专题06 解三角形的几何计算及实际应用举例4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题06 解三角形的几何计算及实际应用举例4种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形的几何计算 题型02角平分线问题 题型03中线问题 题型04正余弦定理的实际应用 ( 题型01 ) 解三角形的几何计算 1．（21-22高一下·四川成都·期中）如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用余弦定理求出，进而求出，再使用进行求解. 【详解】在三角形BCD中，由余弦定理得：， 因为，所以角C为锐角，所以， 在三角形ABC中， 故选：A 2．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）在平面四边形 中. (1)求 ； (2)若 求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求出BD，结合正弦定理计算即可求解； （2）由（1），根据同角的三角函数关系求出，利用和两角差的余弦公式和余弦定理计算即可求解. 【详解】（1）在中，解得. 因为所以 解得. （2）解法一：由（1）可得. . 在中，解得. 解法二：延长交于点，如图， 则为等边三角形. 在中，，解得.    3．（22-23高一下·四川成都·期中）嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高一年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记. (1)若，求教学区所在四边形的面积； (2)当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）在Rt中计算出，再分析出四边形为直角梯形，利用梯形面积公式即可； （2）利用正弦定理求得，写出的表达式，利用三角恒等变换、换元以及函数单调性即可得到最值. 【详解】（1）因为，则在Rt中，； 为等边三角形，， 则四边形为直角梯形，. （2）在中，由正弦定理得：. 在中，由正弦定理得：， 所以， ， 设快速通道的长度为， 设，由题得，则， 则，则， 显然在上单调递减， 所以当，即时，取得最小值. 4．（21-22高一下·四川绵阳·期中）在平面四边形中，，，． (1)若的面积为，求； (2)记，若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得，然后利用余弦定理可求得的长； （2）求得，，在中利用正弦定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】（1）解：，解得， 由余弦定理得，因此，. （2）解：在中，， 在中，，   由正弦定理得，即， 所以，，即，故. 5．（21-22高一下·四川·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)求； (2)若，的面积为，求CD． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦和差公式即可求解。 （2）利用正弦定理求出,,再根据三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）中，，．所以， 所以； （2）中，由正弦定理得，， 所以，又， 所以， 因为的面积， 所以． 6．（21-22高二上·四川南充·期中）如图，在四边形中，，，的角平分线与交于点，且． (1)求； (2)若，求四边形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，根据三角形内角和得到答案. （2）计算角度得到，利用余弦定理得到，根据余弦定理结合均值不等式得到，得到周长的最值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：． 又，则，于是. （2），所以，． 所以． 在中，根据余弦定理得， 所以， 令，， 在中，根据余弦定理得， 即有，得， 当且仅当时，等号成立． 所以四边形ABCD周长的最大值为. ( 题型02 ) 角平分线问题 7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角，，的对边为，，，且， (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，且，求底边上中线的长： ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，即可由同角关系求解， （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式即可求解，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以； （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 9．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. (1)求A； (2)若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解；选②，利用正弦定理化边为角，再根据余弦定理即可得解； （2）根据，再结合基本不等式即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积得几何意义即可得解. 【详解】（1）若选①， 在中，由及正弦定理， 得， 而，则， 显然，因此，， 则，得，解得， 又，所以； 若选②， 由已知条件及正弦定理，得， 所以， 又，所以； （2）由得，， 又， ∴， ∴（当且仅当时取等）， 即的最大值为； （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 10．（20-21高二下·四川成都·期中）在中，，，分别是角，，的对边，角为钝角，，，． （1）求角的大小； （2）内角的角平分线交线段于点，且，与的面积之比为，求边的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标运算得到．从而得到方程，由此能求出． （2）由与的面积比为，结合角平分线定理得，设，则，由余弦定理得，，由此能求出边的长． 【详解】解：（1）因为， 所以， ， 所以 因为为钝角，所以，所以 所以，， ∴，∴或（舍）， 又∵，∴． （2）与的面积的比为，∴， 又，所以， 设，则， 中，由余弦定理得， 中，由余弦定理得， ∴， ∴， 故边的长为4． 11．（21-22高一下·四川成都·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A的值，由已知利用角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC＝，由余弦定理，角平分线的性质可得CD＝3BD，进而解得c，b的值，进而根据余弦定理可得a的值． 【详解】解：因为， 所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc， 故， 由于A∈（0，π）， 可得：A＝， 因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝， 所以由余弦定理可得， 因为b＝3c， 所以CD＝3BD，即， 整理可得， 所以由余弦定理可得． 故选：B． 12．（21-22高二上·四川南充·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，的角平分线与BC交于点E，且． (1)求及AC； (2)若，求BD． 【答案】(1)＝， (2)4 【分析】（1）由正弦定理求得后可得，再由余弦定理求得； （2）利用三角形全等证得为直角三角形，从而可得． 【详解】（1）在中，由正弦定理得：． 又，则． 于是， 所以，，． 在中，根据余弦定理得 所以． （2）由（1）知，且，得． 又，故，所以，． 所以为直角三角形，． ( 题型03 ) 中线问题 13．（22-23高一下·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，且的面积为 (1)求角的大小； (2)若是的一条中线，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到，得到答案； （2）由，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案. 【详解】（1）由题意，可得的面积， 所以，所以， 又，所以. （2）为的中点，则，又，， 所以， 故，即线段的长度为. 14．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设设，用正弦定理将边长全部用表示，，，再用余弦定理，借助三角恒等变换，化为三角函数，求最值即可. 【详解】如图，    设，则 ．，，. 由于AC边的中线，， 用余弦定理，知道， . ,则. 故答案为：. ( 题型0 4 ) 正余弦定理的实际应用 15．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【答案】33米 【分析】在中，利用正弦定理求出，再借助给定的仰角计算作答. 【详解】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得米. 故答案为：33米 16．（23-24高一下·四川成都·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的，最后根据算出即可. 【详解】由题意知：，，所以，， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，m. 故选：C 17．（23-24高一下·四川成都·期中）据《金堂县志》记载，位于金堂县淮口镇沱江边蛇山上的瑞光塔（现称淮口白塔），修建于东晋，并于南宋绍兴十八年（1148年）重修.该塔坐东向西，背靠瑞光寺（现称白塔寺），塔为方形十三级楼阁式砖塔，是典型的宋营造法式，因为采用内置右旋式顺时针砖砌蹬道上顶，在四川宋塔中非常罕见.如图，为测量白塔的高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔的高度大约为（参考数据，）（    ） A．19米 B．31米 C．33米 D．35米 【答案】C 【分析】在中由正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】在中，，，， 其中 ， 在中由正弦定理可得，， ， 在中，米． 故选：C． 18．（23-24高一下·四川成都·期中）“元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（    ） A．2.6m B．3.2m C．3.6m D．4m 【答案】C 【分析】记建筑物的高为，延长交于，设，由题意可得， 可得，可求建筑物的高. 【详解】记建筑物的高为，延长交于， 由题意可得， 设，在中，， 在中，，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 19．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为，可得是等边三角形，千米. 记直线与直线的交点为， 所以为的中点，所以为等腰三角形， ， 又， 所以千米， 故选：A. 20．（23-24高一下·四川南充·期中）万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为 米．    【答案】30 【分析】求得可求得，进而由余弦定理可得，由，可求塔高. 【详解】在中，由得 所以米， 在中，由余弦定理可得 ，所以， 在，可得， 所以米. 故答案为：30. 1．（23-24高一下·四川内江·期中）为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设． (1)若m，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)（m） (2)，最小值为． 【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解； （2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解. 【详解】（1）依题意，在中，m，m，， 所以，则， ，即， 所以，又，故， 所以是正三角形，则m，m， 所以护栏的长度为（m）． （2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下： 设，在△ANC中，， 则， 由正弦定理得，得， 在中，， 由正弦定理得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时， 的面积取得最小值为． 2．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. (1)求的长度； (2)记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）根据正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质求出最大值. 【详解】（1）在中，， 所以， 由正弦定理， 即，解得，故的长度为. （2）由题可知， 在中， ∴，， ∴ ， ∴，， ∵，∴， ∴， 所以当，即时取得最大值，最大值为. 3．（23-24高三上·四川遂宁·期中）某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度.如图所示，记为临仙阁的高，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点.现测得.，m，在点处测得塔顶的仰角为30°，则临仙阁高大致为（ ）m（参考数据：） A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m 【答案】C 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可． 【详解】依题意，中，， 所以由正弦定理得，即， 解得， 在中，，即． 故选：C. 4．（21-22高一下·四川内江·期中）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，c＝1且． (1)求b边的长； (2)求△ABC的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对进行化简即可； （2）以为基底表示，然后根据算出，再通过面积公式计算面积； （3）设，利用△AEF的面积为△ABC面积的一半，得到xy＝2，再以为基底分别表达三点共线和E，G，F三点共线，对应系数得到的表达式，然后计算数量积的最值. 【详解】（1）由条件， 由正弦定理得：， 由余弦定理化简可得：4c＝b， 又c＝1，所以：b＝4． （2）因为D为中点，所以， 设，则， ∵，即 ∴ 故△ABC的面积为． （3）设，因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以xy＝2， 设，则， 又E，G，F共线，所以设， 则， 所以：，解得：，则， 又， ， 又xy＝2，所以化简可得：， 又y≤4，所以， 所以，即当x＝1时． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 解三角形的几何计算及实际应用举例4种常考题型总结 题型概览 题型01解三角形的几何计算 题型02角平分线问题 题型03中线问题 题型04正余弦定理的实际应用 ( 题型01 ) 解三角形的几何计算 1．（21-22高一下·四川成都·期中）如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）在平面四边形 中. (1)求 ； (2)若 求. 3．（22-23高一下·四川成都·期中）嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高一年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记. (1)若，求教学区所在四边形的面积； (2)当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？ 4．（21-22高一下·四川绵阳·期中）在平面四边形中，，，． (1)若的面积为，求； (2)记，若，，求． 5．（21-22高一下·四川·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，． (1)求； (2)若，的面积为，求CD． 6．（21-22高二上·四川南充·期中）如图，在四边形中，，，的角平分线与交于点，且． (1)求； (2)若，求四边形周长的最大值． ( 题型02 ) 角平分线问题 7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角，，的对边为，，，且， (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，且，求底边上中线的长： ②求内角的角平分线长的最大值． 8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 9．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.） ①；②. (1)求A； (2)若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 10．（20-21高二下·四川成都·期中）在中，，，分别是角，，的对边，角为钝角，，，． （1）求角的大小； （2）内角的角平分线交线段于点，且，与的面积之比为，求边的长． 11．（21-22高一下·四川成都·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，，b＝3c，则a的值为（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高二上·四川南充·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，的角平分线与BC交于点E，且． (1)求及AC； (2)若，求BD． ( 题型03 ) 中线问题 13．（22-23高一下·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，且的面积为 (1)求角的大小； (2)若是的一条中线，求线段的长. 14．（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，AC边的中线，则的最大值是 ． ( 题型0 4 ) 正余弦定理的实际应用 15．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 16．（23-24高一下·四川成都·期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离约为的点（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川成都·期中）据《金堂县志》记载，位于金堂县淮口镇沱江边蛇山上的瑞光塔（现称淮口白塔），修建于东晋，并于南宋绍兴十八年（1148年）重修.该塔坐东向西，背靠瑞光寺（现称白塔寺），塔为方形十三级楼阁式砖塔，是典型的宋营造法式，因为采用内置右旋式顺时针砖砌蹬道上顶，在四川宋塔中非常罕见.如图，为测量白塔的高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔的高度大约为（参考数据，）（    ） A．19米 B．31米 C．33米 D．35米 18．（23-24高一下·四川成都·期中）“元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（    ） A．2.6m B．3.2m C．3.6m D．4m 19．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 20．（23-24高一下·四川南充·期中）万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为 米．    1．（23-24高一下·四川内江·期中）为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设． (1)若m，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 2．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. (1)求的长度； (2)记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 3．（23-24高三上·四川遂宁·期中）某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度.如图所示，记为临仙阁的高，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点.现测得.，m，在点处测得塔顶的仰角为30°，则临仙阁高大致为（ ）m（参考数据：） A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m 4．（21-22高一下·四川内江·期中）如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，c＝1且． (1)求b边的长； (2)求△ABC的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求的最小值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$