7.2 离散型随机变量及其分布列(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.2　离散型随机变量及其分布列 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学1 随机变量 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 唯一 有限个或可以一一列举 X，Y，Z 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学2 离散型随机变量的分布列 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 pi ≥ 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．理解离散型随机变量的含义，会用离散型随机变量描述随机现象．(重点) 2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质，了解两点分布．(难点) 1．通过离散型随机变量及其分布列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．在求离散型随机变量分布列的过程中，提升数学运算等核心素养. 　(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ [提示]　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上． (2)在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？ [提示]　x＝0,1,2,3，…，10. ◎结论形成 随机变量 (1)随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有_____的实数X(ω)与之对应，称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为_________________________的随机变量，称之为离散型随机变量． (3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，如_____________；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？ [提示]　(1)X＝1,2,3,4,5,6，概率均为eq \f(1,6). (2)X与P的对应关系为 X 1 2 3 4 5 6 P eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) eq \f(1,6) ◎结论形成 1．分布列的概念 (1)定义：设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝_____，i＝1,2，…，n，为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示方法：①表格；②概率分布图． (3)性质：①pi___0，i＝1,2,3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝____. 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq \x\to(A)表示“失败”，定义X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\x\to(A)发生.)) 如果P(A)＝p，则P(eq \x\to(A))＝1－p，那么X的分布列如下表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　) (2)手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．(　　) (3)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　) (4)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数　　 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量． 答案　C 3．(2024·菏泽高二期末)若X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32，则P(X＝0)＝(　　) A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 解析　依题意可得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， P(X＝1)－P(X＝0)＝0.32， 所以P(X＝0)＝eq \f(1－0.32,2)＝0.34. 故选B. 答案　B 4．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 解析　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误，其余都正确． 答案　ABD 题型一　离散型随机变量的判定 　(多选题)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的是(　　) A．某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量 B．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量 C．某网站未来1小时内的点击量 D．一天内的温度η [解析]　A是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；B不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；C是，1小时内网站的访问次数可一一列出；D不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出． [答案]　AC “三步法”判定离散型随机变量 (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量． (2)由条件求解随机变量的值域． (3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．　 [触类旁通] 1．(多选题)下列问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1 000 cm3的球的半径长 D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分 解析　由题意知C中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而ABD是离散型随机变量． 答案　ABD 题型二　离散型随机变量分布列的性质及应用 　设随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))； (3)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10))). [解析]　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 得a＝eq \f(1,15). (2)∵Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝eq \f(1,15)k(k＝1,2,3,4,5)， ∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋P(X＝1)＝eq \f(3,15)＋eq \f(4,15)＋eq \f(5,15)＝eq \f(4,5). (3)当eq \f(1,10)<X<eq \f(7,10)时，只有X＝eq \f(1,5)，eq \f(2,5)，eq \f(3,5)时满足， 故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＝eq \f(1,15)＋eq \f(2,15)＋eq \f(3,15)＝eq \f(2,5). 利用分布列及其性质解题时的两点注意 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的； (2)不仅要注意eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.　 [触类旁通] 2．(1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P(ξ<x)＝eq \f(1,12)，则x的取值范围是_______． (2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(c,kk＋1)，k＝1,2,3，c为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝_______. 解析　(1)由条件知P(ξ＝k)＝eq \f(1,12)，k＝5,6，…，16，P(ξ<x)＝eq \f(1,12)，故5<x≤6. (2)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(c,kk＋1)，k＝1,2,3， ∴eq \f(c,2)＋eq \f(c,6)＋eq \f(c,12)＝1， 即eq \f(6c＋2c＋c,12)＝1，解得c＝eq \f(4,3)， ∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝eq \f(c,2)＋eq \f(c,6)＝eq \f(4,6)×eq \f(4,3)＝eq \f(8,9). 答案　(1)(5,6]　(2)eq \f(8,9) 题型三　求离散型随机变量的分布列eq \a\vs4\al(一题多变) 　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq \f(1,7)，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． (1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列． [解析]　(1)设袋中原有n个白球，由题意知 eq \f(1,7)＝eq \f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,7))＝eq \f(\f(nn－1,2),\f(7×6,2))＝eq \f(nn－1,7×6)， 可得n＝3或n＝－2(舍去)， 即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P(ξ＝1)＝eq \f(3,7)； P(ξ＝2)＝eq \f(4×3,7×6)＝eq \f(2,7)； P(ξ＝3)＝eq \f(4×3×3,7×6×5)＝eq \f(6,35)； P(ξ＝4)＝eq \f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq \f(3,35)； P(ξ＝5)＝eq \f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq \f(1,35). 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P eq \f(3,7) eq \f(2,7) eq \f(6,35) eq \f(3,35) eq \f(1,35) [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求甲取到白球的概率． 解析　因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝eq \f(22,35). [素养聚焦] 求离散型随机变量的分布列的难点是求各随机变量对应的概率值，在此过程中主要提升数学运算核心素养. 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．　 [触类旁通] 3．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列． 解析　将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4. P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,10),C\o\al(1,45))＝eq \f(2,9)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,12),C\o\al(1,45))＝eq \f(4,15)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(1,8),C\o\al(1,45))＝eq \f(8,45)，P(X＝4)＝eq \f(C\o\al(1,15),C\o\al(1,45))＝eq \f(1,3). 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(2,9) eq \f(4,15) eq \f(8,45) eq \f(1,3) 知识落实 技法强化 1．随机变量的概念、特征． 2．离散型随机变量的概念． 3．离散型随机变量的分布列的概念及其性质． 4．两点分布. 解题过程中随机变量的取值不明确导致分布列求解错误. $$