8.2.1 一元线性回归模型（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.2.1 一元线性回归模型 分层作业 题型研究 题组一　一元线性回归模型辨析 【例题1】下列说法中正确的个数是（ ） ⑴ 回归方程只适合用我们所研究的样本的总体； ⑵线性回归模型中，因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生； ⑶设有一个回归方程 ，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ⑷用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据回归方程的意义，进行分析判断可判定⑴正确；根据线性回归的定义，可判断⑵正确；由线性回归方程中的斜率为负，可得y应该随x增大而减少，可判定⑶正确；根据相关指数的性质，可判定⑷错误. 【详解】对于⑴中，回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，不适用于一切样本和总体， 所以⑴正确； 对于⑵中，根据线性回归方程得出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差的产生，所以⑵正确； 对于⑶中，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，所以⑶错误； 对于⑷中，由相关指数的性质可得，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好，所以⑷正确； 故选：C. 题组二　一元线性回归模型中随机误差的计算 【例题2】党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 【答案】645 【分析】由已知条件通过方程组解出和的值，得到回归方程，由方程进行数据预测. 【详解】由题可知投入资金与回报资金满足一元线性回归模型， 而当时，，故． 又每多投入100万元，回报资金多130万元，故，． 所以．当时，．故回报资金为645万元． 故答案为：645. 题组三　一元线性回归模型与散点图 【例3】以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据线性回归模型的特点进行求解即可. 【详解】四个选项中只有选项AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型， 故选：AC 题组四　一元线性回归模型的实际应用 【例4】经统计，某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是(单位：亿元).其中为随机误差，如果今年该地财政收入为10亿元，则今年支出预计不超出(　　) A．10亿元 B．11亿元 C．11.5亿元 D．12亿元 【答案】D 【详解】某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是（单位：亿元)，其中，当时，，，，今年支出预计不超出亿元，故选D. 1、 基础达标 1．在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的 . 其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ；e是Y与bx＋a之间的 . 如果 ，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 【答案】 一元线性回归模型 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距参数 斜率参数 随机误差 e＝0 【分析】根据一元回归模型的概念作答. 【详解】在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差. 如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 2．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得． 【详解】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知， 最适宜作为y和x的回归方程类型的是：． 故选：B. 3．已知某回归方程为：，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（  ） A．增加3个单位 B．增加个单位 C．减少3个单位 D．减少个单位 【答案】C 【分析】根据回归方程确定正确答案. 【详解】依题意，回归方程为：， 所以当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少3个单位. 故选：C 4．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（　 ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据变量的相关关系判断即可. 【详解】观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系. 故选：D. 5．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 【答案】 回归模型 线性相关 【分析】作出散点图，由散点图结合回归模型的定义作出判断. 【详解】由数据作散点图如下： 在蚯蚓产卵模型中，蚯蚓产卵总数y与湿度x相关，变量y不完全由变量x决定，在观测数据中存在误差， 故此模型应为回归模型，刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的线性相关关系． 故答案为：回归模型；线性相关. 6．（多选）已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．该回归直线必过点 B．y与x是负相关的 C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg 【答案】AC 【分析】根据回归方程的性质分析判断A；根据回归方程的系数判断B；由回归方程分析判断判断CD. 【详解】对于A，回归直线恒过样本中心点，则回归直线必过点，A正确； 对于B，由，得y与x是正相关的，B错误； 对于C，由回归方程为，得该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，C正确； 对于D，当时，，该中学某高中女生身高为160cm，则其体重约为50.29kg，D错误. 故选：AC 7．某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 【答案】作图见解析，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高 【分析】根据表中数据在直角坐标系中描点即可，由散点图可看出，图中的数据点接近直线排列，故可以判断有没相关性. 【详解】画出的散点图如图所示. 可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高. 8．鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，水温x为自变量，孵化时间y为因变量 【分析】（1）根据表格中的数据，以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，画出散点图； （2）由一元线性回归模型定义，近似作出直线，并分析回归模型中自变量和因变量． 【详解】（1）以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，可作散点图如下： （2）直线如图所示，由（1）中散点图及一元线性回归模型定义可得，其中水温x为自变量，孵化时间y为因变量． 2、 能力提升 1．（多选）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（    ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A．产品定价的平均值是10元 B．产品定价与销量存在正相关关系 C．产品定价与销量满足一元线性回归模型 D．产品定价与销量的相关系数 【答案】ACD 【分析】计算出可得A；计算出后可得B、C、D. 【详解】由题可得，故A正确； 而. 由于与的相关系数近似为，故与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系，同时，与为负相关，故B错误，C、D正确. 故选：ACD. 2．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据折线图中各阶段的数据，计算其样本中心纵坐标、极差，并结合数据的变化趋势画出近似回归直线，即可确定回归方程参数之间的大小关系. 【详解】根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，， ∴由图知：2010年至2014年数据为； 2015年至2019年数据为； 2010年至2019年数据为；均成递减趋势. 又，，，且极差分别为6、51、65， 三条回归方程的直线大致图象，如下图示： ∴回归方程的斜率大小关系为，且截距. 故选：C. 3．假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值. 【详解】因为 ， 上式是关于的二次函数， 因此要使取得最小值，当且仅当的取值为. 故选：A. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2.1 一元线性回归模型 分层作业 题型研究 题组一　一元线性回归模型辨析 【例题1】下列说法中正确的个数是（ ） ⑴ 回归方程只适合用我们所研究的样本的总体； ⑵线性回归模型中，因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生； ⑶设有一个回归方程 ，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位； ⑷用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好． A．1 B．2 C．3 D．4 题组二　一元线性回归模型中随机误差的计算 【例题2】党的二十大报告指出，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位．为此某市大力发展科技创新，其科技创新投入资金x（单位：百万元）与回报资金（单位：百万元）满足一元线性回归模型，已知投入200万元时，回报450万元，且每多投入100万元，回报资金多130万元．若2023年该市计划科技创新投入350万，则预估回报资金为 万元． 题组三　一元线性回归模型与散点图 【例3】（多选）以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（    ） A． B． C． D． 题组四　一元线性回归模型的实际应用 【例4】经统计，某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是(单位：亿元).其中为随机误差，如果今年该地财政收入为10亿元，则今年支出预计不超出(　　) A．10亿元 B．11亿元 C．11.5亿元 D．12亿元 1、 基础达标 1．在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的 . 其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 ，b称为 ；e是Y与bx＋a之间的 . 如果 ，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 2．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知某回归方程为：，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（  ） A．增加3个单位 B．增加个单位 C．减少3个单位 D．减少个单位 4．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（　 ） A．   B．   C．   D．   5．蚯蚓是一种生活在土壤中的古老生物，其粪便含有丰富的氮、磷、钾等无机盐，可以增加土壤有机质并改善土壤结构，还能中和酸性或碱性土壤，使土壤适于农作物的生长．《2023年中央一号文件》中关于“加强高标准农田建设”章节里重点提到严厉打击电捕蚯蚓等破坏土壤行为．某研究小组响应保护蚯蚓这一举措，研究了50%-70%湿度区间内，对不同湿度情况下投放10条蚯蚓产卵数的情况，得出以下数据： 湿度x/% 50 55 60 65 70 产卵总数y/个 2 4 6 9 18 根据表中数据，可以预测湿度为58%时10条蚯蚓的产卵总数，则此模型为 ，此表刻画了蚯蚓产卵总数与湿度之间的 关系． 6．（多选）已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．该回归直线必过点 B．y与x是负相关的 C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg 7．某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 2 4 6 8 30 40 50 70 画出的散点图并判断它们是否相关. 8．鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 2、 能力提升 1．（多选）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（    ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A．产品定价的平均值是10元 B．产品定价与销量存在正相关关系 C．产品定价与销量满足一元线性回归模型 D．产品定价与销量的相关系数 2．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$