第4章 3.2 半角公式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

KLMN%OPQ １．已知ｃｏｓ ２α ＝ ２３ ，则ｓｉｎ ２α ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １６ Ｂ． １ ５ Ｃ． １４ Ｄ． １ ３ ２．已知α为第三象限角，且ｃｏｓ α ＝ －槡５５ ，则ｔａｎ ２α的值 为 （　 　 ） Ａ． － ４３ Ｂ． ４ ３ Ｃ． － ３４ Ｄ． － ２ ３．化简ｔａｎ １４° １ － ｔａｎ２１４° ·ｃｏｓ ２８°的结果为 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ ２８°２ Ｂ． ｓｉｎ ２８° Ｃ． ２ｓｉｎ ２８° Ｄ． ｓｉｎ １４°ｃｏｓ ２８° ４．化简槡１ ＋ ｓｉｎ １００° －槡１ － ｓｉｎ １００°的结果为（　 　 ） Ａ． － ２ｓｉｎ ４０° Ｂ． ２ｃｏｓ ４０° Ｃ． － ２ｃｏｓ ４０° Ｄ． ２ｓｉｎ ４０° ５．已知ｓｉｎ ２α ＝ １４ ，α∈ π ４ ， π( )２ ，则ｃｏｓ α － ｓｉｎ α的值是 （　 　 ） Ａ． －槡３２ Ｂ． ３ ４ Ｃ．槡３２ Ｄ． －槡 ３ ４ 请同学们认真完成练案［３３                            ］ ３． ２　 半角公式 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能用二倍角公式推导半角公式． ２．能熟练运用半角公式求值、化简或证明． 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数 学抽象、逻辑推理、数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点　 半角公式及其变形公式 名称 公式 半角公式 ｓｉｎ α２ ＝ ± １ － ｃｏｓ α槡２ ；ｃｏｓ α２ ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ α槡２ ； ｔａｎ α２ ＝ ± １ － ｃｏｓ α １ ＋ ｃｏｓ槡α ＝ ｓｉｎ α１ ＋ ｃｏｓ α ＝ １ － ｃｏｓ αｓｉｎ α 半角公式 变形公式 ｃｏｓ ２ α ２ ＝ １ ＋ ｃｏｓ α ２ ；ｓｉｎ ２ α ２ ＝ １ － ｃｏｓ α ２ ；ｔａｎ ２ α ２ ＝ １ － ｃｏｓ α １ ＋ ｃｏｓ α !!& /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%IJæTijsv １．已知ｓｉｎ θ ＝ ４５ ，且 ５π ２ ＜ θ ＜ ３π，求ｓｉｎ θ ２ ，ｃｏｓ θ ２ ，ｔａｎ θ ２ ． 【分析】　 已知条件中的角θ与所求角中的θ２成二倍关系，从而选择半角公式求值． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 设π ＜ θ ＜ ２π，ｃｏｓ θ２ ＝ － ３ ５ ，求： （１）ｓｉｎ θ的值；（２）ｃｏｓ θ的值；（３）ｓｉｎ２ θ４的值． ●67E%HTŒj<g†dŽ ２．化简： １ － ｓｉｎ α － ｃｏｓ( )α ｓｉｎ α２ ＋ ｃｏｓ α( )２ ２ －２ｃｏｓ槡 α （－π ＜α ＜０）． ［归纳提升］ 归纳提升： ˜™ θ -”e§j9 :¥?‘ θ ２ -§j9 :¥-ÞßBá １̈ ©¶F›j§j9 :¤Ž@¿Ÿ‘Ñ θ -îT§j9:¥  ２̈ ©Z¹7j/ŸC ü6] ． 归纳提升： cì ` a X - !§ O3 １̈ ©Ojá§jOû 'P¦œ>ãŸmX _jª#-v¿?P &8t•x@&‚ jª#-«u?“n n Y v ¿ % û - /Ÿ ． （２） Otá78§j 9:•4-«u?† "†%9:-t/? φ%0@ʆ% 0‡ ． （３） OŸá78Ÿm -ˆ£žŸ-«u? nY’[-OžR 8?Ͻ–tЖt  t{x ． !!' 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD ２ 　 　 求证： ｃｏｓ ２α １ ｔａｎ α２ － ｔａｎ α２ ＝ １４ ｓｉｎ ２α． ●67H%xJâãTij¢£FG€› ３．已知函数ｆ（ｘ）＝槡３ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ＋ ２ｓｉｎ２ ｘ － π( )１２ （ｘ∈Ｒ）． （１）求函数ｆ（ｘ）的最小正周期； （２）求使函数ｆ（ｘ）取得最大值的ｘ的集合． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ － ｓｉｎ π６ － ２( )ｘ ０≤ｘ≤π( )２ 的值域为 （　 　 ） Ａ． １ －槡３ ２ ，槡[ ]２ Ｂ． 槡３ － １２ ，槡[ ]２ Ｃ． １ －槡３２ ，槡３ － １[ ]２ Ｄ． １ －槡３２ ，[ ]２ （２）已知当ｘ ＝ ｘ０时，函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ２ｃｏｓ ｘ取得最大值，则ｃｏｓ ｘ０ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： （１） /ŸžŸá/Ÿ ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α ＝ ａ２ ＋ｂ槡 ２ｓｉｎ（α ＋φ）̈ Ê ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α ＝ ａ２ ＋ｂ槡 ２ｃｏｓ（α －φ′））à žÏ ａｓｉｎ α ＋ ｂｃｏｓ α（ａ， ｂ Œ›'0” ） -§j 9:Ÿ—ù0›%e j - % • § j 9 :Ÿ ． ２̈ ©žŸnYác0 [@!BA@?…Õ º»–—DG?% …‘Ož=j Ì-¿ :0[?4rxR¶ M-.9:->Í ． KLMN%OPQ １．若ｃｏｓ α ＝ － ４５，α是第三象限角，则 １ ＋ ｔａｎ α２ １ － ｔａｎ α２ ＝（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － １２ Ｂ． １ ２ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ ２．若θ∈ π４ ， π[ ]２ ，且ｓｉｎ ２θ ＝ ３槡７８ ，则ｓｉｎ θ ＝ （　 　 ） Ａ． ３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ． 槡７ ４ Ｄ． ３ ４ ３．设－ ３π ＜ α ＜ － ５π２ ，则化简 １ － ｃｏｓ（α － π）槡２ 的结果 是 （　 　 ） Ａ． ｓｉｎ α２ Ｂ． ｃｏｓ α ２ Ｃ． － ｃｏｓ α２ Ｄ． － ｓｉｎ α ２ ４．设ａ ＝ １２ ｃｏｓ ６° －槡 ３ ２ ｓｉｎ ６°，ｂ ＝ ２ｓｉｎ １３° ｃｏｓ １３°，ｃ ＝ １ － ｃｏｓ ５０°槡２ ，则有 （　 　 ） Ａ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ Ｂ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｃ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ Ｄ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ５．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，以ｘ轴的非负半轴为始边 作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于Ａ， Ｂ两点，已知Ａ，Ｂ的横坐标分别为１３ ， ２ ３ ，求ｃｏｓ α ２ ＋ ｓｉｎ β２ ＋ ｔａｎ α ２的值． 请同学们认真完成练案［３４                             ］ !!( 21am(a-β)-4 而m2(a-B)1-maPB)方 sin 2Asin 2B+cos 2Ac0s 2B sin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B= 边，所以等式成立 从而tan(2a-β)=tan[2(a-β)+B] 课堂检测固双基 41 =2a-B)umB1+子×7 tan 2(a-B)tan B 37 +4了=1 .A因为m2a=号所以a二受2a=石故选人 2 2A由题意可得ma2,所以m2a品。一号 又因为tana=tan[(a-B)+B] 。寸<1 3.A 格·m28=分×·m2 tan14° ! 且xe(0,),所以0<a<平所以0<2a<受 21an280·eos28°=sin28 2 ，故选A 又因为amB=-号<0，且Be(0,, 4.D原式=√个+2sim40c0s40°-√1-2sim40°c0s40丽 =(sin40°+cos40°)-(c0s40°-sin40°) 所以号<B<m,-π<-B<-号，所以-T<2a-B<0 =2sin40. 所以2a-B=-要 5.Aae(得）ima>sa 3 对点训练3：因为anB=了 又(csa-sima)2=1-sin2a=1-年=年 ∴.c0sa-sin=- 2×3 2 所以tan2B= 2tan B 3 1-tan'B 3.2半角公式 关键能力攻重难 所以ma+29)=mm多-宁× tan a +tan 28 7+4 =1 例1rm0=专受<0<3m。 0<ma=7<1.0<amB=寸<1，aB均为锐角.所以 1 .60s8=- -m0=-子 0<a<晋.0<B<年，0<2B<受所以0<a+2B<平，又am(a +29)=1.所以a+28=平 in2= -2 2 5￥ 例4：(1)原式=2/1+2in4e0s4+/4eos4 +os.- =2Isin 4 eos 41 +21eos 41. 00s 2=- 2 5 ,tan 2 02 因为4(，) 所以sin4<0,cos4<0. 对点训练1：<0<2受号<。 故原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4. 3 (2)因为ae(受，2a小，所以cmsa>0.es号<0 故原式=√分+云，√+ V-(罰 0=2n号号=2x(-）×号=-2 2)ms0=2m2号-1=2×(-号广-1-3 对点训练4：(1)原式=/(in20°-c0%20) /1-(1-2sim220】 (3)m2 4=2 2 =1nm20°-c0s20°1+/m20 例2：原式= (2sim号-2mms号m号+ow分) =c0s20°-sin20°+sin200 =c0s20. V2x2m号 (2)证明：左边=1+6os24+2B_1-cos(24-2B】 2 2 -m(24+28gm21-2》=7·(m2ms2B- 2 2血号 -327 又0≤≤受，所以是≤2年+晋≤，所以2：6s 血号 n(2+}1,所以≤反2+)5，所以两数 因为-<a<0,所以-<号<0， )=瓦n2+)的值域为[，同 所以n受<0，所以原式= (2)由辅助角公式，得f(x)=imx-2cosx= -=c0s -sin a 2 5m-25小5m-p其中血p25me cos'a 对点训练2：【证明】证法一：左边。受 =怎当=气时，函数代)取得最大值，即血(-p)=1,期 号m号 6-9=2km+号(keZ),即=2km+受+p(keZ),所以 cos'a w2受-ir_co'sin-号 m=m+号+-血p=-25 2= cos a 课堂检测固双基 1.Aa是第三象限角，casa=-5 4 =血分cm受wa=2nasa=}n2a=右边， 1 3 .sin a=5 原式成立 证法二：左边=1+csc_1-cos4 cos'a cos'asin a sin 2 1+- 2cos a sin o sin o 1+an受 受+in受m受+血 2 2 =2 sin c=4sin2a=右边. 1-an受 1- 原式成立 号 证法三：左边= msa· 1 2m号 1+sin a 1、3 5 1-tan' 4- 2放选1 2 1-m受 m受+m受 5 之ms2atma=宁ain a=in2a=右边， 2.D本题主要考查简单的三角恒等变换，倍角公式及同角三角 原式成立 函数关系式y0e[晋，引20e[受，小m9>0, 例3：1)：x)=万m(2x-若）+2m(x-) c0s20<0,4c0s20=-V-m20=-g,又m20= =im[2(x-】+1-o[2-)】 1受2m0=6m0=子放选D 2m-引-[(-+ 5 3 2 -子o号<0 =2m--]+1 原式=2 =2sim2x-）+l, 4.Ca=sin30°cos6°-c0w30sin60=sin(30°-6°）=sin24°， ∴九)的最小正周期为T=受=元 b=sin26°，c= 2in25 2 -=im250,b>c>a.故选C 5.依题意，得osa= 2 (2)当)取得最大值时，sm(2x-号）=1， 3,c0B= 因为a,B为锐角， 有2-号=2km+号(keZ),即x=km+沿（keZ)。 所以m受+血号 2 +tan 2 所求x的集合为=6m+铝keZ +cs+,/-csE /1-c05a 2 2 1 cos a 对点调练3：)A(2)-2(1))=m2x+号） - .÷6 in(若-2x=sm(2x+）-m(2x+号）=Em(2x+} 2 -328