6.2.4 第2课时 组合与组合数的应用(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人． 答案　A 2．甲、乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪、短道速滑、花样滑冰、冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有(　　) A．96种 B．60种 C．36种 D．24种 解析　分两类，一是高山滑雪场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同的安排方法共有A＝24种； 二是高山滑雪场只安排1人(甲)，其余4人分三组(2,1,1)，再安排到各场地， 有C·A＝36种． ∴不同的安排方法有24＋36＝60. 故选B. 答案　B 3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校综合评价招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 解析　从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34. 答案　D 4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析　相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案． 首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式则共有C·A＝120(种)， 故选C. 答案　C 5．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种． 解析　可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240种选法；②甲、丙同不去，有A＝360种选法，所以共有600种不同的选派方案． 答案　600 6．中国救援队在国际救援中多次创造生命救援奇迹，为祖国赢得了荣誉，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊．现有5支救援队前往3个不同受灾地区进行救援任务，若每支救援队只能去其中的1个受灾地区，且每个受灾地区至少安排1支救援队，其中甲、乙两个救援队只能去同一个受灾地区，则不同的安排方式共有________种． 解析　分类讨论是否有其他救援队与甲、乙两个救援队一起，结合组合数运算求解． 若只有甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)； 若还有一支救援队与甲、乙救援队同去一个受灾地区，则不同的安排方式共有CCC＝18(种)； 所以不同的安排方式共有18＋18＝36(种)． 答案　36 7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)． 解析　当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 答案　336 8．(2024·丰台高二期末)2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》《飞驰人生2》《热辣滚烫》《熊出没·逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 解析　(1)因为4名同学观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有A＝24(种)． (2)因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以不同的选择方法共有4×4＝16(种)． (3)因为恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法共有CCA＝6×4×6＝144(种)． [关键能力·综合提升] 9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 解析　每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种．故有CC种不同选法． 答案　D 10．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　) A．135 B．172 C．189 D．162 解析　不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法． 所求取法种数为C－4－CC＝189. 答案　C 11．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6＝22＋12＋12＋02.设25＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________(用数字作答)． 解析　显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论： 最大数为5的情况： ①25＝52＋02＋02＋02，此时共有A＝4种情况． 最大数为4的情况： ②25＝42＋32＋02＋02，此时共有A＝12种情况． ③25＝42＋22＋22＋12，此时共有A＝12种情况． 当最大数为3时，32＋32＋22＋22>25>32＋32＋22＋12，没有满足题意的情况． 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是4＋12＋12＝28. 答案　28 12．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是________． 解析　若甲，乙选的景点没有其他人选，则分组方式为1,2,2的选法总数为CA＝18； 若甲，乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为1,1,3的选法总数为A＝18， 所以不同的选法总数为18＋18＝36. 答案　36 13．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问： (1)能组成多少个不同的四位数？ (2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？ (3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)． 解析　(1)易知四位数共有CCA＝216(个)． (2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个)． (3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)． [核心价值·探索创新] 14．(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人．故选BD. 答案　BD 15．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 解析　法一(直接法)　从0与1两个特殊值着眼，可分三类： (1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个． 综上所述，共有不同的三位数： C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)． 法二(间接法)　任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个). 学科网（北京）股份有限公司 $$