第5章 1.1 复数的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

第五章 　 复数 § ! 复数的概念及其几何意义 １． １　 复数的概念 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性． ２．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的 分类． ３．理解复数的代数表示法． ４．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题． 通过本节的学习，培养学生获得数学概 念和规则，提出数学命题和模型，形成数 学方法与思想，认识数学结构与体系及 培养数学抽象等素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数的概念与分类 　 　 １．复数的概念：ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）（如右图所示） 　 　 ２．复数的分类 复数ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ） 　 实数（ｂ ＝ ０）　 ； 　虚数（ｂ≠０）．（当ａ ＝ ０时为纯虚数{ ） 知识点２　 复数相等与数集之间的关系 　 　 １．两个复数相等 两个复数ａ ＋ ｂｉ与ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ）相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即： ａ ＋ ｂｉ ＝ ｃ ＋ ｄｉ，当且仅当ａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ　 ． ２．数集之间的关系（如右图所示） /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%çG<UV １．（１）给出下列三个命题：①若ｚ∈Ｃ，则ｚ２≥０；②２ｉ － １虚部是２ｉ；③２ｉ的实部是０．其中真命题的个数为 （　 　 ） Ａ． ０　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． ３ （２）已知复数ｚ ＝ ａ２ －（２ － ｂ）ｉ的实部和虚部分别是２和３，则实数ａ，ｂ的值分别是　 　 　 　 　 ； !#! 　 　 （３）判断下列命题的真假． ①若ｘ，ｙ∈Ｃ，则ｘ ＋ ｙｉ ＝ １ ＋ ２ｉ的充要条件是ｘ ＝ １，ｙ ＝ ２； ②若实数ａ与ａｉ对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集在复数集中的补集是虚数集． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数ｚ ＝ ３ｍ ＋ ２ｎｉ，则其实部 与虚部分别为３ｍ，２ｎ；③在复数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）中，若ｘ≠０，则复数ｚ一定不是纯虚 数；④若ａ∈Ｒ，ａ≠０，则（ａ ＋ ３）ｉ是纯虚数．其中正确的说法的序号是　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%çG<èé”ÄIJ ２．已知复数ｚ ＝（ｍ２ － ２ｍ）＋ ｍ ２ － ２ｍ － ８ ｍ ｉ，其中ｍ∈Ｒ．试求当ｍ为何值时， （１）ｚ是实数？（２）ｚ是虚数？（３）ｚ是纯虚数？ 【分析】　 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数ｍ的方程或不等式（组），求 解ｍ满足的条件． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 实数ｍ取何值时，复平面内表示复数ｚ ＝（ｍ２ －ｍ － ６）＋（ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）ｉ的点． （１）是实数；（２）是纯虚数． 归纳提升： <=r*:R@-y aBC[V-I １． Žá<=%e ya0Ÿya?… Ž%e6]?Ó ^ho44âa'? ]â"!œTW?= %?œCG?=  G3-Iùúho ． ２． cZ:ŸáLM* :· …t ¡ … - V G?Œ)…_*:c 0 ａ ＋ ｂｉ -žŸ ， x… (O45 ａ ? ｂ E0· :'?$#VG*: -·t¡… ． Tëä¢áho*: kla?%G…*£ *:-GH?õö ｉ ->Í ． 归纳提升： ¶F*:-ê4‘D : -  I } ( O D£ ． １． ¶F*:-ê4‘ D:'?qœÂÃ* :c0¾Ó-Z:ž Ÿ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ P Ｒ）， F Œ B 4 • ž Ÿ?œc04•ž Ÿ?Ñ d · … r ¡ …?¡‘h ． ２． …(OVGL· …t¡…-ŸmRO H-–—?¡ˆ“· … r ¡ … - B ¥ ‘h ． ３． …Të(O*: ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ¨ ａ，ｂ P Ｒ © 0¤¡:-ø…–— B ａ ＝ ０ ?S ｂ  ０． !## 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%çGY<êë ３．已知ｘ是实数，ｙ是纯虚数，且满足（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ，求ｘ与ｙ． 【分析】　 因为ｙ是纯虚数，所以可设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠０）代入等式，把等式的左、右 两边都整理成ａ ＋ ｂｉ的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于ｘ与ｂ的方程组， 求解后得ｘ与ｂ的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）若４ － ３ａ － ａ２ ｉ ＝ ａ２ ＋ ４ａｉ，则实数ａ的值为 （　 　 ） Ａ． １　 　 　 　 　 Ｂ． １或－ ４ Ｃ． － ４ Ｄ． ０或－ ４ （２）已知复数ｚ ＝（ａ ＋ １）－（ａ２ － １）ｉ，若ｚ ＝ ０，则实数ａ的值为　 　 　 　 ． 归纳提升： %¶F*:šx- ø…–—?]é%e *:xŸÑd³e· :xŸ3X-2 3?zD]VG³e ¥ÁD: ． *:šx B·,*:€·:b c-¦§ ． KLMN%OPQ １．（１ ＋槡３）ｉ的实部与虚部分别是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １，槡３ Ｂ． １ ＋槡３，０ Ｃ． ０，１ ＋槡３ Ｄ． ０，（１ ＋槡３）ｉ ２．若复数ｚ ＝ ａ２ － ４ ＋（ａ － ２）ｉ为纯虚数，则实数ａ的值 为 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ２或－ ２ Ｃ． － ２ Ｄ． － ４ ３．若复数ｚ ＝ ｍ（ｍ ＋ ４）ｍ － １ ＋（ｍ ＋ ２）ｉ的实部与虚部相等， 则实数ｍ的值为　 　 　 　 ． ４．若复数ｚ ＝（ｍ ＋ １）＋（ｍ２ － ９）ｉ ＜ ０，则实数ｍ的值等 于　 　 　 　 ． ５．实数ｍ分别取什么数值时，复数ｚ ＝（ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）＋ （ｍ２ － ２ｍ － １５）ｉ （１）是实数；（２）是虚数；（３）是纯虚数；（４）是０． 请同学们认真完成练案［３５                     ］ １． ２　 复数的几何意义 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．通过类比实数的几何意义来理解复数的几何意义． ２．理解复数的两种几何意义． ３．了解复数模的意义． 通过本节的学习，培养学生从数量与数量、图形与 图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系， 从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并 用数学语言予以表征的素养． !#$ － ５１３，解得ｃｏｓ α ２ ＝ － ２ 槡１３ ， 所以ｓｉｎ α２ ＝ １ － ｃｏｓ ２ α槡 ２ ＝ ３槡１３， 因为ｔａｎ β２ ＝ １ ２ ， 由①得ｓｉｎ β ＝ ２ｔａｎ β２ １ ＋ ｔａｎ２ β２ ＝ １ １ ＋ １４ ＝ ４５ ，ｃｏｓ β ＝ １ － ｔａｎ２ β２ １ ＋ ｔａｎ２ β２ ＝ ３５ ， 所以ｃｏｓ α２ ＋( )β ＝ ｃｏｓ α２ ｃｏｓ β － ｓｉｎ α２ ｓｉｎ β ＝ － ２槡１３ × ３ ５ － ３ 槡１３ × ４５ ＝ － １８ 槡５ １３ ＝ － 槡１８ １３６５ ． 第五章　 复数 § １　 复数的概念及其几何意义 １． １　 复数的概念 必备知识　 探新知 知识点１　 ２．实数（ｂ ＝ ０）　 知识点２　 １． ａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ｂ　 （２） 槡± ２，５　 （３）见解析 【解析】　 （１）对于①，当ｚ∈Ｒ时，ｚ２≥０成立，否则不成立， 如ｚ ＝ ｉ，ｚ２ ＝ － １ ＜ ０，所以①为假命题； 对于②，２ｉ － １ ＝ － １ ＋ ２ｉ，其虚部为２，不是２ｉ，所以②为假命 题； 对于③，２ｉ ＝ ０ ＋ ２ｉ，其实部是０，所以③为真命题． （２）由题意得：ａ２ ＝ ２，－（２ － ｂ）＝ ３， 所以ａ 槡＝ ± ２，ｂ ＝ ５． （３）①由于ｘ，ｙ都是复数，故ｘ ＋ ｙｉ不一定是代数形式，因此 不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题． ②当ａ ＝ ０时，ａｉ ＝ ０为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． 对点训练１：③　 ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中 又分为纯虚数和非纯虚数． ②错，只有当ｍ，ｎ∈Ｒ时，才能说复数ｚ ＝ ３ｍ ＋ ２ｎｉ的实部与 虚部分别为３ｍ，２ｎ． ③正确，复数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）为纯虚数的条件是ｘ ＝ ０且 ｙ≠０，只要ｘ≠０，则复数ｚ一定不是纯虚数． ④错，只有当ａ∈Ｒ，且ａ≠ － ３时，（ａ ＋ ３）ｉ才是纯虚数． 例２：（１）当ｚ是实数时，应有ｍ ２ － ２ｍ － ８ ｍ ＝ ０， 即ｍ ２ － ２ｍ － ８ ＝ ０， ｍ≠０{ ， 解得ｍ ＝ ４或－ ２． （２）当ｚ是虚数时，应满足ｍ ２ － ２ｍ － ８ ｍ ≠０， 即ｍ ２ － ２ｍ － ８≠０， ｍ≠０{ ， 因此ｍ≠４，且ｍ≠ － ２，且ｍ≠０． （３）当ｚ是纯虚数时，应满足 ｍ２ － ２ｍ ＝ ０， ｍ２ － ２ｍ － ８ ｍ ≠０ { ， 解得ｍ ＝ ２． 对点训练２：（１）ｚ ＝（ｍ２ － ｍ － ６）＋（ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）ｉ是实数， 则ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０，解得ｍ ＝ － ２或ｍ ＝ － ３． （２）ｚ ＝ （ｍ２ － ｍ － ６）＋ （ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）ｉ是纯虚数，则 ｍ２ － ｍ － ６ ＝ ０， ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６≠０{ ，解得ｍ ＝ ３． 例３：设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ且ｂ≠０）代入（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ， 整理得（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｂｉ － ３ｉ， 由复数相等的充要条件得３ｘ － １０ ＝ ０， １ ＝ ｂ － ３{ ，解得ｘ ＝ １０ ３ ， ｂ ＝ ４ { ， ∴ ｘ ＝ １０３ ，ｙ ＝ ４ｉ． 对点训练３：（１）Ｃ　 （２）－ １　 （１）易知４ － ３ａ ＝ ａ ２， － ａ２ ＝ ４ａ{ ，解得ａ ＝ － ４． （２）∵ ｚ ＝ ０，∴ ａ ＋ １ ＝ ０， ａ２ － １ ＝ ０{ ，解得ａ ＝ － １． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 （ 槡１ ＋ ３）ｉ可看作０ ＋（ 槡１ ＋ ３）ｉ ＝ ａ ＋ ｂｉ， 所以实部ａ ＝ ０，虚部ｂ 槡＝ １ ＋ ３． ２． Ｃ 　 因为复数ｚ ＝ ａ２ － ４ ＋ （ａ － ２）ｉ 为纯虚数，则有 ａ２ － ４ ＝ ０， ａ － ２≠０{ ，解得ａ ＝ － ２，所以实数ａ的值为－ ２．故选Ｃ． ３． － ２３ 　 由条件知 ｍ（ｍ ＋ ４） ｍ － １ ＝ ｍ ＋ ２，∴ ｍ ２ ＋ ４ｍ ＝ ｍ２ ＋ ｍ － ２， ∴ ｍ ＝ － ２３ ． ４． － ３　 ∵ ｚ ＜ ０，∴ ｍ ２ － ９ ＝ ０ ｍ{ ＋ １ ＜ ０ ，∴ ｍ ＝ － ３． ５．由ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０得，ｍ ＝ － ２或ｍ ＝ － ３，由ｍ２ － ２ｍ － １５ ＝ ０ 得ｍ ＝ ５或ｍ ＝ － ３． （１）当ｍ２ － ２ｍ － １５ ＝ ０时，复数ｚ为实数，∴ ｍ ＝ ５或－ ３． （２）当ｍ２ － ２ｍ － １５≠０时，复数ｚ为虚数， ∴ ｍ≠５且ｍ≠ － ３． （３）当ｍ ２ － ２ｍ － １５≠０， ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０{ ． 时，复数ｚ是纯虚数，∴ ｍ ＝ － ２． （４）当ｍ ２ － ２ｍ － １５ ＝ ０， ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０{ ． 时，复数ｚ是０，∴ ｍ ＝ － ３． １． ２　 复数的几何意义 必备知识　 探新知 知识点１　 实轴　 虚轴 知识点２　 一一对应　 一一对应　 （ａ，ｂ） 知识点３　 （１）模　 （２） ａ２ ＋ ｂ槡 ２ 知识点４　 相等　 相反数　 ａ － ｂｉ 关键能力　 攻重难 例１：（１）由题意得复数ｚ满足ｍ ２ － ５ｍ ＋ ６ ＝ ０， ｍ２ － ３ｍ{ ＋ ２ ＝ ０ 时，                                                                       表示的 —０３３—