专题04 平面向量最值与范围问题4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题04 平面向量最值与范围问题4种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本定理的最值问题 题型02平面向量的数量积的最值问题 题型03平面向量的模的最值问题 题型04平面向量夹角的最值问题 ( 题型01 ) 平面向量基本定理的最值问题 1．（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 2．（22-23高一下·四川凉山·期中）如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.    (1)当时，用，表示； (2)若，求的最大值. 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） (1)求和的值； (2)证明：为定值； (3)求的最小值，并求此时的，的值． 4．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知向量，则的最小值为 . 5．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 6．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． ( 题型02 ) 平面向量的数量积的最值问题 7．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，， (1)求的值； (2)若，当取得最小值时，求的值． 8．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.    (1)当为AD的中点时，求CP的长度； (2)求的最小值. 9．【多选】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量等于. C． D．的最小值为 10．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 11．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（    ）    A．0 B． C． D． 12．（20-21高三上·四川成都·阶段练习）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·四川内江·期中）若，，均为单位向量，且，的取值范围是，则 ，的取值范围是 ． 14．（22-23高一下·四川成都·期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 平面向量的模的最值问题 15．（21-22高二上·四川南充·开学考试）已知向量，.若不超过5，则k的取值范围是（    ） A．[-2，6] B．[-6，4] C．[-6，2] D．[-4，6] 16．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 17．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则（    ） A．8 B．10 C．19 D． 18．（21-22高一下·四川巴中·阶段练习）若向量的模均为2，且，则的最大值（  ） A． B．1 C．2 D． 19．（23-24高一下·四川·期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点． (1)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积； (2)求的最大值． 20．（21-22高一下·四川甘孜·期末）已知向量​. (1)当时，求向量与的夹角; (2)求的最大值. 21．（21-22高三上·四川资阳·阶段练习）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ( 题型04 ) 平面向量夹角的最值问题 22．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是 23．（22-23高一下·四川成都·期末）已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ． 24．（21-22高一下·四川成都·期中）已知平面单位向量，，满足||， 设+，+，向量与的夹角为，则的最大值为 . 25．（22-23高二上·四川德阳·开学考试）平面向量，满足，，则与夹角最大值为 ． 26．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为 . 27．【多选】（22-23高一下·四川遂宁·阶段练习）下列说法中不正确的为（    ） A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．已知向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为 D．非零向量和满足，则与的夹角为 28．（22-23高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，求在上的投影向量的坐标． 1．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ． 2．（22-23高一下·四川巴中·期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）已知向量，满足，，，且，则的取值范围是 ． 4．【多选】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围为 5．（22-23高一下·四川南充·期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平面向量最值与范围问题4种常考题型总结 题型概览 题型01平面向量基本定理的最值问题 题型02平面向量的数量积的最值问题 题型03平面向量的模的最值问题 题型04平面向量夹角的最值问题 ( 题型01 ) 平面向量基本定理的最值问题 1．（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 2．（22-23高一下·四川凉山·期中）如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.    (1)当时，用，表示； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理，即可表示出. （2）根据题意，连接，，用，分别表示出，，然后根据，，三点共线，，，三点共线列出方程表示出，再结合基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）∵，∴， ∴， （2）   连接，，则 因为，，三点共线，，，三点共线， 设，， 所以， 因为，所以，得 因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 代入得 因为，所以解得 因为，∵，∴ 当且仅当时取得等号，∴的最大值是 3．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） (1)求和的值； (2)证明：为定值； (3)求的最小值，并求此时的，的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为， 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可求解； （2）由已知可得，根据，，三点共线，即可求解； （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为是边上的中线，所以， 所以； （2）因为为中点，所以， 因为，，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，即， 即为定值； （3）由（2）知， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 4．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知向量，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】由数量积运算可得，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为向量， 所以，且. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 5．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性表示，结合共面的性质，可得，即可利用基本不等式求解. 【详解】由可得, 四点共面且任意三点不共线，所以， 故， 由于均为正数，所以， 当且仅当，即等号成立， 故答案为：4 6．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可； （2）设,利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后计算即可求解； （3）由（2）知，利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后使用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为为中点，, 所以, 所以， 所以. （2）因为，所以, 设, 则， 又因为三点共线， 所以，即. 所以, 因为, 所以，即. （3）由（2）可知，， 因为, 所以, 因为三点共线， 所以，， 即, 所以 ， 当且仅当时，即取等号， 所以的最小值为. ( 题型02 ) 平面向量的数量积的最值问题 7．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，， (1)求的值； (2)若，当取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以分别为轴建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标运算求解即可； （2）先求出点的坐标，由数量积的坐标运算结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）以分别为轴建立平面直角坐标系； 故， 故； （2），则，则， 所以点的坐标为， 故，， 故， 可知当时，取得最小值． 8．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四边形ABCD中，，且，若P，Q为线段AD上的两个动点，且.    (1)当为AD的中点时，求CP的长度； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合向量的几何意义和数量积的定义即可求解； （2）设（），根据平面向量的线性运算可得，，利用数量积的运算律可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 又， 所以； （2）设，， 则， ， 所以 ， 当时，取到最小值，且为. 9．【多选】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量等于. C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D. 【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点， 因为是的重心，所以三点共线，且， 所以，，所以，故A正确；    B.在上的投影向量等于，故B错误； C.如图，因为，所以, 即，即, 因为点是的重心，，故C正确； D. 取的中点，连结，取中点，则，， , 则， , 显然当重合时，，取最小值，故D正确.    故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化. 10．（23-24高一下·四川内江·期中）在平行四边形中，，，，是线段的中点，，． (1)若，与交于点，，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解； （2）用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，即为的中点， 因为、、三点共线， 设，则 ， 因为、、三点共线， 设，则， 又、不共线， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，又，则， 所以. （2）因为， ， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 11．（22-23高一下·四川成都·期末）如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（    ）    A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解 【详解】设为斜边上的高，则圆的半径， 设为斜边的中点，，则， 因为，， 则 ，故当时， 的最小值为. 故选：C.    12．（20-21高三上·四川成都·阶段练习）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，由向量线性运算的几何意义，求出，，得到与取得最大值时，与恰好反向，再由向量数量积的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为，根据向量线性运算的几何意义，可得，， 即，， 所以，， 当时，由可得，即， 所以，因为向量夹角大于等于且小于等于，所以，故； 当时，由可得，即， 所以，故，所以， 此时与恰好反向，且模都取得最大值，所以的最小值是. 故选：B. 【点睛】思路点睛： 求解向量数量积最值问题，一般需要建立适当的坐标系，用坐标表示出向量的数量积，将问题转化为求函数最值问题进行求解；有时也可根据向量的线性运算的几何意义，确定向量的模的最值以及向量的夹角，进行求解. 13．（23-24高一下·四川内江·期中）若，，均为单位向量，且，的取值范围是，则 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用模长的计算公式，即可求出；设，根据条件得到的取值范围，再利用，分类讨论的取值范围，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】由题可知：，因为，所以 因为， 不妨设， 则，因为的取值范围是，得到 所以的取值范围是， 又因为，当时，； 当时，， 综上，的取值范围是， 故答案为：，. 14．（22-23高一下·四川成都·期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围. 【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设， ， ，且， 时，取最小值；时，取最大值， ∴的取值范围是， 故选：A. ( 题型03 ) 平面向量的模的最值问题 15．（21-22高二上·四川南充·开学考试）已知向量，.若不超过5，则k的取值范围是（    ） A．[-2，6] B．[-6，4] C．[-6，2] D．[-4，6] 【答案】A 【分析】先求得的坐标，再根据不超过5求解. 【详解】因为向量，， 所以， 因为不超过5， 所以， 解得， 所以k的取值范围是 [-2，6]， 故选：A 16．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足，，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】作，根据已知可判断点C在以AB为直径的圆上，利用向量数量积的性质求和圆的半径，然后可得. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 作，因为， 所以，点C在以AB为直径的圆上，记圆心为E， 则， 因为，所以圆E的半径为2， 所以，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据平面向量的线性运算的几何意义，将问题转化为圆上动点到圆外定点的距离最大值问题. 17．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知等边的边长为3，点，为边的两个三等分点，点靠近点，点在线段上运动，设的最大值为，最小值为，则（    ） A．8 B．10 C．19 D． 【答案】B 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的模长公式先表示出，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】设，，则，， 设， 又点，为边的两个三等分点，点靠近点， 所以，， 所以，， ①， 因为，令， 所以，即， ①式可化为，， 根据二次函数的性质可知，时①取得最小值，当时①取得最大值， 当时， 取得最大值，当时，取得最小值， 即，， 所以． 故选：B． 18．（21-22高一下·四川巴中·阶段练习）若向量的模均为2，且，则的最大值（  ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算率，将展开，可得，然后根据模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，又，即， 故选：C 19．（23-24高一下·四川·期中）已知O是内一点，OA = OB = OC，，动点P满足，M是PC的中点． (1)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)正三角形，面积为 (2) 【分析】（1）根据题设判断为正三角形,再利用求出的边长即得； （2）由题意，以点A为原点建系，根据判断轨迹，并设点，将表示成关于的三角函数，结合图象即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意，因为OA = OB = OC，即点O是的外心． 又      OB⊥AC． 同理，可得OA⊥BC，OC⊥AB，即说明点O是的垂心，   所以的外心与垂心重合，表明是正三角形，O是的中心． 因为,解得 由正弦定理，,解得， 故的面积为. （2） 如图，取点A为原点，使点与点关于轴对称，建立平面直角坐标系， 则有． 由动点P满足可得点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆, 故可设点P的坐标为，又因点M是PC的中点， 所以点M的坐标为， 故 ， 因，则得, 故当，即时，取得最大值1，故的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量在判断三角形形状、求向量模长上的应用，属于难题. 解题的关键在于运用向量的线性运算、数量积运算化简等式，进而判断三角形形状；对于动点轨迹的问题，一般建系后，利用几何意义，设参数得点坐标，将相关向量用参数表示求解. 20．（21-22高一下·四川甘孜·期末）已知向量​. (1)当时，求向量与的夹角; (2)求的最大值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）求出两向量的数量积，再根据​即可得解； （2）求出坐标，再根据向量的模的坐标表示结合辅助角公式及三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：当时，​， ， 设​与​的夹角为， 则， 而，， 即与的夹角为； （2）解：， ​， ​ 当时，取等号， ​的最大值为​. 21．（21-22高三上·四川资阳·阶段练习）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解. 【详解】解：可设，， 则， 即，则，， ， 当时，取得最大值为6， 即的最大值为6. 故选：C ( 题型04 ) 平面向量夹角的最值问题 22．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是 【答案】 【分析】设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解. 【详解】设与夹角为，与所成夹角为， ， 所以，，① ，② 又，③ 由上可得，④ ①④联立可得， 当且仅当时，取等号，，，则， 故与所成夹角的最大值是， 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）已知向量模，对模平方可以建立向量与向量夹角余弦值的关系；（2）求向量夹角的余弦值，可以用向量数量积的定义建立向量模与余弦值的关系； 23．（22-23高一下·四川成都·期末）已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解. 【详解】因为是平面内一组基底，即不共线， 设，显然、不共线，且均不为零向量， 设的夹角为，则，， 又因为，则， 即，整理得， 所以， 又因为，则， 所以与所成角的最大值为. 故答案为：. 24．（21-22高一下·四川成都·期中）已知平面单位向量，，满足||， 设+，+，向量与的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，化简可得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值，即可得的最大值. 【详解】解：由题意，∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，此时取得最大值为. 故答案为：. 25．（22-23高二上·四川德阳·开学考试）平面向量，满足，，则与夹角最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件先求得，再用夹角公式及基本不等式可求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 当且仅当、等号成立， ∵；∴； ∴与夹角的最大值为． 故答案为： 26．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果. 【详解】夹角为钝角，且不共线， 即且，解得：且， 的取值范围为. 故答案为：. 27．【多选】（22-23高一下·四川遂宁·阶段练习）下列说法中不正确的为（    ） A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．已知向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为 D．非零向量和满足，则与的夹角为 【答案】ACD 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；计算向量的投影可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项． 【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，则， ， 且与不共线，即，即，所以且，故A错误； 对于B，向量，，故，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确； 对于选项C，向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为，故C错误； 对于D，非零向量和满足，两边平方得， 则，， 故，而，故， 所以，与的夹角为，故D项错误． 故选：ACD． 28．（22-23高一下·四川成都·期末）已知向量，． (1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，求在上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，由可求得，再由投影向量的定义即可得到结果. 【详解】（1）因为与的夹角为钝角，所以，且与不反向共线， 故，解得，且，所以实数的取值范围为． （2）， 因为，所以， 解得，． 故在上的投影向量为． 1．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可． 【详解】如图，为圆心，连接，    则 ． 因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以， 则，即的取值范围是， 故答案为：． 2．（22-23高一下·四川巴中·期末）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围. 【详解】设，则，因为， 所以， 又，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）已知向量，满足，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算律化简运算即可得解. 【详解】当时，由，得，这与矛盾，所以． 由，得，即， 所以． 因为，且，所以． 故答案为： 4．【多选】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D． 【详解】解：A．若，则，解得，故正确，符合题意； B．若，则，解得，故正确，符合题意； C．， 则， 当时，，故正确，符合题意； D．因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且不共线， 由，得， 由得， 所以的取值范围为，故错误，不符合题意． 故选：ABC． 5．（22-23高一下·四川南充·期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，且，表示出，，进而根据平面向量数量积的坐标表示表示出，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点， 所以以为原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，则， 设，且， 所以，， 所以，对称轴为直线， 当时，取最小值， 当时，取最大值， 所以的取值范围是. 故选：D.    2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$