7.3.2 离散型随机变量的方差(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.2　离散型随机变量的方差 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学 离散型随机变量的方差 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 偏离程度 越小 越大 a2D(X) 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过离散型随机变量方差概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量方差的应用，提升数学运算、数学建模等核心素养. 　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P eq \f(6,10) eq \f(1,10) eq \f(3,10) Y 0 1 2 P eq \f(5,10) eq \f(3,10) eq \f(2,10) (1)试求E(X)，E(Y)． [提示]　E(X)＝0×eq \f(6,10)＋1×eq \f(1,10)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(7,10)，E(Y)＝0×eq \f(5,10)＋1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(2,10)＝eq \f(7,10). (2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ [提示]　不能，因为E(X)＝E(Y)． (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ [提示]　方差． ◎结论形成 1．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的__________，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差_____，随机变量的取值越集中；方差或标准差_____，随机变量的取值越分散． 2．离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝______________. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) (4)若a，b为常数，则eq \r(Dax＋b)＝aeq \r(Dx).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 答案　B 3．(多选题)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 则下列式子正确的是(　　) A．E(X)＝－eq \f(1,3)　　 B．D(X)＝eq \f(23,27) C．P(X＝0)＝eq \f(1,3) D．P(X≥0)＝eq \f(1,2) 解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，故A正确； D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9)，故B不正确，CD显然正确． 答案　ACD 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝_____. X －1 0 1 2 P a b c eq \f(1,12) 解析　由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).)) 答案　eq \f(5,12)　eq \f(1,4) 题型一　求离散型随机变量的方差 　(1)设随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 则D(X)等于(　　) A．eq \f(29,12)　　　　　　　 B．eq \f(121,144) C．eq \f(179,144) D．eq \f(17,12) [解析]　由题意知，E(X)＝1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝eq \f(29,12)， 故D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(179,144). [答案]　C 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差．　 [触类旁通] 1．已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P eq \f(1,5) p eq \f(3,10) 且E(X)＝1．1，则D(X)＝_______. 解析　由随机变量分布列的性质可得p＝1－eq \f(1,5)－eq \f(3,10)＝eq \f(1,2).又E(X)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,2)＋x×eq \f(3,10)＝1．1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1．1)2×eq \f(1,5)＋(1－1．1)2×eq \f(1,2)＋(2－1．1)2×eq \f(3,10)＝0.49. 答案　0.49 题型二　方差的性质eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P eq \f(1,2) eq \f(1,3) p 若E(X)＝eq \f(2,3)，则 (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求eq \r(DY)的值． [解析]　由分布列的性质，得eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋p＝1，解得p＝eq \f(1,6)， ∵E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)x＝eq \f(2,3)， ∴x＝2. (1)D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(15,27)＝eq \f(5,9). (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴eq \r(DY)＝eq \r(5). [母题变式] (变条件)若本例(2)中“Y＝3X－2”改为“Y＝2X＋1”，求eq \r(DY)的值． 解析　因为Y＝2X＋1，所以D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝eq \f(20,9)，所以eq \r(DY)＝eq \f(2\r(5),3). 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．　 [触类旁通] 2．设随机变量X的分布列为： X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 若Y＝2X＋2，则D(Y)＝(　　) A．－eq \f(1,3)　　　　　　　 B．eq \f(5,9) C．eq \f(10,9) D．eq \f(20,9) 解析　由题意知，E(X)＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)， 故D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9)， D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×eq \f(5,9)＝eq \f(20,9). 答案　D 题型三　方差的实际应用 　为选拔某运动会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． [解析]　(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1． ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1．21． 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． [素养聚焦] 解决此类实际应用问题的关键是准确地计算随机变量的均值和方差，在求解过程提升数学运算、数学建模等核心素养. 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．　 [触类旁通] 3．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解析　∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0， ∴E(X1)＝E(X2)． D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05 ＝0.5， D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1)<D(X2)． 综上可知，A大钟的质量较好． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的方差、标准差． 2．离散型随机变量的方差的性质. 解题时方差公式常套用错误. $$