5.3.2等比数列的前n项和（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.3.2等比数列的前n项和 题型一 等比数列前n项和基本量的计算 1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知公比为的等比数列的前和为，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则公比（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 5．（24-25高二上·广东茂名·期末）记为等比数列的前项和.若，则的公比为 . 题型二 等比数列中 Sn，S2n，S3n的性质 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高二·全国·课堂例题）记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．24 B．28 C．48 D．84 3．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则公比（   ） A． B． C．或1 D．或1 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 题型三 等比数列奇数项偶数项和的性质 1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 题型四 等比数列的实际应用 1．（24-25高二·全国·课堂例题）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 题型五 错位相减法求和 1．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为数列的前n项和，，时，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 4．（24-25高二下·云南·开学考试）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. (3)若数列满足，其前项和为，证明：. 5．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 题型六 裂项相消法求和 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，求证：. 2．（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. (1)求，的通项公式 (2)设，数列的前n项和为，求并证明. 3．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求和； (2)令，证明：． 1．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列的前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）(多选)已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的通项公式为，若，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前项和为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2等比数列的前n项和 题型一 等比数列前n项和基本量的计算 1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知公比为的等比数列的前和为，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】应用等比数列通项公式及等比数列前n项和公式基本量运算求解，最后代入计算求解即可. 【详解】公比为的等比数列中，因为，， 所以，所以，所以，所以，， 当时，； 当时，； 所以. 故选：C. 2．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则公比（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式及通项公式即可求解； 【详解】由， 当时，显然不满足， 当时，， 解得：， 故选：C 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【答案】 【分析】由等比数列性质得到，设出公比，由求出，从而得到，相加得到答案. 【详解】由等比数列性质得，又，所以， 设公比为，由得，， 故， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·广东茂名·期末）记为等比数列的前项和.若，则的公比为 . 【答案】2 【分析】根据等比数列的前项和公式求解． 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为，所以， 即，即，即， 解得. 故答案为：2. 题型二 等比数列中 Sn，S2n，S3n的性质 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列，然后列式求解即可. 【详解】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列， ，即，解得或63. 又当时，，不符合题意，舍去，故. 故选：B. 2．（24-25高二·全国·课堂例题）记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．24 B．28 C．48 D．84 【答案】D 【分析】利用等比数列前n项和的性质即可得解. 【详解】由等比数列的性质，得成等比数列， 所以， 又因为，， 即， 解得． 故选：D. 3．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则公比（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】A 【分析】利用等比数列片段和性质可求公比. 【详解】由，得，解得， 故选: A． 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，所以，否则， 设，， 则， 所以， ， 所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由已知可得，可求得. 【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 题型三 等比数列奇数项偶数项和的性质 1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 2．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 题型四 等比数列的实际应用 1．（24-25高二·全国·课堂例题）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列列式，再利用等比数列前项和公式求解. 【详解】设每年偿还的金额为x元，则， 则，解得， 所以该学生家长每年的偿还金额是元. 故选：D 2．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏常州·期末）设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的求和公式求和即可. 【详解】依题意，这十年的总产值为： . 故选：C 4．（24-25高二上·广东广州·期末）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（    ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【答案】C 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【分析】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 题型五 错位相减法求和 1．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义可证明结论. （2）利用累加法可求得数列的通项公式. （3）求出，利用错位相减法和分组求和可得结果. 【详解】（1）∵， ∴，即， ∴数列是等比数列. （2）由（1）得数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴当时， ， 当时，，满足上式， ∴. （3）由（2）得，. 设 ①， 则2 ② ①②得：， ∴， ∴. 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为数列的前n项和，，时，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用的关系，结合等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求出. 【详解】（1）当时，，则，两式相减得， 而，，则，即，，又， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减，得， 所以 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 4．（24-25高二下·云南·开学考试）已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. (3)若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，； (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据时，得到，证明出为等差数列； （2）利用等差数列性质及得到，结合求出，并得到通项公式； （3），利用错位相减法求和，得到. 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； （2）由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； （3）， ③， 故④， 式子③-④得 ， 故. 5．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解； （2）由（1）求得，利用错位相减法可求； （3）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以，. （2）由题意，， ① ② ①②得 所以， （3）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 题型六 裂项相消法求和 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”） (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)选择见详解， (2)证明见详解 【分析】(1)选①，利用进行求解，选②，利用进行求解； (2)利用裂项相消法即可求出，进而判断范围. 【详解】（1）选①：， 当时，， ，即， 又时，得，则， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，； 选②：， 时， ，， 又时，，满足上式， ； （2）由(1)知，，， 设，则，则， 又， ，                                                  综上：. 2．（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. (1)求，的通项公式 (2)设，数列的前n项和为，求并证明. 【答案】(1)， (2) ，证明见解析 【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）利用裂项相消法求和，并利用数列的单调性证明不等式. 【详解】（1）设的公比，因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 设的公差为d，因为，， 所以，， 所以， 解得， 所以． （2）， 所以 ， 因为n为正整数，所以，所以， 又因为数列单调递减，所以单调递增， 所以，所以. 3．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 4．（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列，其前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可利用累乘法求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以 5．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求和； (2)令，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式求解即可， （2）利用裂项相消法结合不等式求解即可. 【详解】（1）因为是等差数列，所以． 又，所以，即． 又因为，所以，所以公差，所以． ． （2）由（1）知， 所以． 所以 ． 又因为，所以，即，所以． 1．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推关系式构造出等差数列，可求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和，根据所求可对各选项做出判断. 【详解】由题意，，等式两边同时除以，可得. 设，则，又因为， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 则，.故A 正确； 所以，， 则， 两式相减可得 ， 所以.故B正确； 对于C，.故C正确； 对于D，，， 则.故D错误. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，适合上式，所以， ， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以， 综上，， 又因为不等式恒成立，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列的前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据题意，先求出可得，判断出数列的单调性可得答案. 【详解】因为，时，， 由，所以， 设等差数列的公差为，由得， 解得，所以，可得， 则， 所以当时，；当时，， 所以， 又因为，，，， 所以当时，；当时，； 当时，，因此当时，数列单调递减； 当时，单调递增，所以，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出数列的单调性. 4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）(多选)已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 【答案】ABD 【分析】根据递推公式求出即可判断A；根据递推公式可得即可判断B；利用构造法求出数列的通项，再利用错位相减法求出，再利用作差法即可判断C；化简即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项知， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 则， ， 两式相减得 ， 所以， ， 因为，所以， 所以当时， ， 所以当时，，故C错误； 对于D， ， 因为不同时为整数， 所以，故D正确． 故选：ABD． 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的通项公式为，若，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，令，则数列的前项和为 . 【答案】 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，从而得到，又，即可求得，从而可求得数列的通项，再利用错位相减法即可得出答案. 【详解】由，，则，， 所以等比数列的公比为3，所以， 又因是等差数列的第项，所以， 所以，所以， 所以， 则， ， 两式相减得 所以. 故答案为： 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$