7.3.2 离散型随机变量的方差(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　) A．6　　　 B．9　　　　 C．3　　　 D．4 解析　 E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6. 答案　A 2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A．3.56 B． C．3.2 D． 解析　依题意：0.4＋0.1＋x＝1，∴x＝0.5 ∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2 D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴σ(X)＝＝. 答案　D 3．(多选题)已知X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则(　　) A．E(X)＝ B．D(X)＝ C．D(X)＝ D．E(X)＝ 解析　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， ∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 答案　AC 4．设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105，随机变量X1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量X2取值，，，，的概率也均为0.2，若记D(X1)，D(X2)分别为X1，X2的方差，则(　　) A．D(X1)>D(X2) B．D(X1)＝D(X2) C．D(X1)<D(X2) D．D(X1)与D(X2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 解析　由题意可知E(X1)＝E(X2)，又由题意可知，X1的波动性较大，从而有D(X1)>D(X2)． 答案　A 5．随机变量X的取值为0,1,2.若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________. 解析　由题意设P(X＝1)＝p，则X的分布列如下： X 0 1 2 P p －p 由E(X)＝1，可得p＝， 所以D(X)＝12×＋02×＋12×＝. 答案　 6．已知X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)＝________，D(X1)＝________. 解析　由期望和方差的运算性质知，E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝22D(X)＝2. 答案　7　2 7．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为________，此时p＝________. 解析　随机变量X的所有可能的取值是0,1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p. 从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p， D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2 ＝－2＋. ∵0<p<1，∴当p＝时，D(X)取最大值，最大值是. 答案　　 8．已知X的分布列如下： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解析　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝， 从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)法一　由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 法二　由(1)知a＝，所以X的均值 E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－， X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝， 所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝. (3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11． [关键能力·综合提升] 9．若X离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A． B． C．3 D． 解析　x1，x2满足 解得或 ∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3. 答案　C 10．已知随机变量ξ的分布列为： ξ m n P a 若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．无法计算 解析　由题意得a＝1－＝， 所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6. 又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2，当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值． 答案　D 11．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________． 解析　依题意X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝. 答案　 12．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝________. 解析　由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝， 则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8， D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36. 答案　3.36 13．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 解析　E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好． [核心价值·探索创新] 14．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝______，D(ξ)＝________. 解析　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1． D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1． 答案　1　1 15．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 解析　甲保护区违规次数X的数学期望和方差分别为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1．3， D(X)＝(0－1．3)2×0.3＋(1－1．3)2×0.3＋(2－1．3)2×0.2＋(3－1．3)2×0.2＝1．21． 乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1．3， D(Y)＝(0－1．3)2×0.1＋(1－1．3)2×0.5＋(2－1．3)2×0.4＝0.41． 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定，所以乙保护区的管理水平较高. 学科网（北京）股份有限公司 $$