17.2勾股定理的逆定理 练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

17.2 勾股定理的逆定理 练习 一、单选题 1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2、2、3 B．9、12、15 C．6、8、10 D．7、24、25 2．若a，b，c是的三边长，且满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．下列以为三边长的三角形中，是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（   ） A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形 C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形 5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（   ） A．8，，1 B．5，12，13 C．9，40，41 D．1.5，2.5，2 9．的三边为a，b，c，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 10．五根长度为7、15、20、24、25的木棒，将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 11．的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 12．给出下列命题： ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足，则； ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形． 其中，假命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．已知a，b，c为的三边，给出下列条件：①；②，，；③；④，，．其中能判定是直角三角形的是 ．（填序号） 14．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 15．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 16．如图，一艘快艇计划从P地航行到距离P地16海里的B地，它先沿北偏西方向航行12海里到达A地接人，再从A地航行20海里到达B地，此时快艇位于P地的 方向上． 三、解答题 17．如图，在中，，点，分别是，上的点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：． (2)求证：是等腰三角形． 18．如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； (2)求的长． 19．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 20．如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B D A A D B 题号 11 12 答案 A B 1．A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理判定直角三角形的方法是解题的关键．运用勾股定理逆定理计算，满足两短边的平方和等于较长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能判定是直角三角形，符合题意； B、，能判定是直角三角形，不符合题意； C、，能判定是直角三角形，不符合题意； D、，能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 2．B 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用．根据题意得到，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 由因式分解，可知，可得，因而可判断的形状． 【详解】解析：∵， ∴， ∴． ∵a，b，c是的三边长， ∴的是直角三角形． 故选：B 3．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，本选项符合题意； C、，不能构成三角形，本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理判定直角三角形．根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：图①中，另一个角为，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形； 图②中，另一个角为，因此该三角形是直角三角形； 图③中，有两条边相等，又有一个内角是，从此该三角形是等边三角形； 图④中，因为，所以该三角形是直角三角形． 综上，判断正确的是C选项． 故选：C 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由勾股定理求出三角形的边长的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的三边的平方分别为，，25，，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； B、三角形的三边的平方为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意； C、三角形的三边的平方为，，，，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； D、三角形的三边是平方为，，，，这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 8．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不合题意； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：A．∵ ∴设，，， ∴ ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴可设，，， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，，故A不符合题意； B、，，故B符合题意； C、，，故C不符合题意； D、，，故D不符合题意； 故选：B． 11．A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 12．B 【分析】本题考查了勾股定理和逆定理，三角形内角和定理，命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 利用分类讨论对①进行判断；根据勾股定理的逆定理对②④进行判断；根据三角形内角和计算出的度数，然后根据三角形分类对③进行判断． 【详解】解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或， 所以①为假命题； 三角形的三边a、b、c满足，则， 所以②为假命题； 中，若，则， 所以是直角三角形， 所以③为真命题； 中，若，则， 所以这个三角形是直角三角形， 所以④为真命题． 故选：B． 13．①②④ 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：①∵，则 ∴是直角三角形，故①正确； ②∵，，， 则， ∴是直角三角形，故②正确； ③∵， ∴， ∴不是直角三角形，故③正确； ④∵，， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 故答案为：①②④． 14．24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 15．114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 16．北偏东 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角的表示，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再求出的度数，用方位角表示出来即可． 【详解】解：由题意知海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形， ， ， 此时快艇位于地的北偏东方向上． 故答案为：北偏东． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等进行证明即可． 【详解】（1）证明：， ． 是直角三角形，． ． （2）， ． ， ． ． ， ． ． 是等腰三角形． 18．(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见详解 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短进行计算判断即可； （2）设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由为： ，，， ， 是直角三角形，且，则， 根据垂线段最短，是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设，则， 在中，由得 解得， 即； 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据，，的坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，连接即可； （3）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， ， 是直角三角形． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $$