6.6.2 柱、锥、台的体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

6.2　柱、锥、台的体积 (教师独具内容) 课程标准：知道柱体、锥体、台体的体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：柱体、锥体、台体的体积计算公式． 教学难点：运用柱体、锥体、台体的体积计算公式解决问题． 知识点　柱、锥、台的体积公式 几何体 公式 说明 柱体 V柱体＝Sh S为柱体的底面积，h为柱体的高 锥体 V锥体＝Sh S为锥体的底面积，h为锥体的高 台体 V台体＝(S上＋S下＋)h S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高 1．(1)底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱＝πr2h. (2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是V圆锥＝πr2h. (3)如果圆台上、下底面半径分别是r′，r，高是h，那么它的体积是V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)． 2．柱、锥、台的体积公式之间的关系 其中S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为高，S为柱体或锥体的底面积． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　) (2)圆台的高就是相应母线的长．(　　) (3)圆柱的母线即圆柱的高．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 (2)圆锥的高扩大为原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的体积变为原来的______倍(　　) A．1 B．n C．n2 D. (3)已知一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为，则其体积等于________． 答案：(1)D　(2)D　(3) 题型一　柱体的体积 　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，截面BC1D是面积为6的直角三角形，求此正三棱柱的体积． [解]　设AC＝a，CC1＝b， 由题意易知△BC1D为等腰直角三角形， 则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2， 又△BC1D的面积为6， 则＝×a2＝6，所以a2＝8， 故此正三棱柱的体积为a2×b＝×8×＝8. 【感悟提升】　求柱体体积的方法 求柱体的体积关键是求其底面积和高，然后用公式V＝Sh进行计算．底面积利用平面图形面积的求法，求棱柱底面积常转化为三角形及四边形．有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解． 【跟踪训练】 1．(1)圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________． 答案：2S 解析：设圆柱的底面半径为r，则S＝πr2，∴r＝，则圆柱的母线长l＝2πr＝2，即圆柱的高h＝2，∴V圆柱＝S·h＝2S. (2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值为________． 答案： 解析：由于正方体和圆柱等高，故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a，圆柱的底面半径为r，则正方体的侧面面积为4a2，圆柱的侧面面积为2πra.又4a2＝2πra，所以r＝，所以正方体的体积为V正方体＝a3，圆柱的体积为V圆柱＝πr2a＝，故＝.即这个正方体和圆柱的体积的比值为. 题型二　锥体的体积 　一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积． [解]　如图所示，正三棱锥S－ABC. 设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC. ∵△ABC是边长为6的正三角形， ∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2. 在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9. 在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2， ∴SH＝＝＝. ∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9. 【感悟提升】　求锥体体积常用的方法 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算．求三棱锥的体积时常用等积变换法，由于三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，所以求体积时，可选择容易计算的底面及相应的高来计算． 【跟踪训练】 2．(1)已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________． 答案： 解析：由题知，扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为＝2，则所求体积V＝×π×12×2＝. (2)如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，则此锥体的体积为________． 答案： cm3 解析：∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC.在Rt△VMC中，MC＝＝＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．在Rt△ABC中，BC＝＝＝2(cm)．S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，∴V锥＝S底·VM＝×8×4＝(cm3)．∴棱锥的体积为cm3. 题型三　台体的体积 　圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的体积是多少？ [解]　如图，A，O分别为圆台上、下底面圆心，BD为圆台的一条母线，连接AO，AB，OD， 过B作BC⊥OD，交OD于C， 由题意，得πAB2＝16π， 所以AB＝4 cm. 则圆台的高h＝BC＝ ＝＝4(cm)， 所以V圆台＝h(S上＋＋S下)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)． 【感悟提升】　台体体积常见的解题方法 台体的体积计算公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上，S下分别表示台体的上、下底面面积，这一公式较为复杂，要求记准．计算体积的关键是求出上、下底面面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形．另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算． 【跟踪训练】 3．若正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该正四棱台的体积． 解：如图，设正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面的中心分别为O1，O，连接O1O，O1B1，OB. ∵上、下底面边长分别为2 cm和4 cm， ∴O1B1＝ cm，OB＝2 cm. 过点B1作B1M⊥OB于点M， 那么B1M为正四棱台的高， 在Rt△BMB1中，BB1＝2 cm，MB＝OB－O1B1＝2－＝(cm)， 根据勾股定理，得 B1M＝＝＝(cm)． 又S上底面＝22＝4(cm2)，S下底面＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝××(4＋＋16)＝××28＝(cm3)． 1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π. 2．已知一个正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　) A．6 B. C．2 D．2 答案：B 解析：因为正六棱锥的高h＝＝2，所以V＝Sh＝×6××12×2＝. 3．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 解析：设圆台的体积为V，高为h.由题意，得V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3. 4．长方体相邻三个面的面积分别为2，6和9，则该长方体的体积是________． 答案：6 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，不妨令ab＝2，ac＝6，bc＝9，则可得(abc)2＝108，所以该长方体的体积V＝abc＝6. 5．已知一个棱台的两个底面面积分别是245 cm2和80 cm2，截得这个棱台的棱锥的高为35 cm，求这个棱台的体积． 解：设棱台的高为h，截得这个棱台的棱锥的高为h′. 由＝， 及S上＝80 cm2，S下＝245 cm2，h′＝35 cm， 得h＝15 cm或h＝55 cm(舍去)， 则这个棱台的体积V＝h(S上＋＋S下)＝2325(cm3)． 课后课时精练 一、选择题 1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(　　) A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3 答案：A 解析：设所求圆锥底面半径为r，高为h，则πR＝2πr，∴r＝R，h＝＝R.故所求圆锥体积V＝πr2h＝π·R2·R＝πR3.故选A. 2．正四棱柱的底面积为P，过相对侧棱截面的面积为Q，则它的体积是(　　) A.Q B.Q C.Q D.Q 答案：D 解析：设正四棱柱的底面边长、高分别为a，h，则P＝a2，Q＝ah.∴V＝a2h＝a·ah＝·＝Q.故选D. 3．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是(　　) A．9π B．9 C．3π D．3 答案：C 解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝＝，∴V圆锥＝πr2h＝3π. 4．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为×＝，故剩下的凸多面体的体积为1－8×＝. 5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1100π C．高是10 D．体积是 答案：ABD 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π.故选ABD. 二、填空题 6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为__________． 答案： 解析：S△DD1E＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△DD1E×1＝. 7．(2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________． 答案： 解析：由题意可得，两个圆台的高分别为 h甲＝＝(r2－r1)，h乙＝＝2(r2－r1)，所以＝＝＝＝. 8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________． 答案：a 解析：左面液体形成的锥体的底面半径和高都是h，右面液体形成的圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2·h＝π··h，解得h＝a. 三、解答题 9.现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，求仓库的容积． 解：由PO1＝2 m，得OO1＝8 m， 则VP－A1B1C1D1＝S四边形A1B1C1D1×PO1＝×62×2＝24(m3)，VABCD－A1B1C1D1＝S四边形ABCD×OO1＝62×8＝288(m3)， V＝VP－A1B1C1D1＋VABCD－A1B1C1D1＝312 m3， 故仓库的容积为312 m3. 10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d. 解：在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a， ∵VA1－ABD＝VA－A1BD， ∴×a2×a＝××a××a×d. ∴d＝a. 11.如图所示是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水面下放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π≈3.14) 解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际上是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面相同，是一直径为20 cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度． 圆锥形铅锤的体积为×π××20＝60π(cm3)． 设水面下降的高度为x cm， 则小圆柱的体积为π××x＝100πx(cm3)， 所以60π＝100πx，解得x＝0.6(cm)， 即铅锤取出后，杯里的水将下降0.6 cm. 12．如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积． 解：∵EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，且EB∥FD1，ED1∥BF， ∴四边形EBFD1为菱形． 又△EFB≌△EFD1，且三棱锥A1－EFB和A1－EFD1等高， ∴VA1－EFB＝VA1－EFD1， ∴VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EA1B. 而S△EA1B＝··a＝， F到面EA1B的距离为a， ∴VF－EA1B＝··a＝， ∴VA1－EBFD1＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$