专题07 解三角形的最值问题5种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题07 解三角形的最值问题5种常考题型总结 题型概览 题型01求角的最值 题型02求边的最值 题型03求面积的最值 题型04求周长的最值 题型05与三角函数的综合最值问题 ( 题型01 ) 求角的最值 1．（23-24高一下·四川达州·期中）在中，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理将角的关系化为边的关系，代入余弦定理求，利用基本不等式求出其最小值即可得出的最大值. 【详解】因为，由正弦定理得：. 由余弦定理得：，且， 由基本不等式可得：， 当且仅当时，等号成立， 由同角三角函数关系式，且， 可得：，此时的值为最大值， 故选：D. 2．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 3．（22-23高一下·四川广元·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求的最大值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合已知条件可得，再利用基本不等式可求出，从而可求出的最大值； （2）由已知条件结合基本不等式可得，再由正弦定理得，所以，由（1）知，则可求出的范围，从而可求得结果. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 因为， 所以， 所以的最大值为， （2）因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以由正弦定理得，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 由（1）知，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 即的取值范围为. 4．【多选】（23-24高一下·四川内江·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理与正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得，再根据角分线利用等面积法可判断A选项；结合转化法表示向量的模，再根据基本不等式可得面积的最值，判断B选项；根据三角恒等变换可得，根据三角函数性质可判断C选项；根据三角形解的情况可判断D选项. 【详解】由已知， 根据余弦定理可知，即， 再由正弦定理可得， 又，即，所以， 即，又，， 所以，， A选项：为角平分线，则，所以， 即， 即，则，A选项正确； B选项：由为边的中点，则， 即， 所以，即， 又，即，， 即，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：由三角形可知 ， 又在中，， ，即， 所以，即，C选项正确； D选项：，且只有一解，则或，即或，D选项错误； 故选：ABC. 5．（21-22高一下·四川达州·期末）已知在△ABC中，A，B是两定点，，△ABC面积不超过．当时，BC＝4． (1)求角A的取值范围； (2)对任意，关于x的不等式在时恒成立，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出，再表示出三角形的面积，由△ABC面积不超过，可求出角A的取值范围； （2）将问题转化为关于x的不等式在区间上恒成立，然后分和两种情况求出的取值范围，从而可求出的范围 【详解】（1）∵时，BC＝4，， ∴在△ABC中由余弦定理得，即AB＝4． ∴，∴． ∵，所以角A的取值范围为． （2）∵是上的增函数，∴当时，． ∴关于x的不等式在区间上恒成立． 符合题意，此时． 当时，要使在区间上恒成立， 则必须，即， 解得，或（舍）． 所以． 综上所述，角A的取值范围为， ∴． ∵， 所以， 所以函数的值域为． 【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是求出的最大值，然后将问题转化为关于x的不等式在区间上恒成立，再分情况讨论求出角的范围，可得到的范围，从而可求出的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 ( 题型02 ) 求边的最值 6．（23-24高一下·四川雅安·期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）若选条件①，根据正弦定理边化角，再化简得，可解角C；若选条件②．根据正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变形化简得可解角C；若选条件③，直接由，结合三角函数恒等变形化简得可解角C； （2）在中，根据余弦定理，解得，又，得，从而得解； （3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则， 所以； 若选条件②， 由正弦定理得， 所以 ， 即， 即，整理得，即． 因为，所以， 所以． 若选条件③， 在中，因为，， 所以， 即， 化简得． 又，则，故． 因为，所以． （2）在中，根据余弦定理， 有， 即，解得或（舍去）， 依题意，， ， 即，则， 所以． （3）依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且， 则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 7．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式化简求值即可求，利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】由，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 由余弦定理可得， 因为是的中点，所以， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 8．（23-24高一下·四川德阳·期末）已知中，角所对的边分别为，已知． (1)若有两解，求边长的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得出，再结合已知条件有两解得出的范围，即可得出的取值范围；（2）利用两角和的余弦公式以及余弦定理求出相应的边，再利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理， 得：， 由内角和定理知， 要使有两解， 则与有两个交点 所以有， 故边长的取值范围是． （2）， ， 可得，， 由余弦定理得：， 故的面积． 9．（22-23高一下·四川成都·期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：， 于是得，，解得，又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：C 10．（21-22高一下·四川凉山·期末）已知中，点D在边AC上，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，则由余弦定理表示出，可得，利用三角函数的性质可求出. 【详解】设，，则， 设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，所以，则， 所以，则. 故答案为：. 11．（22-23高一下·四川自贡·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可求得，再得出，边化角化简未知式计算即可. 【详解】根据正弦定理化简可得 ， 即或， ∵，∴，即， ∴， ∴. 故答案为：. 12．（21-22高一下·四川南充·期末）在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解 【详解】由正弦定理可得 又因为三角形是锐角三角形， 所以，即，也即, 所以， 所以，，， ， 所以的取值范围是， 故选：A ( 题型03 ) 求面积的最值 13．（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】在锐角中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a表示c，再根据是锐角三角形得到a的范围，然后利用三角形的面积公式求解. 【详解】解：在锐角中， ，且， 由余弦定理得：，解得； 由余弦定理得， 因为是锐角三角形，所以 ， 即 ，解得 ， 所以， 故答案为：， 14．（23-24高一下·四川·期中）锐角的内角的对边分别为，已知 (1)求角的值； (2)若求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件及正弦定理的边角化，利用两角和的正弦公式及内角和定理，结合特殊值的三角函数即可求解； （2）根据（1）的结论及正弦定理边角化，利用三角形的面积公式及两角差的正弦公式，再利用降幂公式及辅助角公式，结合锐角三角形的定义及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）及正弦定理， ， ， , 即， 又，. （2）在中，由正弦定理定理，可得， 是锐角三角形， ，解得， 由，得， 所以，于是有， 故面积的取值范围为. 15．（21-22高三上·四川资阳·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用余弦定理可得，整理后可知，进而可求解. （2）由三角形周长可得，利用基本不等式可解得最值. 【详解】（1）由余弦定理，得，即 则， 所以 又，所以． （2）由题意，， 根据余弦定理，得， 则， 所以， 当且仅当时取等号 所以面积， 故面积S的最大值为． 16．（22-23高三上·四川·期中）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得. 【详解】（1）根据正弦定理有 即 展开化简得, ，，， ，, , ，. （2）由题意可知,设, ,又， 在中,由正弦定理可得:. 即:， ， , ， 所以三角形面积的取值范围为. 17．（20-21高二下·四川成都·期中）在锐角中，，，分别是角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简，可求，进而可求； （2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得． 【详解】解：（1）由， 根据正弦定理得， 故， ∵，∴， 又∵，∴， （2）∵，故， ∴， 所以 ， 因为，所以， ∴，∴， ∴， 故的面积的取值范围为． ( 题型04 ) 求周长的最值 18．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】在锐角中，，，，则， 由正弦定理， 得， ， 所， 由，得，而，则， 因此，所以周长的取值范围为. 故答案为： 19．（22-23高二下·四川广安·期中）已知的角，，的对边分别为，，，满足. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，由此求得正确答案. （2）将表示为角的形式，然后利用三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，所以. （2）依题意，. 由正弦定理， 即周长 ， ∵，∴，， ， 所以周长的取值范围. 20．（23-24高一下·四川成都·期中）已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)函数的最小值为，取最小值时的集合为 (2)周长的取值范围为. 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围. 【详解】（1）由于， 故 ， 由，得， 故当时，函数取最小值，最小值为； 所以函数的最小值为，取最小值时的集合为. （2）由，得， 而， 所以， 故， 由于，则， 则， 则 ， 而， 则，即， 故周长的取值范围为. ( 题型0 5 ) 与三角函数的综合最值问题 21．（21-22高一下·四川成都·期中）已知中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，且满足． (1)求角A； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式计算可得； （2）根据数量积的定义及正弦定理得到，再根据，将两角的三角函数化为一角的三角函数，再利用两角和差的正弦公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，又因为，所以； （2）解： 又因为，所以，所以 所以. 1．（20-21高一下·四川内江·期中）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．设． （1）求的长（用表示）； （2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小，最小面积是多少． 【答案】(1) ，  ；(2) 【分析】(1) 在中，由正弦定理直接就可以求出的长. (2) 在中，由正弦定理表示出的长，然后利用公式表示出的面积，把问题转化为求三角函数的最值问题. 【详解】(1) 在中，，所以在中，得 ，即， 所以， . (2) 在中，，所以由正弦定理，得  ，所以 ， 所以， 又 ， 因为，所以， 所以时，有最大值， 所以的面积有最小值， 所以的面积最小值为. 2．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为 (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的余弦公式，辅助角公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）， 令，则，， 函数的对称中心为． （2）由可知，， 化简有， 则 ． （3）由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 3．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，，. (1)若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间； (2)锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及三角公式变形整理得，然后根据平移变换和周期变换求出，再利用正弦函数的性质求解单调区间； （2）先通过求出，然后利用正弦定理表示出，再通过三角恒等变形的公式及三角函数的性质求解最值. 【详解】（1）因为， 将函数图象向左平移个单位长度得， 再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得， 由得， 要求在上的单调递减区间，则，解得， 即在上的单调递减区间为； （2）由可得，，即， 又，则，所以，则， 又为锐角三角形，则，解得， 因为，所以， 所以，， 则 ， 因为，可得，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 4．【多选】（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A；根据正弦定理即可求解B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D. 【详解】由正弦定理可得，即 因为，所以，所以， 对于A，若， 由余弦定理得， 由，，可得， 即，当且仅当时等号成立， 则面积，所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以， 当时，即，时有一解，故B错误； 对于C，若，由正弦定理得，所以 ， 由于为锐角三角形，故且，故， 因此，故，故C正确； 对于D，由于为锐角三角形，，， 所， 故AC边上的高为，故D错误． 故选：AC 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形的最值问题5种常考题型总结 题型概览 题型01求角的最值 题型02求边的最值 题型03求面积的最值 题型04求周长的最值 题型05与三角函数的综合最值问题 ( 题型01 ) 求角的最值 1．（23-24高一下·四川达州·期中）在中，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·四川广元·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求的最大值； (2)求的取值范围． 4．【多选】（23-24高一下·四川内江·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 5．（21-22高一下·四川达州·期末）已知在△ABC中，A，B是两定点，，△ABC面积不超过．当时，BC＝4． (1)求角A的取值范围； (2)对任意，关于x的不等式在时恒成立，求函数的值域． ( 题型02 ) 求边的最值 6．（23-24高一下·四川雅安·期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 7．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是 . 8．（23-24高一下·四川德阳·期末）已知中，角所对的边分别为，已知． (1)若有两解，求边长的取值范围； (2)若，求的面积． 9．（22-23高一下·四川成都·期末）已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·四川凉山·期末）已知中，点D在边AC上，，则的取值范围为 ． 11．（22-23高一下·四川自贡·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 ，则 的取值范围是 . 12．（21-22高一下·四川南充·期末）在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 求面积的最值 13．（23-24高一下·四川内江·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则 ，面积的取值范围为 . 14．（23-24高一下·四川·期中）锐角的内角的对边分别为，已知 (1)求角的值； (2)若求面积的取值范围． 15．（21-22高三上·四川资阳·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 16．（22-23高三上·四川·期中）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. 17．（20-21高二下·四川成都·期中）在锐角中，，，分别是角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的取值范围． ( 题型04 ) 求周长的最值 18．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 19．（22-23高二下·四川广安·期中）已知的角，，的对边分别为，，，满足. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 20．（23-24高一下·四川成都·期中）已知 (1)求函数的最小值以及取得最小值时的集合； (2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围． ( 题型0 5 ) 与三角函数的综合最值问题 21．（21-22高一下·四川成都·期中）已知中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，且满足． (1)求角A； (2)求的取值范围． 1．（20-21高一下·四川内江·期中）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．设． （1）求的长（用表示）； （2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小，最小面积是多少． 2．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 3．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，，. (1)若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间； (2)锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 4．【多选】（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$