八年级数学期中模拟卷（深圳专用，测试范围：北师大版八年级下册全部）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期期中模拟考试

2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A D A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 10． 11．9 12． 13．-5 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（10分） 【详解】解：（1）解不等式得：；(2分） 解不等式得：．(4分） 所以，原不等式组的解集为．(5分） （2）去分母得：，(1分） 去括号得：，(2分） 解得：．(3分） 经检验，为原分式方程的增根，(4分） ∴原分式方程无解．(5分） 15．（5分) 【详解】解：原式(1分） (2分） (3分） 因为，， 所以，， 所以只能为0，(4分） 当时，原式．(5分） 16．（8分） 【详解】（1）解：如图，即为所求作三角形；  (1分） ，．(2分） （2）解：如图，即为所求作三角形；   (4分） （3）解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴，(5分） ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，(6分） ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分，7分） ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为．(8分）    17．(8分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，(1分） ∵， ∴， ∴，(2分） ∵， ∴四边形是平行四边形．(3分） （2）解：∵， ∴，(4分） ∵平分， ∴， ∴，(5分） ∴， ∴，(6分） ∴， ∴，(7分） ∴， ∴平行四边形的周长是16．(8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：，（1分） 解得：，(2分） 经检验，是所列方程的解，且符合题意，(3分） ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．(4分） （2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：，(5分） 解得：，(6分） 又∵为正整数，(7分） ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．(8分） 19．（11分) 【详解】解：[学以致用] （1） ．(2分） （2） (4分） [拓展延伸] （1） (5分） (6分） 等腰的三边为或(7分） ， ， 等腰的面积为48或．(8分） （2） (9分） 且 (10分） ．(11分） 20．（11分） 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，；(2分） （2）． 证明： 如图， 延长至点， 使得， 连接， ∵， ∴，(3分） ∵，， ∴，(4分） 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴，(5分） ∴， ∵， ， ，    ；(6分） （3）解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∴， ∴，(7分） ∴， ∵， ∴，  (8分）                ∴ ∵，， ，(9分） ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值，(10分） 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为．(11分） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册全部。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 2．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 3．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（    ） A．   B．   C．   D．   5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（    ） A． B． C．4 D． 6．深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点D，若，，则的长为（   ）    A．4 B．8 C． D． 8．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．因式分解： ． 10．如图，一次函数与的图像相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 11．如图，在中，平分，，垂足为点D，交于点G，E为的中点，连接，cm，cm，则的长为 cm．    12．如图，在中，90°，，将绕点顺时针旋转30°得到，与相交于点，则的面积为 ．    13．若关于的方程无解，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（10分）（1）解不等式组：；     （2）解分式方程：． 15．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：    (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 17．如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 18．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 19．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 20．（11分）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 (1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 (2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9._______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（10分）（1）解不等式组：；     请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （2）解分式方程：． 15．（5分）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （1）______ ______ （3）______ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） （1） （2）_________ _________ 19．（11分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (2) ① ② 20．（11分） (1)_________ _________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册全部。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 2．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 3．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（    ） A．   B．   C．   D．   5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（    ） A． B． C．4 D． 6．深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点D，若，，则的长为（   ）    A．4 B．8 C． D． 8．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．因式分解： ． 10．如图，一次函数与的图像相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 11．如图，在中，平分，，垂足为点D，交于点G，E为的中点，连接，cm，cm，则的长为 cm．    12．如图，在中，90°，，将绕点顺时针旋转30°得到，与相交于点，则的面积为 ．    13．若关于的方程无解，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（10分）（1）解不等式组：；     （2）解分式方程：． 15（5分）．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：    (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 17．（8分）如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 18．（8分）年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 19．【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 20．（11分）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 (1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 (2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册全部。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所 C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心 【答案】A 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得 ∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变， 故选：D． 3．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．等式左右两边不相等，不是因式分解，故此选项不符合题意； C．原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D 4．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为，在数轴上表示出来为：  ， 故选：A． 5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：解：∵，，是直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 故选：D． 6．深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点D，若，，则的长为（   ）    A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作于点H，    由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 10．如图，一次函数与的图像相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象下方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故答案为： 11．如图，在中，平分，，垂足为点D，交于点G，E为的中点，连接，cm，cm，则的长为 cm．    【答案】9 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中 ， ()， ，， E为的中点， 是的中位线， ， ()， 故答案：． 12．如图，在中，90°，，将绕点顺时针旋转30°得到，与相交于点，则的面积为 ．    【答案】 【详解】如图，过点F作FH⊥AD于点H，    ∵∠C=90°，AC=BC， ∴为等腰直角三角形， ∵由绕点A顺时针旋转30°所得， ∴∠CAB=∠EAD=∠D=45°，且∠CAE=30°，AB=AD， ∴∠EAF=15°， ∴∠FAD=30°， ∵FH⊥AD， ∴AF=2HF， 在中， ∵∠D=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴HF=HD， 又∵在中， ∴， 设HF=x，则HD=x，AF=2x， ∴， ∴， ∴面积=， 故答案为：. 13．若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【详解】去分母得：3x−2=2x+2+m， 由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1， 代入整式方程得：−5=−2+2+m， 解得：m=−5， 故答案为-5. 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（10分）（1）解不等式组：；     （2）解分式方程：． 【详解】解：（1）解不等式得：；(2分） 解不等式得：．(4分） 所以，原不等式组的解集为．(5分） （2）去分母得：，(1分） 去括号得：，(2分） 解得：．(3分） 经检验，为原分式方程的增根，(4分） ∴原分式方程无解．(5分） 15．（5分）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【详解】解：原式(1分） (2分） (3分） 因为，， 所以，， 所以只能为0，(4分） 当时，原式．(5分） 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：    (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【详解】（1）解：如图，即为所求作三角形；  (1分） ，．(2分） （2）解：如图，即为所求作三角形；   (4分） （3）解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴，(5分） ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，(6分） ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分，7分） ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为．(8分）    17．如图，在中，分别是边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，(1分） ∵， ∴， ∴，(2分） ∵， ∴四边形是平行四边形．(3分） （2）解：∵， ∴，(4分） ∵平分， ∴， ∴，(5分） ∴， ∴，(6分） ∴， ∴，(7分） ∴， ∴平行四边形的周长是16．(8分） 18．（8分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：，（1分） 解得：，(2分） 经检验，是所列方程的解，且符合题意，(3分） ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．(4分） （2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：，(5分） 解得：，(6分） 又∵为正整数，(7分） ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．(8分） 19．（11分)【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：因式分解（1）； （2）． 【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试． ①已知为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积； ②如图，长方形，已知，其中，且，求长方形的边的长度．（，用含的式子表示） 【详解】解：[学以致用] （1） ．(2分） （2） (4分） [拓展延伸] （1） (5分） (6分） 等腰的三边为或(7分） ， ， 等腰的面积为48或．(8分） （2） (9分） 且 (10分） ．(11分） 20．（11分）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 (1)如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 (2)如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，；(2分） （2）． 证明： 如图， 延长至点， 使得， 连接， ∵， ∴，(3分） ∵，， ∴，(4分） 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴，(5分） ∴， ∵， ， ，    ；(6分） （3）解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∴， ∴，(7分） ∴， ∵， ∴，  (8分）                ∴ ∵，， ，(9分） ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值，(10分） 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为．(11分） 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$