第十章 二元一次方程组 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

第十章 二元一次方程组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，是二元一次方程的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义逐项计算即可作出判断． 【详解】解：A、把代入方程，左边中，右边，左边右边，所以，故此选项符合题意； B、把代入方程，左边，右边=0，左边右边，所以，故此选项不符合题意； C、把代入方程，左边中，右边，左边右边，所，故此选项不符合题意； D、把代入方程，左边中，右边，左边右边，所以，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）方程，用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程，把方程中的看作已知数，然后根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为，即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 系数化为得：． 故选：D ． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解∶根据题意，得， 故选∶B． 4．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）某社区活动中心计划出资600元全部花完购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，则在每一种棋类都要购买的条件下，的值为（    ） 单位/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 围棋 80 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东梅州·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：C． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解．把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现仓库里有块长方形木板和块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余下块，则，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组，设竖式纸盒个，横式纸盒个，由题意列出方程组可求解．根据题意列出正确的方程组是本题的关键． 【详解】解：设竖式纸盒个，横式纸盒个， 依题意，得：， ∴， 即， ∴是的倍数， A．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意； B．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意； C．，此时是的倍数，故此选项符合题意； D．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 9．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式，设长方形纸片的长为，宽为，由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得，即，由大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为，可得，即，再求解即可． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， 小正方形（阴影部分）的面积是9， ，即， 大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为， ，即， ，解得， 大长方形的面积是， 故选：C 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，由非负数的性质得，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知为有理数，观察表中的运算和运算结果，则 ． 的运算 运算结果 1 【答案】 【分析】先根据表格得出方程组 ，求出方程组的解，再代入求出即可．本题考查了解二元一次方程组和代数式求值，理解题意并列出二元一次方程组求出a、b的值是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）.观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 . ． 【答案】、． 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可． 【详解】∵关于的二元一次方程组的解为， ∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组， ∴， ∴， ∴关于的二元一次方程的解为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 原来的数为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为 【答案】7 【分析】本题主要考查解二元一次方程组、多项式等知识点，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解方程组，再根据其解是整数，确定a的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出a的值，然后求和即可． 【详解】解：得：， ∵关于x，y的方程组的解为整数且a为整数， ∴， ∴或4或1或3； ∵是二次三项式， ∴，即； ∴或4或3， ∴所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：7． 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 【答案】或 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 先求出方程与它的“交换系数方程”，然后组成方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程与“交换系数方程”为或， ∴它们组成的方程组为或， 解得：或． 所以方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为或． 故答案为：或． 18．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（山西省晋城市部分学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试卷）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： 由①得．③．     把③代入②，得．     解得．     把代入③，得．     所以，方程组的解是  ． （2）原方程组整理得     方程①＋②，得．     解得．     把代入①，得． 解得．     所以，方程组的解为． 20．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于的方程组，当时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键． 根据消元法，用含的式子解出，然后代值求解即可． 【详解】解： ，得： 化简得：， 当时，， 解得：． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 22．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 23．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了定义新运算、解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含的式子表示出，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：，， ， 解得：． （2）解：由题意得，， 解得：， ， ， 解得：， 的值为0． 24．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，， 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 26．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①484；②立方厘米； (2)4厘米，或7厘米，或8厘米 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． （1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可； ②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米）， ∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）； 故答案为：484； ②如图，设，， ∵能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米； （2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米， 展开方式1如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， 该方程无解； 展开方式2如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴； 展开方式3如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式4如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式5如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二元一次方程组全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列4组数值中，是二元一次方程的解的是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）方程，用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）某社区活动中心计划出资600元全部花完购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，则在每一种棋类都要购买的条件下，的值为（    ） 单位/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 围棋 80 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级上·广东梅州·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现仓库里有块长方形木板和块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余下块，则，的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 9．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 12．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知为有理数，观察表中的运算和运算结果，则 ． 的运算 运算结果 1 13．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）.观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为 . ． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期末）有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ． 16．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为 17．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 18．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（山西省晋城市部分学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试卷）解方程组： (1) (2) 20．（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于的方程组，当时，求的值． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 22．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 23．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 24．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 25．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 26．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 学科网（北京）股份有限公司 $$