第6章 4.1 直线与平面平行(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

§ % 平行关系 ４． １　 直线与平面平行 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线 与平面平行的位置关系． ２．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行 的位置关系． 通过本节的学习，培养学生掌握推理基本形式和规 则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，借 助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物的 素养． )*+,%-.+ 知识点１　 直线与平面平行的性质定理 　 　 文字叙述：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线 与交线　 平行． 符号表示：ｌ∥α，ｌβ，α∩β ＝ ａｌ∥ａ． 图形表示（如右图所示） 作用：证明线线平行 知识点２　 直线与平面平行的判定定理 　 　 文字叙述：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行　 ，那么该直线与此平面 平行． 符号表示：ｌα，ａα，且ｌ∥ａｌ∥α． 图形表示（如右图所示） 作用：证明直线与平面平行． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%¾nʋ<€›&ª<IJ １．一正四面体木块如图所示，点Ｐ是棱ＶＡ的中点， （１）过点Ｐ将木块锯开，使截面平行于棱ＶＢ和ＡＣ，在木块的表 面应该怎样画线？ （２）在平面ＡＢＣ中所画的线与棱ＡＣ是什么位置关系？ 　 　 ［归纳提升］ 归纳提升： @M¯Æwú>ÍG n-ÂF １̈ ©ÏÐaÂXBp ¯Æwú-–—?> ãʺ+;¯B‹ ä?'B@A ． ２̈ ©LÂÒ¯`a? …´µ¯Æwú?V G+wú-u¯=Ò + ． !&( 〉 ABCD １ 　 　 （１）如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ ＝ ２，点Ｅ为ＡＤ的中点，点Ｆ在ＣＤ上． 若ＥＦ∥平面ＡＢ１Ｃ，则线段ＥＦ的长度等于　 　 　 　 ． （１）题图 　 　 　 （２）题图 （２）如图，已知两条异面直线ＡＢ与ＣＤ，平面ＭＮＰＱ与ＡＢ，ＣＤ都平行，且Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ 依次在线段ＡＣ，ＢＣ，ＢＤ，ＡＤ上．求证：四边形ＭＮＰＱ是平行四边形． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%¾nʋ<Î&&ª<IJ ２．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，点Ｎ在ＢＤ上，点Ｍ在 Ｂ１Ｃ上，且ＣＭ ＝ ＤＮ，求证：ＭＮ∥平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）在四面体Ａ － ＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ分别是△ＡＣＤ，△ＢＣＤ的重心， 则四面体的四个面中与ＭＮ平行的是　 　 　 　 ． （２）如图所示，在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ ＝ ２ＣＤ，Ｅ为 ＰＢ的中点．求证：ＣＥ∥平面ＰＡＤ． 归纳提升： ¶Fu¯rwÆ-< GGngJK¯Æw ú?@AB>ãwÆ fr˜™u¯wú- u¯?¦¶FwúÀ {žt § j ž X È ¯twú/nxha ． !&) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%¾nʋ<‘‡6 ３．如图所示，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ｐ是平面ＡＢＣＤ外一点，Ｍ是ＰＣ的 中点，在ＤＭ上取一点Ｇ，过Ｇ和ＡＰ作平面交平面ＢＤＭ于ＧＨ．求证：ＧＨ∥平面 ＰＡＤ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）如图所示，若在四棱锥Ｓ － ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ为平行四边形，Ｅ是ＳＡ上的一 点，当点Ｅ满足条件　 　 　 　 时，ＳＣ∥平面ＥＢＤ． （１）题图 　 　 　 　 　 　 （２）题图 （２）如图所示，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ、Ｆ分别是棱ＡＡ１和ＢＢ１的中点，过 ＥＦ的平面ＥＦＧＨ分别交ＢＣ和ＡＤ于Ｇ、Ｈ．求证：ＡＢ∥ＧＨ． 归纳提升： u¯åwÆ-wú` a?¦¦bc0u¯ åu¯-wú`a? Du¯åu¯-wú `a']^bc0u ¯rwÆ-wú` a?…º+ya-[ Vbc?\Œ¥ö ¯Æwú-GHt< GGnå>ÍGn ． !&* KLMN%OPQ １．平面α与△ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ分别交于Ｄ，Ｅ，且 ＡＤＤＢ ＝ ＡＥＥＣ，如图所示，则ＢＣ与α的位置关 系是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．平行　 　 Ｂ．相交 Ｃ．异面　 　 Ｄ． ＢＣα ２．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ为Ａ１Ｂ１中点，下列 说法正确的是 （　 　 ） Ａ． ＢＣ１∥平面Ｄ１ＭＣ Ｂ． Ｃ１Ｄ１∥平面ＡＣＭ Ｃ． ＣＭ∥平面Ａ１ＢＤ Ｄ． Ｂ１Ｃ∥平面Ｄ１ＭＢ ３．点Ｍ、Ｎ是正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱Ａ１Ａ与Ａ１Ｂ１ 的中点，Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的中心，则ＭＮ与平面 ＰＣＢ１的位置关系是 （　 　 ） Ａ．平行 Ｂ．相交 Ｃ． ＭＮ平面ＰＣＢ１ Ｄ．以上三种情形都有可能 ４．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｅ是ＤＤ１ 的中 点，则Ａ１Ｃ１与平面ＡＣＥ的位置关系为　 　 　 　 ． ５．如图，三棱柱ＡＢＣ － Ａ′Ｂ′Ｃ′，点Ｍ、Ｎ分别为Ａ′Ｂ和 Ｂ′Ｃ′的中点．证明：ＭＮ∥平面Ａ′ＡＣＣ′． 请同学们认真完成练案［４５                                            ］ ４． ２　 平面与平面平行 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平 面与平面平行的位置关系． ２．掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平 行的位置关系． 通过本节的学习，培养学生学会有逻辑地思考问题；能 够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，提升数 形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力的素养． !'" 交，则α内的直线可以与ａ相交，也可以与ａ异面．故①②③ ④都不正确． ４． Ａ　 在正四棱柱中ＢＤ∥Ｂ１Ｄ１，则异面直线ＢＣ１ 与Ｄ１Ｂ１ 所成 的角为∠ＤＢＣ１或其补角．在△ＤＢＣ１ 中，ＢＤ 槡＝ ２，ＢＣ１ ＝ ＤＣ１ ＝ １２ ＋（槡３）槡 ２ ＝ ２，ｃｏｓ∠ＤＢＣ１ ＝ ２ ＋ ４ － ４槡２ × ２ × ２ ＝ 槡２ ４ ． ５．②④　 ①中ＧＨ与ＭＮ平行，③中ＧＭ∥ＨＮ，所以ＧＨ与ＭＮ 共面，②④中ＧＨ与ＭＮ为异面直线． § ４　 平行关系 ４． １　 直线与平面平行 必备知识　 探新知 知识点１　 交线 知识点２　 平行 关键能力　 攻重难 例１：（１）取ＶＣ的中点Ｄ，ＢＣ的中点Ｅ，ＡＢ 的中点Ｆ，分别连接ＰＤ，ＰＦ，ＥＦ，ＤＥ， 则ＰＤ，ＰＦ，ＤＥ，ＥＦ即为应画的线． （２）因为Ｐ为ＶＡ中点，Ｆ为ＡＢ中点，所以 ＰＦ∥ＶＢ，同理ＤＥ∥ＶＢ，所以ＰＦ∥ＤＥ，所以Ｐ， Ｄ，Ｅ，Ｆ，四点共面，且ＡＣ∥平面ＰＤＥＦ，因为平面ＡＢＣ∩平面 ＰＤＥＦ ＝ ＥＦ，所以ＡＣ∥ＥＦ． 对点训练１：（１）槡２　 （２）见解析 【解析】　 （１）因为在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＢ ＝ ２， 所以ＡＣ 槡＝ ２ ２． 又Ｅ为ＡＤ的中点，ＥＦ∥平面ＡＢ１Ｃ，ＥＦ平面ＡＤＣ，平面 ＡＤＣ∩平面ＡＢ１Ｃ ＝ ＡＣ， 所以ＥＦ∥ＡＣ，所以Ｆ为ＤＣ的中点，所以ＥＦ ＝ １２ ＡＣ 槡＝ ２． （２）证明：∵ ＡＢ∥平面ＭＮＰＱ，过ＡＢ的平面ＡＢＣ交平面 ＭＮＰＱ于ＭＮ， ∴ ＡＢ∥ＭＮ． 又过ＡＢ的平面ＡＢＤ交平面ＭＮＰＱ于ＰＱ， ∴ ＡＢ∥ＰＱ，∴ ＭＮ∥ＰＱ． 同理可证ＮＰ∥ＭＱ． ∴四边形ＭＮＰＱ为平行四边形． 例２：【证明】　 证法一：如图（１），作 ＭＥ∥ＢＣ，交ＢＢ１ 于Ｅ，作ＮＦ∥ＡＤ，交ＡＢ于 Ｆ，连接ＥＦ， 则ＥＦ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ， ＭＥ ＢＣ ＝ Ｂ１Ｍ Ｂ１Ｃ ，ＮＦＡＤ ＝ ＢＮ ＢＤ． ∵在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＣＭ ＝ ＤＮ， ∴ Ｂ１Ｍ ＝ ＮＢ． 又Ｂ１Ｃ ＝ ＢＤ， ∴ ＭＥＢＣ ＝ ＢＮ ＢＤ ＝ ＮＦ ＡＤ，∴ ＭＥ ＝ ＮＦ． 又ＭＥ∥ＢＣ∥ＡＤ∥ＮＦ，∴四边形ＭＥＦＮ为平行四边形， ∴ ＭＮ∥ＥＦ． ∵ ＭＮ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，ＥＦ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，∴ ＭＮ∥平 面ＡＡ１Ｂ１Ｂ． 证法二：如图（２），连接ＣＮ并延长交 ＢＡ所在直线于点Ｐ，连接Ｂ１Ｐ， 则Ｂ１Ｐ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ． ∵ △ＮＤＣ∽△ＮＢＰ， ∴ ＤＮＮＢ ＝ ＣＮ ＮＰ． 又ＣＭ ＝ ＤＮ，Ｂ１Ｃ ＝ ＢＤ， ∴ ＣＭＭＢ１ ＝ ＤＮＮＢ ＝ ＣＮ ＮＰ， ∴ ＭＮ∥Ｂ１Ｐ． ∵ ＭＮ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，Ｂ１Ｐ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ， ∴ ＭＮ∥平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ． 对点训练２：（１）平面ＡＢＤ与平面ＡＢＣ　 （２）见解析 【解析】　 （１）如图所示，取ＣＤ的中点Ｅ．连接ＡＥ，ＢＥ， 则ＥＭＭＡ ＝ １２， ＥＮＢＮ ＝ １２，所以ＭＮ∥ＡＢ． 又因为ＭＮ平面ＡＢＤ，ＭＮ平面 ＡＢＣ，ＡＢ 在平面ＡＢＤ 内，ＡＢ 在平面 ＡＢＣ内， 所以ＭＮ∥平面ＡＢＤ，ＭＮ∥平面ＡＢＣ． （２）证明：取ＰＡ的中点Ｈ，连接ＥＨ，ＤＨ（图略）． 因为Ｅ为ＰＢ的中点， 所以ＥＨ∥ＡＢ，ＥＨ ＝ １２ ＡＢ， 又因为ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ ＝ ２ＣＤ， 所以ＥＨ∥ＣＤ，ＥＨ ＝ ＣＤ， 所以四边形ＤＣＥＨ是平行四边形． 所以ＣＥ∥ ＤＨ，又ＣＥ平面ＰＡＤ，ＤＨ平面ＰＡＤ，所 以ＣＥ∥平面ＰＡＤ． 例３：【证明】　 如图所示，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连接ＭＯ． ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ Ｏ是ＡＣ的中点． 又Ｍ是ＰＣ的中点， ∴ ＡＰ∥ＯＭ． 而ＡＰ平面ＢＭＤ，ＯＭ平面ＢＭＤ， ∴ ＰＡ∥平面ＢＭＤ． 又∵ ＰＡ平面ＰＡＨＧ，平面ＰＡＨＧ∩ 平面ＢＭＤ ＝ ＧＨ， ∴ ＰＡ∥ＧＨ． 又ＰＡ平面ＰＡＤ，ＧＨ平面ＰＡＤ， ∴ ＧＨ∥平面ＰＡＤ． 对点训练３：（１）如图，当Ｅ为ＳＡ的中点时，连接ＡＣ， 设ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｏ，连接ＥＯ． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以点Ｏ是ＡＣ的中点．又Ｅ是ＳＡ 的中点，所以ＯＥ是△ＳＡＣ的中位线，所 以ＯＥ∥ＳＣ．因为ＳＣ平面ＥＢＤ，ＯＥ平 面ＥＢＤ，所以ＳＣ∥平面ＥＢＤ． （２）证明：∵ Ｅ，Ｆ分别是ＡＡ１和ＢＢ１的中点，∴ ＥＦ∥ＡＢ． 又ＡＢ平面ＥＦＧＨ，ＥＦ平面ＥＦＧＨ，∴ ＡＢ∥平面ＥＦＧＨ． 又ＡＢ平面ＡＢＣＤ，平面ＡＢＣＤ∩平面ＥＦＧＨ ＝ＧＨ，∴ ＡＢ∥                                                                      ＧＨ． —０４３— 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 在△ＡＢＣ中，∵ ＡＤＤＢ ＝ ＡＥＥＣ，∴ ＢＣ∥ＤＥ． ∵ ＢＣα， ＤＥα，∴ ＢＣ∥α． ２． Ｄ　 如图１，取ＢＢ１的中点Ｎ，连接ＭＮ，ＮＣ，Ａ１Ｂ，又Ｍ为Ａ１Ｂ１ 中点，则ＭＮ∥Ａ１Ｂ，根据长方体的对称性可知Ａ１Ｂ∥Ｄ１Ｃ，所以 ＭＮ∥Ｄ１Ｃ，Ｍ，Ｎ，Ｃ，Ｄ１ 四点共面，直线ＢＣ１ 与ＮＣ相交，所以 ＢＣ１ 与平面ＭＮＣＤ１相交，所以选项Ａ错误；如图２，取Ｂ１Ｃ１的 中点Ｅ，由选项Ａ同理可证，ＭＥ∥ＡＣ，Ｍ，Ｅ，Ｃ，Ａ四点共面，在 平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１内，直线Ｄ１Ｃ１ 与ＭＥ相交，所以Ｃ１Ｄ１ 与平面 ＭＡＣＥ相交，所以选项Ｂ错误；如图３，在平面Ａ１ＤＣＢ１内，直线 Ａ１Ｄ与ＣＭ相交，所以ＣＭ与平面Ａ１ＢＤ相交，所以选项Ｃ错 误；如图４，取ＤＣ的中点Ｆ，连接Ｄ１Ｆ，ＢＦ，ＭＦ，由长方体的对 称性，ＢＦ∥Ｄ１Ｍ，Ｄ１，Ｆ，Ｂ，Ｍ四点共面，在平面Ａ１ＤＣＢ１ 内，直 线ＭＦ∥Ｂ１Ｃ，Ｂ１Ｃ平面Ｄ１ＭＢ，ＭＦ平面Ｄ１ＭＢ，所以Ｂ１Ｃ∥ 平面Ｄ１ＭＢ，选项Ｄ正确．故选Ｄ． ３． Ａ　 如图，∵ Ｍ、Ｎ分别为Ａ１Ａ和Ａ１Ｂ１中点， ∴ ＭＮ∥ＡＢ１，又∵ Ｐ是正方形ＡＢＣＤ的中心，∴ Ｐ、Ａ、Ｃ三点共 线，∴ ＡＢ１ 平面ＰＢ１Ｃ，∵ ＭＮ平面ＰＢ１Ｃ，∴ ＭＮ∥平 面ＰＢ１Ｃ． ４．平行　 在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ａ１Ａ瓛Ｃ１Ｃ．所以四边形 Ａ１ＡＣＣ１是平行四边形，所以Ａ１Ｃ１∥ＡＣ．又因为ＡＣ平面 ＡＥＣ，Ａ１Ｃ１平面ＡＥＣ，且Ａ１Ｃ１∥ＡＣ，所以Ａ１Ｃ１∥平面ＡＣＥ． ５．【证明】　 连接ＡＢ′，ＡＣ′，则点Ｍ为ＡＢ′的中点． 又点Ｎ为Ｂ′Ｃ′的中点，所以ＭＮ∥ＡＣ′． 又ＭＮ平面Ａ′ＡＣＣ′，ＡＣ′平面Ａ′ＡＣＣ′， 因此ＭＮ∥平面Ａ′ＡＣＣ′． ４． ２　 平面与平面平行 必备知识　 探新知 知识点１　 相交 知识点２　 相交直线 关键能力　 攻重难 例１：因为ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｐ，所以经过直线ＡＣ与ＢＤ可确定平 面ＰＣＤ，因为α∥β，α∩平面ＰＣＤ ＝ ＡＢ，β∩平面ＰＣＤ ＝ ＣＤ，所以 ＡＢ∥ＣＤ． 所以ＰＡＡＣ ＝ ＰＢ ＢＤ，即 ６ ９ ＝ ８ － ＢＤ ＢＤ ． 所以ＢＤ ＝ ２４５ ． 对点训练１：（１）证明：因为ＰＢ∩ＰＤ ＝ Ｐ，所以直线ＰＢ和 ＰＤ确定一个平面，记为γ， 则α∩γ ＝ ＡＣ，β∩γ ＝ ＢＤ． 又α∥β，所以ＡＣ∥ＢＤ． （２）由（１）得ＡＣ∥ＢＤ， 所以ＰＡＡＢ ＝ ＰＣ ＣＤ， 即４５ ＝ ３ ＣＤ．所以ＣＤ ＝ １５ ４ （ｃｍ）， 所以ＰＤ ＝ ＰＣ ＋ ＣＤ ＝ ２７４ （ｃｍ）． （３）同（１）得ＡＣ∥ＢＤ， 所以△ＰＡＣ∽△ＰＢＤ． 所以ＰＡＰＢ ＝ ＰＣ ＰＤ， 即ＰＡＡＢ － ＰＡ ＝ ＰＣ ＰＤ． 所以４５ － ４ ＝ ３ ＰＤ，所以ＰＤ ＝ ３ ４ （ｃｍ）． 所以ＣＤ ＝ ＰＣ ＋ ＰＤ ＝ ３ ＋ ３４ ＝ １５ ４ （ｃｍ）． 例２：【证明】　 因为四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ为平行 四边形， 点Ｍ，Ｎ，Ｑ分别是ＰＡ，ＢＤ，ＰＤ的中点， 所以Ｎ是ＡＣ的中点，所以ＭＮ∥ＰＣ， 又因为ＰＣ平面ＰＢＣ，ＭＮ平面ＰＢＣ， 所以ＭＮ∥平面ＰＢＣ． 因为Ｍ，Ｑ分别是ＰＡ，ＰＤ的中点， 所以ＭＱ∥ＡＤ∥ＢＣ， 又因为ＢＣ平面ＰＢＣ，ＭＱ平面ＰＢＣ， 所以ＭＱ∥平面ＰＢＣ． 因为ＭＱ平面ＭＮＱ，ＭＮ平面ＭＮＱ， ＭＱ∩ＭＮ ＝Ｍ，所以平面ＭＮＱ∥平面ＰＢＣ． 对点训练２：【证明】　 由棱柱的性质知，Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ，Ｂ１Ｃ１ ＝ ＢＣ， 又Ｄ，Ｅ分别为ＢＣ，Ｂ１Ｃ１的中点，所以Ｃ１Ｅ∥ＤＢ，Ｃ１Ｅ ＝ ＤＢ， 则四边形Ｃ１ＤＢＥ为平行四边形， 因此ＥＢ∥Ｃ１Ｄ                                                                      ， —１４３—