专题19 几何法解决异面直线所成角、线面角问题（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题19 几何法解决异面直线所成角、线面角问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、利用平行四边形平移求线线角 2 题型二、利用中位线平移求线线角 4 题型三、利用补形法求线线角 5 题型四、求线面角（定义法与等积法） 6 题型五、与线面角有关的探索性问题 8 压轴能力测评（16题） 10 一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 二、线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 【题型一 利用平行四边形平移求线线角】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁·期末）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建福州·期末）已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽·期末）在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【题型二 利用中位线平移求线线角】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知等边三角形的边长为4，D为的中点，将沿折到，使得为等边三角形，则直线与所成的角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型三 利用补形法求线线角】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）如图，直三棱柱中，是等边三角形，点分别是线段的中点，直线与平面交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024高一下·全国·专题练习）正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【题型四 求线面角（定义法与等积法）】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）正四面体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 5．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 6．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【题型五 与线面角有关的探索性问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形.    (1)求证： (2)在直线上存在一点，，试求与平面所成角的正弦值. 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广西·阶段练习）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·辽宁·期末）在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 9．（23-24高一下·宁夏银川·期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 10．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）长方体中，，.点，分别是，的中点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为 . 11．（23-24高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 三、解答题 12．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小. 13．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)若平面交于点，求证：； (2)求证：平面； (3)判断直线与平面所成角的大小是否可以为？并说明理由. 14．（23-24高一上·山东临沂·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，．    (1)证明；平面平面； (2)设P为上的一个动点，是否存在点P使得与平面所成角为30°，若存在，求，若不存在，说明理由． 15．（23-24高一下·云南保山·期末）如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值及直线与平面所成角的大小；若不存在，请说明理由. 16．（23-24高一下·山东日照·期末）如图，正方形边长为4，E为AB中点，F为边BC上的动点．将沿DE翻折到，沿EF翻折到． (1)求证：平面； (2)若F是边BC上的中点，求点S到平面的距离； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 几何法解决异面直线所成角、线面角问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、利用平行四边形平移求线线角 2 题型二、利用中位线平移求线线角 7 题型三、利用补形法求线线角 12 题型四、求线面角（定义法与等积法） 15 题型五、与线面角有关的探索性问题 23 压轴能力测评（16题） 30 一、线线角的定义与求解 线线角主要是求异面直线所成角。 1、线线角的定义： ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角) ②范围： 2、求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①平行四边形平移法； ②中位线平移法； ③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 二、线面角的定义与求解 1、直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 2、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 3、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 【题型一 利用平行四边形平移求线线角】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】注意到，从而可将问题转换为求即可，结合解三角形知识即可得解. 【详解】    取中点，连接， 不妨设，因为， 所以， 所以， 由题意， 所以， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 2．（23-24高一下·辽宁·期末）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移法作出异面直线与 所成角，解三角形即可求得答案. 【详解】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点， 故，即四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与 所成角或其补角； 直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接， 则平面，故平面平面， 故，是棱的中点，故， 则,而 ，又，故在中，, 由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是， 故选：D. 3．（23-24高一下·福建福州·期末）已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到或其补角为与所成的角，并求出各边长，得到⊥，又，故，故， 【详解】连接，过点作交底面圆于点，连接， 因为是弧的中点，所以四边形为正方形，， 故或其补角为与所成的角， 设，则， 由勾股定理得， ， 又，故⊥， 又，故， 故， 与所成的角为. 故选：C 4．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，点E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取的中点，连接，由题意可知异面直线EF与GH所成的角（或其补角）即为与所成的角（或其补角），求出，由余弦定理求解即可. 【详解】分别取的中点，连接， 由正方体的性质知：， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以异面直线EF与GH所成的角（或其补角）即为与所成的角（或其补角）， 即为，设正方体的棱长为， ，， 所以， 所以异面直线EF与GH所成的角为. 故选：C. 5．（23-24高一下·安徽·期末）在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由棱台的结构特征可得，则或其补角为异面直线与所成的角，利用正棱台的结构求解即可． 【详解】如图所示，连接，则，连接，因为， 所以．易知四边形为平行四边形，则，且， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 同理知，又，所以为等边三角形，所以， 故选：C．    【题型二 利用中位线平移求线线角】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，分析可知是与所成的角或其补角，结合题意运算求解即可. 【详解】取的中点，连接，，    可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 2．（23-24高一下·四川成都·期末）在正四棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段中点，得出异面直线与所成角为，结合解三角形知识即可求解. 【详解】 取线段中点，因为点为中点，所以， 所以异面直线与所成角为， 不妨设正四棱锥的所有棱长均为2， 则，， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，体积为，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，利用异面直线夹角的几何求法找到夹角，利用直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的高为，则，，所以. 设正四棱锥的底面中心为，连接，，则， 所以直线与所成的角为，且连接， 由题可得，，，所以， 所以，故A正确. 故选：A 4．（23-24高一下·广西河池·期末）如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF， 则为异面直线EC与BD所成角或其补角， 不妨设，易得， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为． 故选：A．    5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知等边三角形的边长为4，D为的中点，将沿折到，使得为等边三角形，则直线与所成的角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据异面直线夹角的定义找到直线与所成的角为，再利用余弦定理运算求解即可. 【详解】分别取，，的中点E，F，G，连接，，，， 则，，且，，， 所以直线与所成的角为（或其补角）， 由题意可知：，，，，平面， 所以平面， 且平面，可得，则， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成的角的余弦值为． 故选：D． 6．（23-24高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与 所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与 所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与 所成角的余弦值为. 故选:A. 【题型三 利用补形法求线线角】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）如图，直三棱柱中，是等边三角形，点分别是线段的中点，直线与平面交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出异面直线与所成的角，再在三角形中利用余弦定理求解即得. 【详解】如图，延长交的延长线于点，连接交于点， 依题意，，则（或其补角）即为异面直线与所成的角． 显然，，，则， 由，得，则，令， 由是等边三角形，得， 由余弦定理得， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D 2．（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱向上补一个直三棱柱，证得平面平面，得到平面即为平面，得出交线即为直线，结合为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    二、填空题 3．（2024高一下·全国·专题练习）正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则 . 【答案】 【分析】将原正方体补形为长方体，利用线线角的定义得到为异面直线与所成的角，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【题型四 求线面角（定义法与等积法）】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南·阶段练习）正四面体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出线面角的平面角，利用三角形重心性质和勾股定理即可求出正弦值. 【详解】 正四面体，高为，则为底面正三角形的重心， 设为，就是与平面所成的角， 在中，设正四面体棱长为， 由为底面正三角形的重心，有， ，所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【详解】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可. 【详解】如图，取中点，连接，令. 因为面，面， 所以， 又因为， 所以， 因为面，面， 所以， 又因为，所以， 因为面，， 所以面， 因为面， 所以， 因为面， 所以面， 所以是与平面所成角， 因为，..， 所以, 由已证知，面，因为面， 所以， 所以， 因为面，面， 所以， 所以， 所以， 由已证知，面， 又因为面，所以 所以， 即与平面所成角的正弦值是. 故选：B． 二、解答题 4．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得证平面平面； （2）取中点，连接，先证明四边形矩形，再由（1）可得平面，从而得为直线与平面所成角，在中，利用求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 5．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且． (1)求证：； (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证（易证）和，只需证平面，根据题意容易证； （2）利用等体积法求得点P到平面的距离，设直线与平面所成的角为，则根据即可得到答案. 【详解】（1）因为 为半球 的直径， 为 半球底面圆周上一点, 所以 , 因为 、 平面 , 所以 平面 ，又因为 平面 , 所以 , 又因为 为半球面上一点, 所以 , 又因为 平面 所以 平面 , 又 平面 , 所以 ; （2）因为三角形 为直角三角形, 所以 , 又因为 平面 , 所以 ， 又因为三角形 也是直角三角形， 所以 , 所以， 设点 到平面 的距离为 , 则有 ，即 , 所以 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 6．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，连接，通过证明以及得到为等腰三角形，进而可得结论； （2）取的中点,通过证明平面以及平面可得面面平行，即可求证； （3）利用体积法求点到平面的距离，设与平面所成的角为，表示出，求其最值。 【详解】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离后，利用（为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算. 【题型五 与线面角有关的探索性问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）依题意可得、，即可得到平面，从而得证； （2）设，连接，即可得到为的中点，根据线面平行的性质得到，即可得证； （3）由线面平行的判定定理得出点在靠近点的三等分点处，再证得平面，所以即为与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）底面平面， 又底面为正方形，， 而，平面，平面， 又平面平面平面； （2）设，连接，因为为正方形，所以为的中点， 又平面，平面，平面平面， 所以， 又为的中点，所以为的中点； （3）存在点在靠近点的三等分点处，即，使得平面． 在线段上取点，使，连接，，． ∵中，，即， ∴且， 在正方形中，点在靠近点的三等分点处，∴且， ∴且，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 取靠近点的三等分点为，连接． 中，点，分别为的三等分点，∴，且， ∵平面，∴平面， ∴在平面上的射影， ∴即为与底面所成角，                           在中，，若，所以，∴， 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形.    (1)求证： (2)在直线上存在一点，，试求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，即可证明平面，从而得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离，即可求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取中点，连接， 是正三角形，， 为中点，， 与全等， ，又为中点， ， 平面，平面， 平面， 平面， .    （2）因为侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，， 所以， 又为等边三角形，所以，所以， 则， 所以，又， ， 所以， 在中， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 又，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)底边上是否存在异于端点的一点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可知平面，即可得，由题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）做辅助线，分析可知，由垂直关系可得，设，利用等体积法运算求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 由平面，可得， 又因为是的中点，，则， 且，、平面，所以平面. （2）假设在上存在异于端点的点，使得直线与平面所成的角大小为. 过点作平面，垂足为，连结、、，    则，， 设，，则， 由（1）可知：平面，， 可知平面， 由平面，可得， 在中，， 在中，， 因为底面是直角梯形，，，， 则，， 可得，， 由得，， 即，解得， 故存在点，使得直线与平面所成的角大小为，此时. 4．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）由勾股定理逆定理求得，再借助三角形的中位线性质证得，，从而得到平面，进而得证； （2）先求出，再算出，根据等体积法，，从而得到点到平面的距离； （3）与平面所成的角为，设，在中，用余弦定理表示出，再在中，表示，，列方程求解即可. 【详解】（1）在中，，，所以， 所以，又点，分别为边，的中点， 所以，，，所以，， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 因为，，所以二面角的平面角为， 所以，又，所以是等边三角形， 取的中点，连接，如图所示，所以，，， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中，，，， 所以， 设点到平面的距离为，又，所以， 解得，即点到平面的距离为． （3）由（2）知平面，所以与平面所成的角为． 在中，，，，设， 由余弦定理得． 因为平面，又平面，所以， 所以， 即，所以， 整理得，解得或， 故在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 的长为或． 【点睛】方法点睛：翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，,根据正方体,得到, 得到异面直线的夹角为的夹角或补角，利用余弦定理求解. 【详解】连接，,根据正方体,得到 所以异面直线的夹角为的夹角, 又,,所以,, 则, 则异面直线的夹角的余弦值为.    故选：B 2．（23-24高一上·宁夏·阶段练习）如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、，可得，从而异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，然后在三角形中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即， 因为直三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 则在中，由余弦定理可得： 即异面直线与所成角的余弦值为：. 故选：. 3．（2024高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出异面直线与所成的角，再由余弦定理求解此角即可得出答案. 【详解】如图，连接，与交于点，则为的中点， 取的中点，连接，则， 为异面直线与所成的角或其补角．    平面，平面，． ，，又，， 在中，根据余弦定理可得． 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出异面直线与所成的角，再由余弦定理求解即可. 【详解】如图，取的中点为的中点为的中点为， 连接，易知， 则，又， 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A． 5．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点G，然后根据异面直线所成角的定义证明（或其补角）是与所成的角，进而求得答案. 【详解】取的中点G，连接，如图， 又E为的中点，所以，同理可得， 所以（或其补角）是与所成的角. 取的中点H，连接，则， 所以， 则，所以与所成的角为. 故选：B. 6．（23-24高一上·广西·阶段练习）如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据空间中直线与直线的位置关系结合异面直线夹角定义求解即可. 【详解】如图所示，分别取，，的中点，，，连接，，， 可得且，所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设， 因为三棱柱为正三棱柱， 令，在直角中，可得， 在直角中，同理可得， 再取的中点，连接，，可得， 因为底面，所以底面， 在直角中，可得 所以 又因为是锐角，所以. 故选：D. 7．（23-24高一下·辽宁·期末）在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用异面直角所成角的定义作出所求的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，， 易证，则异面直线与的夹角为，过作，垂足为， 交于， 连接，，，由余弦定理得， ，所以，， 易得，所以.    故选：C 二、填空题 8．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，若，则异面直线，所成角为 ． 【答案】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体中，取的中点，连接， 由M、N分别为，的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 9．（23-24高一下·宁夏银川·期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】作出与平面所成角，根据即可得出答案． 【详解】解：取的中点，连接，则， 故与平面所成角和与平面所成角相等， 连接交于点，则， 平面，平面，， 因为平面 平面， 为与平面所成角， 设正方体棱长为，则，， ． 故答案为： 10．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）长方体中，，.点，分别是，的中点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】延长EF，交于G点，连接，则与交点为P，连接BP，然后由，可得直线与所成角等于，后由图形，题意可得答案. 【详解】延长EF，交于G点， 因，则G，又， 则，则与交点为P. 连接BP，因，则直线与所成角等于（该角为锐角）. 因点，分别是，的中点，则. 又，则. 又由题可得，则. 则. 故答案为： 11．（23-24高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【答案】 【分析】过作作，可得出线面角，再过作于，连接，在三个直角三角形中，分别计算，，，进而得出，即可求解. 【详解】 因为平面平面ABC，且平面平面ABC， 所以，过点作于，且面， 所以平面ABC，则为DC与平面ABC所成的线面角， 过作于，连接， 由面，故，而且都在面内， 所以面，面，则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以，即， 解得， 所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为. 故答案为： 三、解答题 12．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明平面，然后结合线面平行的性质得，再结合线面平行的判定定理即可得解； （2）首先说明是直线与平面所成的角，结合解三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为底面为菱形，所以， 因为平面，且平面， 所以平面； 因为平面，且平面平面， 所以； 因为平面，且平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 平面平面， ， 又平面， 平面， 是直线与平面所成的角， 底面为菱形，且， 为等边三角形，且， ， 平面平面， ，且是的中位线， 在中，， 在中，， ，即直线与平面所成的角为. 13．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)若平面交于点，求证：； (2)求证：平面； (3)判断直线与平面所成角的大小是否可以为？并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得线线平行； （2）由线面垂直得线线垂直，再结合线面垂直的判定定理即可证明； （3）由（2）知就是直线与平面所成角，且，再结合正弦值的范围判断即可. 【详解】（1）因为为正方形，所以，         因为平面，平面， 所以平面， 因为平面交于点，所以平面平面， 因为平面，所以. （2）因为底面，平面，所以，   因为为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面，   因为平面，所以， 因为，为线段的中点，所以， 因为，，平面，所以平面. （3）由（2）知，就是直线与平面所成角， 所以. 设，则，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小不可以为. 14．（23-24高一上·山东临沂·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，．    (1)证明；平面平面； (2)设P为上的一个动点，是否存在点P使得与平面所成角为30°，若存在，求，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面即可； （2）过作于，连接，根据线面垂直的判定可得平面，进而可得为与平面所成角，再根据三角函数求解即可. 【详解】（1）连接，因为平面，平面，故. 又底面是菱形，故， 又，平面，所以平面. 因为，所以平面平面.    （2）假设存在点满足条件，设， 因为底面是边长为2的菱形，，故. 过作于，连接，则，. 因为平面，平面，故， 又，平面，故平面， 所以为与平面所成角. 又，则. 故，即，解得，即.    15．（23-24高一下·云南保山·期末）如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值及直线与平面所成角的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据菱形性质得，利用三线合一有，最后利用面面垂直的判定即可； （2）点F存在且，利用线面平行的判断定理可证线面平行，过作，交于点，利用余弦定理求出，最后利用线面角的定义即可. 【详解】（1）设与相交于点，连接， 四边形为菱形， ，                ，，        又，平面，   则平面，     平面，平面平面． （2）存在点F满足题意，且， 假设在PD上存在点F，使得平面PBC， 证明：过点作，交于，连接，， ，，故， 而，，故 故为平行四边形，故， 而平面，平面， 故平面.   综上，在PD上存在点F，使得平面PBC，此时， 在中，，， 在（1）知，又，平面，平面，   过作，交于点， 故且，，则，则， 在中，，故，        连接，在中，， 平面，则为直线与平面所成的角， 在中，，， 直线与平面所成角的大小为． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是合理作出辅助线，通过线面平行的性质结合三角形相似即可得到，求线面角关键是利用其定义找到相关的角，结合余弦定理等即可得到答案. 16．（23-24高一下·山东日照·期末）如图，正方形边长为4，E为AB中点，F为边BC上的动点．将沿DE翻折到，沿EF翻折到． (1)求证：平面； (2)若F是边BC上的中点，求点S到平面的距离； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）的结论，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）设，用表示点到平面的距离，进而表示出，再借助对勾函数的单调性及正弦函数单调性求解即得. 【详解】（1）由正方形，得，而平面平面， 所以平面. （2）在中，， 显然，即，， 由（1）知，平面，于是， 又， 设点S到平面的距离为，由，得，解得， 所以点S到平面的距离为. （3）设在平面上的射影为，连接，则为直线SE与平面所成角为， 设，则，， 在中，， 由余弦定理得，， 则，由， 得， 即，解得，因此， 令，，而对勾函数在上递减， 则当，即时，取得最小值，取得最大值，而， 所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$