7.3.1 离散型随机变量的均值(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2　　　　　　　 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 解析　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1．6， 得a＋2b＝1．3， 解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 答案　C 2．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 解析　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2， 所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案　B 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　) A． B． C． D．1 解析　X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＝. 答案　A 4．(多选题)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62 解析　由题意和分布列的性质，得 0．5＋0.1＋b＝1， 且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. ∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1， E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52， 故ABC正确． 答案　ABC 5．一射手对箭靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________． 解析　X的可能取值为3,2,1,0， P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案　2.376 6．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________. 解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3， 即30a＋10b＝3，① 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1， 即10a＋4b＝1，② 由①②，得a＝，b＝0. 答案　　0 7．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________. 解析　当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离ξ＝； 当k为±时，ξ＝；当k为±时，ξ＝； 当k为0时，ξ＝1．由古典概率公式可得分布列如下： ξ 1 P 故E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝. 答案　 8．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求： (1)抽取次数X的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解析　(1)由题意知，X取值为1,2,3. P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝； P(X＝3)＝×＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池． [关键能力·综合提升] 9．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析　由分布列的性质得＋＋m＝1，∴m＝. ∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，∴a＝2. 答案　B 10．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　) A．3　　　　　　　 B．4 C．5 D．2 解析　设白球x个，则黑球(7－x)个，取出的2个球中所含白球个数为X，则X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴0×＋1×＋2×＝，解得x＝3. 答案　A 11．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0<t<3)，且三人是否应聘成功是相互独立的．若甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是，则t＝______，设ξ表示甲、乙两人中应聘成功的人数，则ξ的均值是________． 解析　依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2， 所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2， P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝1)＝×＋×＝， P(ξ＝0)＝×＝， 则E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝. 答案　2　 12．现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________. 解析　P(ξ＝2)＝＝. ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 答案　　 13．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解析　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1． [核心价值·探索创新] 14．(多选题)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1．75，则p的取值可以为(　　) A． B． C． D． 解析　根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p， P(X＝2)＝p(1－p)， P(X＝3)＝(1－p)2， 则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3， 依题意有E(X)>1．75， 则p2－3p＋3>1．75， 解得p>或p<， 结合p的实际意义，可得0<p<， 即p∈. 结合选项可知AB正确． 答案　AB 15．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解析　(1)记甲学校获得冠军为事件A， 则P(A)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.6， 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30， 则P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P(X＝10)＝0.5×0.4×(1－0.8)＋0.5×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＝0.44， P(X＝20)＝0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34， P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06， 故X的分布列为 X 0 10 20 30 P(X) 0.16 0.44 0.34 0.06 X的期望值为E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. 学科网（北京）股份有限公司 $$