期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：浙教版第1-4章）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式、一元二次方程、数据分析初步、平行四边形； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24·八年级下·浙江杭州·期中）某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 7．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·浙江温州·开学考试）关于x的一元二次方程根的情况是（   ） A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 10．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小林的最终成绩是 分． 12．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 13．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 14．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 15．（24-25八年级下·浙江台州·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题： 如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B． （1）则 度； （2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ． 16．（23-24八年级下·浙江·自主招生）已知关于的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级下·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 18．（24-25八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：      八年级50名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 5 10 a b 10 已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ． (2) ， ． (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 20．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知在平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的； (2)在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 21．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 22．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）根根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量________（用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量________（用含b的代数式表示）． 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 23．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若CD=CP，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式、一元二次方程、数据分析初步、平行四边形； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列是天台县一些部门的公众号图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．据此依次分析判断即可求解． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称；故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．利用二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一对选项进行判断即可． 【详解】解：A中，和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项错误，故不符合题意； D中，，故选项正确，故符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小路的宽度为，根据平移的性质可得剩余草地为长、宽的长方形，即可建立方程． 【详解】解：设小路的宽度为，根据题意，， 故选：D． 4．（23-24·八年级下·浙江杭州·期中）某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查了中位数的应用，寻找出题意所述的隐含条件，即找中位数是关键．根据小林需要在前才能晋级，知道班的成绩的中位数后即可确定自己班是否可以晋级． 【详解】解：共有13个班进行大合唱比赛，取前6名， 所以小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，是否进入前六、我们把所有班级按大小顺序排列，第7个班级的成绩是这组数据的中位数， 所以小林知道这组数据的中位数，才能知道自己班是否进入决赛． 故选：A． 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中每个内角都大于 D．三角形中没有一个内角小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时， 第一步先假设三角形中每个内角都大于． 故选：C． 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 7．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确求出长方形纸条的长是解题关键．如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为， 故选：C． 8．（24-25八年级下·浙江温州·开学考试）关于x的一元二次方程根的情况是（   ） A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程的解和根的判别式计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故方程有两个不相等的实数根， 当时，， ∴不是方程的实数根， 故选：C． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点C重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点A重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】∵，点M的速度为， ∴当点M从点B到点C，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； 由图2可知，点N从B到A用时 ∴，故②正确； ∴，故③正确； 当点M未到点C时，过点N作于点E， ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F， 此时, ∴ ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按的比例确定成绩，则小林的最终成绩是 分． 【答案】88.5 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：小林的最终成绩为， 故答案为：88.5． 12．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键 根据被开方数大于等于0列式，得出x的值，再根据题目中y与x的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】 ， ， ， 把代入中 的平方根为， ∴的平方根为， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 14．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若一元二次方程的两根为m，n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先将一元二次方程的解代入方程中得，再根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后变形所求代数式，进而代值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n， ∴，，，即， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江台州·期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题： 如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B． （1）则 度； （2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别计算出正九边形的外角和内角度数，进而求得和的度数，即可判断出，根据三角形的内角和为可得的度数； （2）连接，易得，证明是等边三角形，可判断，整理后即可得到a，b，c满足的数量关系． 【详解】解：（1）正九边形每个外角的度数为：， 正九边形每个内角的度数为：， 即：，， 多边形是正九边形， ， ， ， ． 故答案为：60； （2）连接，由图形可知：， 由（1）得：，， 为等边三角形， ， 多边形是正九边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，，， ． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·浙江·自主招生）已知关于的两个一元二次方程：①，②，其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一个公共根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时需要注意、是互不相等的正整数，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求得两个方程的根，然后结合已知条件得到关于、的数量关系，再由限制性条件“、为正整数”来求、的值即可； 【详解】解：∵， ∴化简为：， ∵，， ∴原方程化简为：， ∴，， 故同理可得的方程解为：，， ∵两个一元二次方程的二次项系数不相等， ∴，即， ∵两个一元二次方程有一个公共根， ∴，， 通过化简整理均得到方程， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴，或，； ∴， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（24-25八年级下·浙江金华·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）先利用乘法法则展开并计算二次根式的除法，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25八年级下·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）把右边的式子移到左边，再因式分解即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 19．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：      八年级50名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 5 10 a b 10 已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ． (2) ， ． (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1)5人，8分 (2)10，15 (3)本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高，理由见解析 【分析】本题考查了中位数，平均数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出七年级活动成绩为7分的占比，再与相乘，得出七年级活动成绩为7分的学生数，再结合出现次数最多的即为众数进行作答即可． （2）把数据排序后，位于中间位置的数为中位数进行作答即可． （3）分别求出两个年级的优秀率，平均数，然后比较，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴七年级活动成绩的众数为8分． 故答案为：5人，8分． （2）解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分， ∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分， ∴， 解得， 故答案为：10，15. （3）解：依题意，， ∴七年级优秀率为， 则平均成绩为（分）； 则八年级优秀率为， 平均成绩为（分）， ∵ ∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高． 20．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知在平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的； (2)在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、原点对称、最短路径问题，掌握相关知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先画出各顶点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，利用轴对称的性质可得，则点P即为所求，再利用勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 由对称性得，， ， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由图可得，， 如图所示，点P即为所求，的最小值为． 21．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段三等分点的定义，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，再根据M，N是对角线的三等分点得到，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据三等分点得出，利用勾股定理进而得出，再利用勾股定理得出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， ，N是对角线的三等分点， ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，，M，N是对角线的三等分点， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 22．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）根根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量________（用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量________（用含b的代数式表示）． 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 【答案】任务1：，；任务2：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出2件，乙店一天可多售出1件，即可得出结论； 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利额相等列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为件， 任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得： ， 整理得， 解得：，（舍去） 答：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等． 23．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，∵ ∴，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，有最小值，为8 (3)当时，有最小值，为4 (4)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式，分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）将原式变形为，可利用公式计算的形式，计算即可； （4）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为 2 ； （2）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为8 ． （3）解：∵， ， 而， 当时，即时，等号成立， ∴， ∴当时，有最小值，为4． （4）解：设， ∵与同高，与同高， ， 由题知， ， ， ， ， ， ∴四边形面积的最小值为 25 ， 故答案为：25 ． 24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若CD=CP，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (4)如图4，在(1)的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒 (3)的长为 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （4）如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$