点!其对立事件是&至少有一个是2点或"点'!故选,! #%$从装有红色)绿色和蓝色小球各%个的口袋内!一次任意 取出%个小球!这两个小球可能为%个红色球)%个绿色球)% 个蓝色球)$个红色$个蓝色)$个红色$个绿色)$个蓝色$ 个绿色共"种情况!则与事件&%个小球都为红色'互斥而不 对立的事件有%%个小球恰有$个红球"%个小球都为绿球!而 %个小球不全为红球与事件%个小球都为红色是对立事件"% 个小球至少有$个红球包括%个红色球)$个红色$个蓝色)$ 个红色$个绿色!则选项,与&%个小球都为红色'不互斥!故 选+-! 跟踪训练)%#$$,!#%$ % !#$$至多一次中靶包含没有中靶和 恰有一次中靶!至少一次中靶!包含恰有一次!两次!三次中靶 三种情况!两者都包含了恰有一次中靶!故不是互斥事件!* 错误"三次都不中靶包含于至多有一次中靶!故不是互斥事 件!+错误"恰有两次中靶!与至多有一次中靶不可能同时发 生!但不对立!属于互斥不对立事件!,正确"至少两次中靶与 至多有一次中靶为对立事件!故-错误!故选,! #%$ $ 是互斥不对立的事件! % 是对立事件! !& 不是对立 事件! 随堂检测!重反馈 $!,!由题意!可知"./$!%0!#./%!)0!则" : #./%0!" . # ./$!%!)0!5" . #表示向上的点数为$或%或)!故选,! %!,!事件"%命中环数大于1即命中D或$'环"事件#%命中环 数大于2即命中"或G或1或D或$'环!故" ? #!故选,! )!*+-!事件"!#都指的是一奇一偶!故*正确"至少有一个奇 数!指两个数是一奇一偶!或是两个奇数!所以# ? %!故+正 确"至多有一个奇数指一奇一偶!或是两偶!此时事件&!'有 公共事件!故,错误"此时%!&是对立事件!所以% : &. @ ! % . &. * !故选*+-! /!&甲)乙都正常工作'! % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % " (%)#(