第6章 4.2 平面与平面平行(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

KLMN%OPQ １．平面α与△ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ分别交于Ｄ，Ｅ，且 ＡＤＤＢ ＝ ＡＥＥＣ，如图所示，则ＢＣ与α的位置关 系是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．平行　 　 Ｂ．相交 Ｃ．异面　 　 Ｄ． ＢＣα ２．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ为Ａ１Ｂ１中点，下列 说法正确的是 （　 　 ） Ａ． ＢＣ１∥平面Ｄ１ＭＣ Ｂ． Ｃ１Ｄ１∥平面ＡＣＭ Ｃ． ＣＭ∥平面Ａ１ＢＤ Ｄ． Ｂ１Ｃ∥平面Ｄ１ＭＢ ３．点Ｍ、Ｎ是正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱Ａ１Ａ与Ａ１Ｂ１ 的中点，Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的中心，则ＭＮ与平面 ＰＣＢ１的位置关系是 （　 　 ） Ａ．平行 Ｂ．相交 Ｃ． ＭＮ平面ＰＣＢ１ Ｄ．以上三种情形都有可能 ４．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｅ是ＤＤ１ 的中 点，则Ａ１Ｃ１与平面ＡＣＥ的位置关系为　 　 　 　 ． ５．如图，三棱柱ＡＢＣ － Ａ′Ｂ′Ｃ′，点Ｍ、Ｎ分别为Ａ′Ｂ和 Ｂ′Ｃ′的中点．证明：ＭＮ∥平面Ａ′ＡＣＣ′． 请同学们认真完成练案［４５                                            ］ ４． ２　 平面与平面平行 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平 面与平面平行的位置关系． ２．掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平 行的位置关系． 通过本节的学习，培养学生学会有逻辑地思考问题；能 够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，提升数 形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力的素养． !'" )*+,%-.+ 知识点１　 平面与平面平行的性质定理 　 　 文字叙述：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交　 ，那么两条交线平行． 符号表示：α∥β，α∩γ ＝ ａ，β∩γ ＝ ｂａ∥ｂ． 图形表示（如右图所示）． 作用：证明两直线平行． 知识点２　 平面与平面平行的判定定理 　 　 文字叙述：如果一个平面内的两条相交直线　 与另一个平面平行，那么这两个平面 平行． 符号表示： ａα，ｂα，ａ∩ｂ ＝ Ａ，ａ∥β，ｂ∥βα∥β． 图形表示（如右图所示）． 作用：证明平面与平面平行． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%nnʋ<€›&ª<IJ １．如图，已知平面α∥β，点Ｐ是平面α，β外的一点（不 在α与β之间），过点Ｐ的直线ｍ与α，β分别交于Ａ， Ｃ，过点Ｐ的直线ｎ与α，β分别交于Ｂ，Ｄ，且ＰＡ ＝ ６， ＡＣ ＝ ９，ＰＤ ＝ ８，求ＢＤ的长． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 如图，已知α∥β，点Ｐ是平面α，β外的一点（不在α与β之 间），直线ＰＢ，ＰＤ分别与α，β相交于点Ａ，Ｂ和Ｃ，Ｄ． （１）求证：ＡＣ∥ＢＤ； （２）已知ＰＡ ＝ ４ ｃｍ，ＡＢ ＝ ５ ｃｍ，ＰＣ ＝ ３ ｃｍ，求ＰＤ的长； （３）若点Ｐ在α与β之间，试在（２）的条件下求ＣＤ的长． 归纳提升： １． ÂFwÆrwÆwú >ÍGn-Þß ２． @MwúwÆê¯& 4šwÆf-wúu¯ ê¯&XšGn?p b#XRwúwÆê¯ &XšGn ． !'! 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%nnʋ<Î&&ª<IJ ２．如图，已知四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ为平行四边形， 点Ｍ，Ｎ，Ｑ分别是ＰＡ，ＢＤ，ＰＤ的中点． 求证：平面ＭＮＱ∥平面ＰＢＣ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 如图所示，在三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，点Ｄ，Ｅ分别是ＢＣ与 Ｂ１Ｃ１的中点． 求证：平面Ａ１ＥＢ∥平面ＡＤＣ１ ． 归纳提升： wÆrwÆwú-< GI １̈ ©GHIá³ew ÆÇR/(Î ． ２̈ ©<GGná%e wÆf-³–š;u ¯êëwúM‚%e wÆ ． ¨ ３ ©bc0¯¯w úáwÆ α f-³– š;u¯rwÆ β f -³–š;u¯êë wú?ô α∥β． ４̈ ©¶FwúwÆ- ÏÚ>áF α∥β，β∥ γ，ô α∥γ． !'# 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%nnʋ€›&ªdÎ&&ª<‘IJ ３．如图所示，两条异面直线ＢＡ，ＤＣ与两平行平面α，β分别交 于Ｂ，Ａ和Ｄ，Ｃ，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点．求证：ＭＮ∥平 面α． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 如图，在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ， Ｐ，Ｑ分别是ＢＣ，Ｃ１Ｄ１，ＡＤ１，ＢＤ的中点． （１）求证：ＰＱ∥平面ＤＣＣ１Ｄ１； （２）求ＰＱ的长； （３）求证：ＥＦ∥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ． 归纳提升： b#X_•wú@¿š ±bc@¿-ÕO; !'$ KLMN%OPQ １．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２对　 　 　 　 Ｂ． ３对　 　 　 　 Ｃ． ４对　 　 　 　 Ｄ． ５对 ２．下列结论中，错误的是 （　 　 ） Ａ．平行于同一直线的两个平面平行 Ｂ．平行于同一平面的两个平面平行 Ｃ．平行于同一平面的两直线关系不确定 Ｄ．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 ３．设α，β为两个不同的平面，ｌ，ｍ为两条不同的直线， 且ｌα，ｍβ，则“α∥β”是“ｌ∥ｍ”的 （　 　 ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．已知异面直线ｌ、ｍ，且ｌ∥平面α，ｍ平面α，ｌ平面 β，α∩β ＝ ｎ，则直线ｍ、ｎ的位置关系是　 　 　 　 ． ５．如图所示，四边形ＡＢＣＤ是矩形，Ｐ平面ＡＢＣＤ，过 ＢＣ作平面ＢＣＦＥ交ＡＰ于Ｅ，交ＤＰ于Ｆ． 求证：四边形ＢＣＦＥ是梯形． 请同学们认真完成练案［４６                                 ］ § & 垂直关系 ５． １　 直线与平面垂直 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．理解空间中直线与平面垂直的位置关系． ２．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面垂直的位置关系． ３．掌握直线与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理． ４．会用直线与平面垂直的性质定理，判定定理解决相关的问题． ５．会求简单的直线与平面所成的角以及点到平面的距离． 通过本节的学习，学会有逻辑地思考问题， 增强学生运用几何直观和空间想象思考问 题的意识；形成数学直观的素养． !'% 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 在△ＡＢＣ中，∵ ＡＤＤＢ ＝ ＡＥＥＣ，∴ ＢＣ∥ＤＥ． ∵ ＢＣα， ＤＥα，∴ ＢＣ∥α． ２． Ｄ　 如图１，取ＢＢ１的中点Ｎ，连接ＭＮ，ＮＣ，Ａ１Ｂ，又Ｍ为Ａ１Ｂ１ 中点，则ＭＮ∥Ａ１Ｂ，根据长方体的对称性可知Ａ１Ｂ∥Ｄ１Ｃ，所以 ＭＮ∥Ｄ１Ｃ，Ｍ，Ｎ，Ｃ，Ｄ１ 四点共面，直线ＢＣ１ 与ＮＣ相交，所以 ＢＣ１ 与平面ＭＮＣＤ１相交，所以选项Ａ错误；如图２，取Ｂ１Ｃ１的 中点Ｅ，由选项Ａ同理可证，ＭＥ∥ＡＣ，Ｍ，Ｅ，Ｃ，Ａ四点共面，在 平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１内，直线Ｄ１Ｃ１ 与ＭＥ相交，所以Ｃ１Ｄ１ 与平面 ＭＡＣＥ相交，所以选项Ｂ错误；如图３，在平面Ａ１ＤＣＢ１内，直线 Ａ１Ｄ与ＣＭ相交，所以ＣＭ与平面Ａ１ＢＤ相交，所以选项Ｃ错 误；如图４，取ＤＣ的中点Ｆ，连接Ｄ１Ｆ，ＢＦ，ＭＦ，由长方体的对 称性，ＢＦ∥Ｄ１Ｍ，Ｄ１，Ｆ，Ｂ，Ｍ四点共面，在平面Ａ１ＤＣＢ１ 内，直 线ＭＦ∥Ｂ１Ｃ，Ｂ１Ｃ平面Ｄ１ＭＢ，ＭＦ平面Ｄ１ＭＢ，所以Ｂ１Ｃ∥ 平面Ｄ１ＭＢ，选项Ｄ正确．故选Ｄ． ３． Ａ　 如图，∵ Ｍ、Ｎ分别为Ａ１Ａ和Ａ１Ｂ１中点， ∴ ＭＮ∥ＡＢ１，又∵ Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的中心，∴ Ｐ、Ａ、Ｃ三点共 线，∴ ＡＢ１ 平面ＰＢ１Ｃ，∵ ＭＮ平面ＰＢ１Ｃ，∴ ＭＮ∥平 面ＰＢ１Ｃ． ４．平行　 在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ａ１Ａ瓛Ｃ１Ｃ．所以四边形 Ａ１ＡＣＣ１是平行四边形，所以Ａ１Ｃ１∥ＡＣ．又因为ＡＣ平面 ＡＥＣ，Ａ１Ｃ１平面ＡＥＣ，且Ａ１Ｃ１∥ＡＣ，所以Ａ１Ｃ１∥平面ＡＣＥ． ５．【证明】　 连接ＡＢ′，ＡＣ′，则点Ｍ为ＡＢ′的中点． 又点Ｎ为Ｂ′Ｃ′的中点，所以ＭＮ∥ＡＣ′． 又ＭＮ平面Ａ′ＡＣＣ′，ＡＣ′平面Ａ′ＡＣＣ′， 因此ＭＮ∥平面Ａ′ＡＣＣ′． ４． ２　 平面与平面平行 必备知识　 探新知 知识点１　 相交 知识点２　 相交直线 关键能力　 攻重难 例１：因为ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｐ，所以经过直线ＡＣ与ＢＤ可确定平 面ＰＣＤ，因为α∥β，α∩平面ＰＣＤ ＝ ＡＢ，β∩平面ＰＣＤ ＝ ＣＤ，所以 ＡＢ∥ＣＤ． 所以ＰＡＡＣ ＝ ＰＢ ＢＤ，即 ６ ９ ＝ ８ － ＢＤ ＢＤ ． 所以ＢＤ ＝ ２４５ ． 对点训练１：（１）证明：因为ＰＢ∩ＰＤ ＝ Ｐ，所以直线ＰＢ和 ＰＤ确定一个平面，记为γ， 则α∩γ ＝ ＡＣ，β∩γ ＝ ＢＤ． 又α∥β，所以ＡＣ∥ＢＤ． （２）由（１）得ＡＣ∥ＢＤ， 所以ＰＡＡＢ ＝ ＰＣ ＣＤ， 即４５ ＝ ３ ＣＤ．所以ＣＤ ＝ １５ ４ （ｃｍ）， 所以ＰＤ ＝ ＰＣ ＋ ＣＤ ＝ ２７４ （ｃｍ）． （３）同（１）得ＡＣ∥ＢＤ， 所以△ＰＡＣ∽△ＰＢＤ． 所以ＰＡＰＢ ＝ ＰＣ ＰＤ， 即ＰＡＡＢ － ＰＡ ＝ ＰＣ ＰＤ． 所以４５ － ４ ＝ ３ ＰＤ，所以ＰＤ ＝ ３ ４ （ｃｍ）． 所以ＣＤ ＝ ＰＣ ＋ ＰＤ ＝ ３ ＋ ３４ ＝ １５ ４ （ｃｍ）． 例２：【证明】　 因为四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ为平行 四边形， 点Ｍ，Ｎ，Ｑ分别是ＰＡ，ＢＤ，ＰＤ的中点， 所以Ｎ是ＡＣ的中点，所以ＭＮ∥ＰＣ， 又因为ＰＣ平面ＰＢＣ，ＭＮ平面ＰＢＣ， 所以ＭＮ∥平面ＰＢＣ． 因为Ｍ，Ｑ分别是ＰＡ，ＰＤ的中点， 所以ＭＱ∥ＡＤ∥ＢＣ， 又因为ＢＣ平面ＰＢＣ，ＭＱ平面ＰＢＣ， 所以ＭＱ∥平面ＰＢＣ． 因为ＭＱ平面ＭＮＱ，ＭＮ平面ＭＮＱ， ＭＱ∩ＭＮ ＝Ｍ，所以平面ＭＮＱ∥平面ＰＢＣ． 对点训练２：【证明】　 由棱柱的性质知，Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ，Ｂ１Ｃ１ ＝ ＢＣ， 又Ｄ，Ｅ分别为ＢＣ，Ｂ１Ｃ１的中点，所以Ｃ１Ｅ∥ＤＢ，Ｃ１Ｅ ＝ ＤＢ， 则四边形Ｃ１ＤＢＥ为平行四边形， 因此ＥＢ∥Ｃ１Ｄ                                                                      ， —１４３— 又Ｃ１Ｄ平面ＡＤＣ１，ＥＢ平面ＡＤＣ１， 所以ＥＢ∥平面ＡＤＣ１ ． 如图，连接ＤＥ，同理，ＥＢ１∥ＢＤ，ＥＢ１ ＝ ＢＤ， 所以四边形ＥＤＢＢ１为平行四边形，则 ＥＤ∥Ｂ１Ｂ，ＥＤ ＝ Ｂ１Ｂ． 因为Ｂ１Ｂ∥Ａ１Ａ，Ｂ１Ｂ ＝ Ａ１Ａ（棱柱的性 质）， 所以ＥＤ∥Ａ１Ａ，ＥＤ ＝ Ａ１Ａ，则四边形ＥＤＡＡ１ 为平行四边形， 所以Ａ１Ｅ∥ＡＤ，又Ａ１Ｅ平面ＡＤＣ１，ＡＤ平面ＡＤＣ１， 所以Ａ１Ｅ∥平面ＡＤＣ１， 由Ａ１Ｅ∥平面ＡＤＣ１，ＥＢ∥平面ＡＤＣ１，Ａ１Ｅ平面Ａ１ＥＢ， ＥＢ平面Ａ１ＥＢ，且Ａ１Ｅ∩ＥＢ ＝ Ｅ， 得平面Ａ１ＥＢ∥平面ＡＤＣ１ ． 例３：【证明】　 如图，过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交平面α于点Ｅ，取 ＡＥ的中点Ｐ， 连接ＭＰ，ＰＮ，ＢＥ，ＥＤ，ＡＣ． 因为ＡＥ∥ＣＤ，所以ＡＥ，ＣＤ确定平面 ＡＥＤＣ． 则平面ＡＥＤＣ∩平面α ＝ ＤＥ，平面 ＡＥＤＣ∩平面β ＝ ＡＣ．因为α∥β，所以ＡＣ∥ ＤＥ． 又因为Ｐ，Ｎ分别为ＡＥ，ＣＤ的中点， 所以ＰＮ∥ＤＥ． 因为ＰＮ平面α，ＤＥ平面α，所以ＰＮ∥平面α． 又因为Ｍ，Ｐ分别为ＡＢ，ＡＥ的中点， 所以ＭＰ∥ＢＥ．又因为ＭＰ平面α，ＢＥ平面α， 所以ＭＰ∥α．因为ＭＰ，ＰＮ平面ＭＰＮ，且ＭＰ∩ＰＮ ＝ Ｐ， 所以平面ＭＰＮ∥平面α． 又因为ＭＮ平面ＭＰＮ，所以ＭＮ∥平面α． 对点训练３：（１）证明：如图 所示． 连接ＡＣ，ＣＤ１，因为Ｐ，Ｑ分别 是ＡＤ１，ＡＣ的中点， 所以ＰＱ∥ＣＤ１， 又因为ＰＱ平面ＤＣＣ１Ｄ１， ＣＤ１平面ＤＣＣ１Ｄ１， 所以ＰＱ∥平面ＤＣＣ１Ｄ１ ． （２）由（１）易知ＰＱ ＝ １２ Ｄ１Ｃ ＝槡 ２ ２ ａ． （３）证明：取Ｂ１Ｃ１ 的中点Ｅ１，连接ＥＥ１，ＦＥ１，Ｂ１Ｄ１，则有 ＦＥ１∥Ｂ１Ｄ１，ＥＥ１∥ＢＢ１，因为ＦＥ１∩Ｅ１Ｅ ＝ Ｅ１， 所以平面ＥＥ１Ｆ∥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ． 又因为ＥＦ平面ＥＥ１Ｆ，所以ＥＦ∥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多． ２． Ａ　 如图正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中， ＢＢ１ ∥平面ＡＤＤ１Ａ１，ＢＢ１ ∥平面 ＤＣＣ１Ｄ１，而平面ＡＤＤ１Ａ１ ∩平面 ＤＣＣ１Ｄ１ ＝ ＤＤ１ ． ３． Ｄ　 ①若α∥β，且ｌα，ｍβ，ｌ，ｍ可 能平行，可能异面，故“α∥β”是“ｌ∥ｍ”的不充分条件；②若 ｌ∥ｍ，α，β可能平行，可能相交．故则“α∥β”是“ｌ∥ｍ”的既不 充分也不必要条件．故选Ｄ． ４．相交　 由于ｌ∥平面α，ｌ平面β，α∩β ＝ ｎ，则ｌ∥ｎ．又直线ｌ、 ｍ异面，则直线ｍ、ｎ相交． ５．【证明】　 ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形， ∴ ＢＣ∥ＡＤ， ∵ ＡＤ平面ＰＡＤ，ＢＣ平面ＰＡＤ， ∴ ＢＣ∥平面ＰＡＤ． ∵平面ＢＣＦＥ∩平面ＰＡＤ ＝ ＥＦ， ∴ ＢＣ∥ＥＦ． ∵ ＡＤ ＝ ＢＣ，ＡＤ≠ＥＦ， ∴ ＢＣ≠ＥＦ， ∴四边形ＢＣＦＥ是梯形． § ５　 垂直关系 ５． １　 直线与平面垂直 必备知识　 探新知 知识点２　 平行 知识点４　 相交　 垂直　 交点Ａ　 垂线　 垂足Ｏ　 斜足Ａ　 直角　 ０°　 ０°≤θ≤９０° 知识点５　 两条相交直线　 ａ∩ｂ 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ｂ　 （２）ＢＣ　 （３）④⑤　 （１）根据两条平行线中的 一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知 选项Ｂ正确． （２）Ａ中ｎ，α可能平行或ｎ在平面α内；ＢＣ正确；Ｄ两直线 ｍ，ｎ平行或异面． （３）当直线ｌ与平面α内的无数条平行直线垂直时，ｌ与α 不一定垂直，所以①不正确；当ｌ与α内的一条直线垂直时，不 能保证ｌ与平面α垂直，所以②不正确；当ｌ与α不垂直时，ｌ可 能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一 点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确，故填④⑤． 对点训练１：（１）Ａ　 （２）② 　 （１）三角形的两边，圆的两条 直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定 相交，所以保证直线与平面垂直的是①③． （２）因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相 交，可能平行，也可能异面，故①不正确． 由线面垂直的定义可得，②正确． 因为这两条直线可能是平行直线，故 ③不正确． 如图，ｌ与α不垂直，但ａα，ｌ⊥ａ，故 ④不正确． 例２：【证明】　 因为ＳＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＳＡ⊥ＢＣ． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ⊥ＢＣ． 因为ＳＡ∩ＡＢ ＝ Ａ，所以ＢＣ⊥平面ＳＡＢ． 因为ＡＥ平面ＳＡＢ，所以ＢＣ⊥ＡＥ． 因为ＳＣ⊥平面ＡＧＥＦ，所以ＳＣ⊥ＡＥ． 又因为ＢＣ∩ＳＣ ＝ Ｃ，所以ＡＥ⊥平面ＳＢＣ． 而ＳＢ平面ＳＢＣ，所以ＡＥ⊥                                                                      ＳＢ． —２４３—