练案32 第4章 2.4 积化和差与和差化积公式-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［３２］ 第四章　 三角恒等变换 § ２　 ［２． ４　 积化和差与和差化积公式］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．计算ｓｉｎ １０５°ｃｏｓ ７５°的值是 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． １ ４ Ｃ． － １４ Ｄ． － １ ２ ２．利用公式：ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ β，ｓｉｎ（α － β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β － ｃｏｓ αｓｉｎ β，可得：ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ １ ２ ｓｉｎ（α ＋ β）＋ ｓｉｎ（α － β[ ]） ．则化简ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ７０° ＋ ｓｉｎ １０°ｓｉｎ ５０°的值是 （　 　 ） Ａ． １４ Ｂ． 槡３ ２ Ｃ． １２ Ｄ． 槡３ ４ ３．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )６ ｃｏｓ ｘ的最大值为 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ Ｄ．槡２２ ４． ｓｉｎ ２０° ＋ ｓｉｎ ４０° － ｓｉｎ ８０°的值为 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ．槡３２ Ｃ． １２ Ｄ． １ ５．函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ｘ２ ｓｉｎ α － ｘ( )２ 的最大值等于（　 　 ） Ａ． １ － ｃｏｓ α Ｂ． １ － ｓｉｎ α Ｃ． １ ＋ ｃｏｓ α Ｄ． １ ＋ ｓｉｎ α ６．已知ｃｏｓ（α ＋ β）ｃｏｓ（α － β）＝ １３ ，则ｃｏｓ ２α － ｓｉｎ２β的值 为 （　 　 ） Ａ． － ２３ Ｂ． － １ ３ Ｃ． １３ Ｄ． ２ ３ 二、填空题 ７． ｓｉｎ １０５° ＋ ｓｉｎ １５° ＝ 　 　 　 　 ． ８． ｃｏｓ ４０° ＋ ｃｏｓ ６０° ＋ ｃｏｓ ８０° ＋ ｃｏｓ １６０° ＝ 　 　 　 　 ． ９． ｓｉｎ π４ ＋( )α ·ｃｏｓ π４ ＋( )β 化为和差的结果是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．在△ＡＢＣ中，若Ｂ ＝ ３０°，求ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ的取值范围． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ｘ２ ｓｉｎ π ３ － ｘ( )２ 的最大值是（　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． ３ ２ Ｃ． － １ ２ Ｄ． － ２ ３ ２．（多选）下列四个关系式中，不正确的是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ ５θ ＋ ｓｉｎ ３θ ＝ ２ｓｉｎ ８θｃｏｓ ２θ Ｂ． ｃｏｓ ３θ － ｃｏｓ ５θ ＝ － ２ｓｉｎ ４θｓｉｎ θ Ｃ． ｓｉｎ ３θ － ｓｉｎ ５θ ＝ － １２ ｃｏｓ ４θｃｏｓ θ Ｄ． ｓｉｎ ５θ ＋ ｃｏｓ ３θ ＝ ２ｓｉｎ ４θｃｏｓ θ ３．若ｓｉｎ α ＋ ｓｉｎ β ＝槡３３ （ｃｏｓ β － ｃｏｓ α）且α∈（０，π）， β∈（０，π），则α － β等于 （　 　 ） Ａ． － ２π３ Ｂ． － π ３ Ｃ． π ３ Ｄ． ２π                                                                  ３ —３５２— ４．已知△ＡＢＣ是锐角三角形，Ｐ ＝ ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ，Ｑ ＝ ｃｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓ Ｂ，则 （　 　 ） Ａ． Ｐ ＜ Ｑ Ｂ． Ｐ ＞ Ｑ Ｃ． Ｐ ＝ Ｑ Ｄ． Ｐ与Ｑ的大小不能确定 二、填空题 ５．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )３ ｃｏｓ ｘ ＋２π( )３ 的最大值是　 　 　 　 ． ６． １ｓｉｎ ４０° ＋ ｃｏｓ ８０° ｓｉｎ ８０° ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．已知ｆ（ｘ）＝ － １２ ＋ ｓｉｎ ５ｘ２ ２ｓｉｎ ｘ２ ，ｘ∈（０，π）． （１）将ｆ（ｘ）表示成ｃｏｓ ｘ的多项式； （２）求ｆ（ｘ）的最小值． ８．求下列各式的值： （１）ｃｏｓ π８ ＋ ｃｏｓ ３π ８ － ２ｓｉｎ π ４ ｃｏｓ π ８ ； （２）ｓｉｎ １３８° － ｃｏｓ １２° ＋ ｓｉｎ ５４°                                                                         ． —４５２— 槡－ ２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ，当ｘ ∈ － π４ ，３４[ ]π ，即ｘ － π４ ∈ － π２ ， π[ ]２ 时，ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 单调递增，ｙ 槡＝ － ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ 单调递减． ∵函数ｆ（ｘ）在［－ ａ，ａ］是减函数，∴ ［－ ａ，ａ］ － π４ ， ３ ４[ ]π ，∴ ０ ＜ ａ≤ π４ ，故选ＡＢ． ５． １　 由∠Ａ ＝ １２０°，∠Ａ ＋∠Ｂ ＋∠Ｃ ＝ １８０°，得ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ（６０° － Ｂ）＝槡３２ ｃｏｓ Ｂ ＋ １ ２ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ（６０° ＋ Ｂ）．显然 当∠Ｂ ＝ ３０°时，ｓｉｎ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｃ取得最大值１． ６． ２　 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ 槡＋ ３ｓｉｎ ｘ ＝ ２ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ ，∵ ０≤ｘ ＜ π２ ，∴ π６ ≤ ｘ ＋ π６ ＜ ２π ３ ，∴当ｘ ＋ π ６ ＝ π ２时，ｆ（ｘ）取最大值为２． ７．（１）因为ｆ（ｘ）＝槡３２ ｓｉｎ ωｘ ＋ １ ２ ｃｏｓ ωｘ， 所以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ π( )６ ． 因为函数ｆ（ｘ）的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所 以Ｔ ＝ ２π，ω ＝ ２πＴ ＝ １， 所以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )６ ． 所以ｆ － π( )４ ＝ ｓｉｎ － π４ ＋ π( )６ ＝ ｓｉｎ π６ ｃｏｓ π ４ － ｃｏｓ π ６ ｓｉｎ π ４ ＝ 槡槡２ － ６ ４ ． （２）由（１）得ｆ α － π( )６ ＝ ｓｉｎ α ＝ １２１３， ｆ β ＋ ５π( )６ ＝ ｓｉｎ（β ＋ π）＝ － ｓｉｎ β ＝ － ３５ ， 所以ｓｉｎ β ＝ ３５ ． 因为α，β∈ ０，π( )２ ， 所以ｃｏｓ α ＝ １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ ５１３，ｃｏｓ β ＝ １ － ｓｉｎ２槡 β ＝ ４ ５ ， 所以ｃｏｓ（α ＋ β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β ＝ ５１３ × ４ ５ － １２ １３ × ３ ５ ＝ － １６６５ ． ８．（１）因为（ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ）２ ＝ ｓｉｎ２Ｃ ＋ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ，由正弦定理得 （ａ ＋ ｂ）２ ＝ ｃ２ ＋ ａｂ，即ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ＝ － ａｂ，所以ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ＝ － １ ２ ，Ｃ是三角形内角，则Ｃ ＝ ２π ３ ． （２）由（１）Ｃ ＝ ２π３ ，则０ ＜ Ａ ＜ π ３ ， 由正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ 槡２ ３ ｓｉｎ ２π３ ＝ ４得，ａ ＝ ４ｓｉｎ Ａ，ｂ ＝ ４ｓｉｎ Ｂ ＝ ４ｓｉｎ π３ －( )Ａ ， ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ４ｓｉｎ Ａ ＋ ４ｓｉｎ π３ －( )Ａ 槡＋ ２ ３ ＝ ４ｓｉｎ Ａ ＋ ４ 槡３ ２ ｃｏｓ Ａ － １ ２ ｓｉｎ( )Ａ 槡＋ ２ ３ ＝ ２ｓｉｎ Ａ 槡＋ ２ ３ｃｏｓ Ａ ＋ 槡２ ３ ＝ ４ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ 槡＋ ２ ３， ０ ＜ Ａ ＜ π３ ，则 π ３ ＜ Ａ ＋ π ３ ＜ ２π ３ ，槡 ３ ２ (＜ ｓｉｎ Ａ ＋ π )３ ≤１， 所以槡４ ３ ＜ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ≤ 槡４ ＋ ２ ３． Ａ ＝ π６时，ａ ＋ ｂ ＋ ｃ取得最大值 槡４ ＋ ２ ３． 练案［３２］ Ａ组·素养自测 １． Ｂ　 ｓｉｎ １０５°ｃｏｓ ７５° ＝ １２ （ｓｉｎ １８０° ＋ ｓｉｎ ３０°）＝ １ ４ ． ２． Ａ　 由ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ [１２ ｓｉｎ（α ＋ β）＋ ｓｉｎ（α － β ]） 可得， ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ７０° ＝ １２ ［ｓｉｎ（２０° ＋ ７０°）＋ ｓｉｎ（２０° － ７０°）］＝ １ ２ ｓｉｎ ９０° ＋ １ ２ ｓｉｎ（－ ５０°），ｓｉｎ １０° ｓｉｎ ５０° ＝ ｓｉｎ １０° ｓｉｎ（９０° － ５０°）＝ ｓｉｎ １０° ｃｏｓ ４０° ＝ １２ ｓｉｎ（１０° ＋ ４０°）＋ ｓｉｎ（１０° － ４０°[ ]） ＝ １２ ｓｉｎ ５０° ＋ １ ２ ｓｉｎ（－３０°），所以ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ７０° ＋ ｓｉｎ １０°ｓｉｎ ５０° ＝ １２ ｓｉｎ ９０° ＋ １ ２ ｓｉｎ（－ ５０°）＋ １ ２ ｓｉｎ ５０° ＋ １ ２ ｓｉｎ（－ ３０°）＝ １ ２ ｓｉｎ ９０° － １ ２ ｓｉｎ ５０° ＋ １ ２ ｓｉｎ ５０° － １ ２ ｓｉｎ ３０° ＝ １ ２ － １ ４ ＝ １ ４ ， 故选Ａ． ３． Ｂ　 ∵ ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )６ ｃｏｓ ｘ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ － π ６ ＋( )ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ － π６ －( )[ ]ｘ ＝ １２ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ －[ ]１２ ＝ １２ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ － １４ ． ∴函数ｙ取最大值为１４ ． ４． Ａ　 原式＝ ２ｓｉｎ ３０° ｃｏｓ １０° － ｓｉｎ ８０° ＝ ｃｏｓ １０° － ｓｉｎ ８０° ＝ ｓｉｎ ８０° － ｓｉｎ ８０° ＝ ０． ５． Ａ　 ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ｘ２ ｓｉｎ α － ｘ( )２ ＝ －［ｃｏｓ α － ｃｏｓ（ｘ － α）］＝ ｃｏｓ（ｘ － α）－ ｃｏｓ α．当ｃｏｓ（ｘ － α）＝ １时，ｆ（ｘ）取得最大值１ － ｃｏｓ α． ６． Ｃ　 由已知得ｃｏｓ２αｃｏｓ２β － ｓｉｎ２αｓｉｎ２β ＝ １３ ，∴ ｃｏｓ ２α（１ － ｓｉｎ２β） － ｓｉｎ２αｓｉｎ２β ＝ １３ ，即ｃｏｓ ２α － ｓｉｎ２β ＝ １３ ． ７．槡６２ 　 ｓｉｎ １０５° ＋ ｓｉｎ １５° ＝ ２ｓｉｎ １０５° ＋ １５° ２ ｃｏｓ １０５° － １５° ２ ＝ ２ｓｉｎ ６０°ｃｏｓ ４５° ＝ ２ ×槡３２ ×槡 ２ ２ ＝ 槡６ ２                                                                       ． —０９３— ８． １２ 　 原式＝ ｃｏｓ ４０° ＋ ｃｏｓ ８０° ＋ ｃｏｓ ６０° － ｃｏｓ ２０° ＝ ２ｃｏｓ ６０°· ｃｏｓ（－ ２０°）＋ ｃｏｓ ６０° － ｃｏｓ ２０° ＝ ｃｏｓ ６０° ＝ １２ ． ９． １２ ｃｏｓ（α ＋ β）＋ １ ２ ｓｉｎ（α － β）　 原式＝ [１２ (ｓｉｎ π２ ＋ α ＋ )β ＋ ｓｉｎ（α － β ]） ＝ １２ ｃｏｓ（α ＋ β）＋ １２ ｓｉｎ（α － β）． １０．由题意，得ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ ＝ １２ ［ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ）－ ｓｉｎ（Ａ － Ｃ）］ ＝ １２ ［ｓｉｎ（π － Ｂ）－ ｓｉｎ（Ａ － Ｃ）］＝ １ ４ － １ ２ ｓｉｎ（Ａ － Ｃ）． ∵ Ｂ ＝ ３０°，∴ －１５０° ＜ Ａ － Ｃ ＜ １５０°， ∴ －１≤ｓｉｎ（Ａ － Ｃ）≤１， ∴ － １４ ≤ １ ４ － １ ２ ｓｉｎ（Ａ － Ｃ）≤ ３ ４ ． ∴ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ的取值范围是－ １４ ，[ ]３４ ． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ｘ２ ｓｉｎ π ３ － ｘ( )２ ＝ － ｃｏｓ ｘ２ ＋ π ３ － ｘ( )２ － ｃｏｓ ｘ２ － π３ ＋ ｘ( )[ ]２ ＝ － ｃｏｓ π３ ＋ ｃｏｓ ｘ － π( )３ ＝ ｃｏｓ ｘ － π( )３ － １２ ． ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ １ － １２ ＝ １ ２ ． ２． ＡＢＣＤ 　 Ａ错误，右边应是２ｓｉｎ ４θｃｏｓ θ． Ｂ错误，右边应是 ２ｓｉｎ ４θｓｉｎ θ． Ｃ错误，右边应是－ ２ｃｏｓ ４θｓｉｎ θ． Ｄ错误，左边为 异名三角函数，应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积， 即ｓｉｎ ５θ ＋ ｃｏｓ ３θ ＝ ｓｉｎ ５θ ＋ ｓｉｎ π２ － ３( )θ ＝ (２ｓｉｎ θ ＋ π )４ (ｃｏｓ ４θ － π )４ ． ３． Ｄ　 ∵ α、β∈（０，π），∴ ｓｉｎ α ＋ ｓｉｎ β ＞ ０． ∴ ｃｏｓ β － ｃｏｓ α ＞ ０， ∴ ｃｏｓ β ＞ ｃｏｓ α，又在（０，π）上，ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ是减函数． ∴ β ＜ α， ∴ ０ ＜ α － β ＜ π，由原式可知：２ｓｉｎ α ＋ β２ ｃｏｓ α － β ２ ＝ 槡３ ３ － ２ｓｉｎ α ＋ β ２ ·ｓｉｎ β － α( )２ ，∴ ｔａｎ α － β２ 槡＝ ３，∴ α － β２ ＝ π３ ， ∴ α － β ＝ ２π３ ． ４． Ｂ　 Ｐ － Ｑ ＝（ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ）－（ｃｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓ Ｂ）＝ ２ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ · ｃｏｓ Ａ － Ｂ２ － ２ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ ２ ·ｃｏｓ Ａ － Ｂ ２ ＝ ２ ｃｏｓ Ａ － Ｂ ２ ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ２ － ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ( )２ ，由于△ＡＢＣ是锐角三角形，所以Ａ ＋ Ｂ ＝ １８０° － Ｃ ＞ ９０°，所以Ａ ＋ Ｂ２ ＞ ４５°，ｓｉｎ Ａ ＋ Ｂ ２ ＞ ｃｏｓ Ａ ＋ Ｂ ２ ，０ ＜ Ａ， Ｂ ＜ ９０°，所以－ ４５° ＜ Ａ － Ｂ２ ＜ ４５°，ｃｏｓ Ａ －Ｂ ２ ＞０，综上，Ｐ －Ｑ ＞０， 即Ｐ ＞ Ｑ，故选Ｂ． ５． ３４ 　 由题意知，ｙ ＝ [１２ ｃｏｓ（２ｘ ＋ π） (＋ ｃｏｓ － π ) ]３ ＝ １ ２ － ｃｏｓ ２ｘ ＋ ｃｏｓ π( )３ ＝ １４ － １２ ｃｏｓ ２ｘ，因为－ １≤ｃｏｓ ２ｘ≤１， 所以ｙｍａｘ ＝ ３４ ． ６．槡３　 １ｓｉｎ ４０° ＋ ｃｏｓ ８０° ｓｉｎ ８０° ＝ ２ｃｏｓ ４０°２ｓｉｎ ４０°ｃｏｓ ４０° ＋ ｃｏｓ ８０° ｓｉｎ ８０° ＝ ｃｏｓ ４０° ＋（ｃｏｓ ４０° ＋ ｃｏｓ ８０°）ｓｉｎ ８０° ＝ ｃｏｓ ４０° ＋ ２ｃｏｓ ６０°ｃｏｓ ２０°ｓｉｎ ８０° ＝ ｃｏｓ ４０° ＋ ｃｏｓ ２０°ｃｏｓ １０° ＝ ２ｃｏｓ ３０°ｃｏｓ １０°ｃｏｓ １０° 槡＝ ２ｃｏｓ ３０° ＝ ３． ７．（１）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ５ｘ２ － ｓｉｎ ｘ ２ ２ｓｉｎ ｘ２ ＝ ２ｃｏｓ ３ｘ２ ｓｉｎ ｘ ２ｓｉｎ ｘ２ ＝ ２ｃｏｓ ３ｘ２ ｃｏｓ ｘ ２ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ＝ ２ｃｏｓ ２ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ － １． （２）∵ ｆ（ｘ）＝ ２ ｃｏｓ ｘ ＋( )１４ ２ － ９８且－ １ ＜ ｃｏｓ ｘ ＜ １， ∴当ｃｏｓ ｘ ＝ － １４时，ｆ（ｘ）取最小值－ ９ ８ ． ８．（１）ｃｏｓ π８ ＋ ｃｏｓ ３π ８ － ２ｓｉｎ π ４ ｃｏｓ π ８ ＝ ２ｃｏｓ π ８ ＋ ３π ８ ２ ·ｃｏｓ π ８ － ３π ８ ２ 槡－ ２ｃｏｓ π ８ ＝ ２ｃｏｓ π４ ｃｏｓ π ８ 槡－ ２ｃｏｓ π ８ 槡＝ ２ｃｏｓ π８ 槡－ ２ｃｏｓ π ８ ＝ ０． （２）ｓｉｎ １３８° － ｃｏｓ１２° ＋ ｓｉｎ ５４° ＝ ｓｉｎ ４２° － ｃｏｓ １２° ＋ ｓｉｎ ５４° ＝ ｓｉｎ ４２° － ｓｉｎ ７８° ＋ ｓｉｎ ５４° ＝ － ２ｃｏｓ ６０°ｓｉｎ １８° ＋ ｓｉｎ ５４° ＝ ｓｉｎ ５４° － ｓｉｎ １８° ＝ ２ｃｏｓ ３６°ｓｉｎ １８° ＝ ２ｃｏｓ ３６°ｓｉｎ １８°ｃｏｓ １８°ｃｏｓ １８° ＝ ｃｏｓ ３６°ｓｉｎ３６°ｃｏｓ１８° ＝ ２ｃｏｓ ３６°ｓｉｎ ３６°２ｃｏｓ １８° ＝ ｓｉｎ ７２°２ｃｏｓ １８° ＝ １ ２                                                                      ． —１９３—