17.1勾股定理练习2024-2025学年人教版数学八年级下册

17.1勾股定理 练习 一、单选题 1．如图，在四边形中，，，，，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 2．一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列各数表示的点到原点距离最远的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中．已知笔筒内部的底面直径为9，内壁高12．若这支铅笔长18，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A．3 B．5 C．6 D．2 5．给出下列四组数：①5，7，8；②3，4，5；③，，；④9，40，41．其中一定是勾股数的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．若一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则其第三边的长为（   ） A． B．或13 C． D．13 7．如图，一棵大树在一次强风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底面B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，分别以的斜边和直角边为边向外作正方形，两正方形的面积分别是和，则以另一条直角边为直径向外所作半圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（   ）． A．5 B．7 C．8 D．9 11．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和，则为（　　） A．7 B．8 C． D．25 12．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.3，0.4，0.5 D．18，24，30 二、填空题 13．为了固定一根高的柱子（已知柱子与地面垂直），从柱子顶部拉一条钢丝到地面上离柱子远的某一点，则需要钢丝 ． 14．若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三条边长为 ． 15．如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为与交于点，则的长是 ． 16．如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 三、解答题 17．如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理． 18．如图，在中，，于点D，，，求的长． 19．如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 20．如图，在和中，，，，，连接，交于点F，求的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B B C B C C 题号 11 12 答案 C D 1．C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，四边形的内角和定理，掌握含30度角的直角三角形的性质是关键． 如图所示，延长交于点，可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，四边形的内角和定理，得到，再运用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 2．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， ∴h的取值范围是：， 即． 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，牢记两点间距离公式成为解题的关键． 先根据两点间距离公式求得各点到原点的距离，然后比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴表示的点到原点距离最远的是． 故选A． 4．D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：如图： 由题意，得，，． 在中，． ，． ∴这只铅笔在笔筒外面部分的长度在3cm到6cm之间（包含3和6）． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：①，不符合勾股定理的逆定理，不是勾股数； ②，3，4，5是整数，符合勾股定理的逆定理，故是勾股数； ③，，都是分数不是整数，不是勾股数； ④，9，40，41是整数，符合勾股定理的逆定理，故是勾股数． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】当12和5均为直角边时，第三边； 当12为斜边，5为直角边，则第三边； 故第三边的长为13或． 故选B． 7．C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，， ∴， ∴这棵树原来的高度为， 故选C． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理； 根据题意可知，，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵两正方形的面积分别是和， ∴，， 由勾股定理得：， ∴以另一条直角边为直径向外所作半圆的半径为， 故选：B． 9．C 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得，大树折断部分、未折断部分及地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，大树折断部分的长度为， 这棵大树在折断前的高度为． 故选：C． 11．C 【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为， 则：， 由图可知：， ∴； 故选C． 12．D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数、、满足，那么这三个正整数、、就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、，， ， 、、不是一组勾股数， 故A选项不符合题意； B、，， ， 、、不是一组勾股数， 故B选项不符合题意； C、、、不是正整数， 、、不是一组勾股数， 故C选项不符合题意； D、，， ， 、、是一组勾股数， 故D选项符合题意． 故选：D ． 13．10 【分析】本题考查了勾股定理的应用、算术平方根，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理和算术平方根计算即可得． 【详解】解：由题意得：需要钢丝的长度为， 故答案为：10． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的非负性，根据非负性求出是解题的关键． 先根据平方和算术平方根的非负性求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴斜边为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，首先利用证明，根据全等三角形的性质可证，利用勾股定理求出，设，则，在中利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出，则，则有． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 是等腰三角形， 又， 根据等腰三角形的三线合一定理，可得：， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中， 又，， ， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理是解题的关键． 由题意，利用勾股定理求出到的距离，即可确定点表示的数． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 17．(1)见解析，梯形 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理． （1）由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为； （2）此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理 【详解】（1）解：如图所示，是梯形； （2）证明：由图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． 18． 【分析】本题考查勾股定理和等面积法，掌握勾股定理内容是解答此题的关键．由勾股定理求长，再由等面积法求得的长，在中，由勾股定理求长． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴． 19．(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 20． 【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案． 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$