8.1.1 变量的相关关系（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.1.1 变量的相关关系 分层作业 题型研究 题组一　变量的相关关系与函数关系的辨析 【例题1】下列关系中是相关关系的是（    ） ①路程与时间、速度的关系； ②加速度与力的关系； ③产品成本与产量的关系； ④圆周长与面积的关系； ⑤广告费支出与销售额的关系． A．①②④ B．①③⑤ C．③⑤ D．③④⑤ 题组二　正相关、负相关、线性相关、非线性相关的判断 【例题2】观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 题组三　散点图及其应用 【例3】党的二十大报告指出绿水青山就是金山银山.某市为加快生态文明建设进程，加大生态环境保护投入力度，为祖国现代化建设增砖添瓦.现统计了该市近几年的生态环境保护投入资金，统计如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号x 1 2 3 4 5 6 投入资金y/千万 14 31 33 38 41 47 (1)根据上表作出散点图； (2)观察散点图，判断投入资金y与年份编号x是否具有相关性.如果有，是正相关还是负相关． 1、 基础达标 1．下列说法正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 2．对于散点图下列说法正确一个是（    ） A．一定可以看出变量之间的变化规律 B．一定不可以看出变量之间的变化规律 C．可以看出正相关与负相关有明显区别 D．看不出正相关与负相关有什么区别 3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ．（填序号） ①都可以分析出两个变量的关系； ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以作出散点图； ④都可以用确定的表达式表示两者的关系． 4．下列变量关系是相关关系的是 ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 5．对某高三学生在连续次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到散点图，下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有 ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高 ②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过分 ③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性，且为正相关 A．个 B．个 C．个 D．个 6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 7．给出成对值的数据如下： 1 2 4 8 3 5 9 17 则根据数据可以判断和的关系是 ．（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”） 2、 能力提升 1．某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法错误的是（  ） A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 2．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是（    ） A．利润率与人均销售额成正相关关系 B．利润率与人均销售额成负相关关系 C．利润率与人均销售额成正比例函数关系 D．利润率与人均销售额成反比例函数关系 3．（多选）下表是某城市在2022年1月份至10月份期间各月最低温度与最高温度（单位：℃）的数据一览表． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温度/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温度/℃ 1 1 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温度与最高温度具有相关关系，根据该一览表，下列结论正确的是（    ） A．最低温度与最高温度为正相关 B．每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月逐月增加 C．月温差（最高温度减最低温度）的最大值出现在10月 D．1月至4月的月温差（最高温度减最低温度）相对于7月至10月，波动性更大 4．某市居民2015~2019年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，家庭年平均收入与年平均支出有 相关关系（选填“正”或“负”）. 5．假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）画出散点图； （2）从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律； 3、 .直击高考 1．（19-20高三上·广东深圳·期末）某地在国庆节天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有天，则上述判断中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国·模拟预测）北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰，被称为“北极变暗”现象，21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象．如图为北极年平均海冰面积()与年平均浓度图．则下列说法正确的是（    ） A．北极年海冰面积逐年减少 B．北极年海冰面积减少速度不断加快 C．北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关 D．北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关 3．（2010·广东·高考真题）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1.1 变量的相关关系 分层作业 题型研究 题组一　变量的相关关系与函数关系的辨析 【例题1】下列关系中是相关关系的是（    ） ①路程与时间、速度的关系； ②加速度与力的关系； ③产品成本与产量的关系； ④圆周长与面积的关系； ⑤广告费支出与销售额的关系． A．①②④ B．①③⑤ C．③⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】利用函数关系与相关关系的定义可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，③⑤是相关关系，①②④都是确定的函数关系． 故选：C. 题组二　正相关、负相关、线性相关、非线性相关的判断 【例题2】观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（   ）    A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关 C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关 【答案】D 【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论． 【详解】根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关； 图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关； 图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关． 故选：D 题组三　散点图及其应用 【例3】党的二十大报告指出绿水青山就是金山银山.某市为加快生态文明建设进程，加大生态环境保护投入力度，为祖国现代化建设增砖添瓦.现统计了该市近几年的生态环境保护投入资金，统计如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号x 1 2 3 4 5 6 投入资金y/千万 14 31 33 38 41 47 (1)根据上表作出散点图； (2)观察散点图，判断投入资金y与年份编号x是否具有相关性.如果有，是正相关还是负相关． 【答案】(1)答案见解析 (2)具有相关关系，且呈现正相关关系． 【分析】（1）根据题意直接作出散点图即可； （2）由散点图直接判断即可. 【详解】（1）作出散点图如下： （2）由散点图可知，投入资金y与年份编号x具有相关关系，且呈现正相关关系． 1、 基础达标 1．下列说法正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【答案】D 【分析】根据相关关系是一种不确定关系，函数关系是一种确定关系，可判断A；根据球的体积与半径之间的关系，可判断该关系为函数关系，可判断B；根据农作物的产量与施化肥量之间的关系可得该关系为一种相关关系，可判断C；根据学生的数学成绩与物理成绩之间是一种相关关系可判断D. 【详解】解：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误； 球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误； 农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误； 学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是变量间的相关关系，熟练掌握相关关系与函数关系之间的区别是解答的关键. 2．对于散点图下列说法正确一个是（    ） A．一定可以看出变量之间的变化规律 B．一定不可以看出变量之间的变化规律 C．可以看出正相关与负相关有明显区别 D．看不出正相关与负相关有什么区别 【答案】C 【分析】根据散点图与两个变量的关系求解. 【详解】给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图， 但不一定能分析出两个变量的关系，不一定存在回归直线来模拟数据， 但是通过散点图可以看出正相关与负相关有明显区别. 故选：C 【点睛】本题主要考查变量间的相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ．（填序号） ①都可以分析出两个变量的关系； ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以作出散点图； ④都可以用确定的表达式表示两者的关系． 【答案】③ 【分析】辨析两个变量的相关关系、函数关系与线性相关的概念，结合散点图的特点，对四个说法进行判断即可. 【详解】给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，故③正确， 但不一定能分析出两个变量的关系，故①不正确， 更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似的表示，故②不正确， 两个变量的统计数据不一定有函数关系，不一定可以用确定的表达式表示两者的关系，故④不正确． 故答案为：③． 4．下列变量关系是相关关系的是 ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】试题分析：相关关系定义：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的故选叫做相关关系．对照知①②符合，故选A． 考点：本题考查了函数的概念及相关关系的概念． 点评：在明确函数关系的基础上，进一步理解好相关关系的概念． 5．对某高三学生在连续次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到散点图，下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有 ①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高 ②该同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过分 ③该同学的数学成绩与考试次号具有线性相关性，且为正相关 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】试题分析：根据散点图可知该同学的成绩随着考试次数成正相关关系，所以①③均正确；第一次的成绩在分以下，第九次的成绩在分以上，所以②正确，故选D. 考点：散点图与相关性分析. 6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 【答案】B 【分析】根据散点图对相关性、中位数进行分析，从而确定正确选项. 【详解】从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关. 中间的两个点即第5、6两个点脂肪含量均低于20%，故脂肪含量的中位数小于20%. 故选：B 7．给出成对值的数据如下： 1 2 4 8 3 5 9 17 则根据数据可以判断和的关系是 ．（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”） 【答案】确定关系 【分析】根据两个变量的相关关系的概念分析可得答案. 【详解】由题表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系，函数解析式为， 所以x，y之间是一种确定的关系，即函数关系． 故答案为：确定关系． 2、 能力提升 1．某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法错误的是（  ） A．沸点与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关 C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强 【答案】A 【详解】结合绘制的散点图可得：沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关， 故BC正确，结合BC选项的说法可知：A选项中：沸点与海拔高度呈负相关，故A错误 两个散点图的都是线性分布，沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强.故D正确 故选：A. 2．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是（    ） A．利润率与人均销售额成正相关关系 B．利润率与人均销售额成负相关关系 C．利润率与人均销售额成正比例函数关系 D．利润率与人均销售额成反比例函数关系 【答案】A 【解析】画出利润率与人均销售额的散点图即可判断. 【详解】画出利润率与人均销售额的散点图，如图． 由图可知利润率与人均销售额成正相关关系. 故选：A. 3．（多选）下表是某城市在2022年1月份至10月份期间各月最低温度与最高温度（单位：℃）的数据一览表． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温度/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温度/℃ 1 1 7 17 19 23 25 10 已知该城市的各月最低温度与最高温度具有相关关系，根据该一览表，下列结论正确的是（    ） A．最低温度与最高温度为正相关 B．每月最高温度与最低温度的平均值在前8个月逐月增加 C．月温差（最高温度减最低温度）的最大值出现在10月 D．1月至4月的月温差（最高温度减最低温度）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】AD 【分析】根据表格数据判断A、B；由月温差定义判断最大值出现月份判断C；求出1月至4月、7月至10月的月温差方差比较大小判断D. 【详解】A：由表格数据，最高温较高对应最低温相对也高，故最高温与最低温有正相关性，对； B：前8个月，最高温2、3月份相同，最低温3、4月份相同，故前8个月最高、最低温度并不是逐月增加，错； C：月温差的最大值出现在1月份为摄氏度，错； D：1到4月份温差依次为，7到10月份温差依次为， 所以1到4月份温差均值为，7到10月份温差均值为， 1到4月份温差的方差， 7到10月份温差的方差， 故1月至4月的月温差（最高温度减最低温度）相对于7月至10月，波动性更大，对. 故选：AD 4．某市居民2015~2019年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，家庭年平均收入与年平均支出有 相关关系（选填“正”或“负”）. 【答案】正 【分析】描出散点图从图上直观看直线的斜率，即可判断. 【详解】由题可得散点图， 从图上直观看出直线的斜率为正，则为正线性相关. 故答案为：正 5．假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）画出散点图； （2）从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律； 【答案】（1）散点图见解析；（2）使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多；【分析】（1）描点法画散点图；（2）从图中可以看出，使用年限与所支出的年平均费用正相关，所以可知，随着使用年限增长，所支出的平均维修费越来越多； 【详解】（1）画出散点图如图所示： （2）由上图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，使用年限与所支出的年平均维修费用之间成正相关，即使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多 3、 .直击高考 1．（19-20高三上·广东深圳·期末）某地在国庆节天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有天，则上述判断中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将天的成交量数据列举出来，计算出中位数，可判断①的正误；根据散点图的形状可判断②的正误；计算出天成交量的平均数，进而可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】由图可知：成交量由小到大分别为、、、、、、，中位数为，①错误； 在“月日认购量为套”而“月日认购量为套”，由此可知认购量与日期不成正相关，故②错误； 平均成交量为，超过平均成交量只有天，故③错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了数据分析，考查学生的计算能力，分析能力；属于基础题． 2．（2020·全国·模拟预测）北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰，被称为“北极变暗”现象，21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象．如图为北极年平均海冰面积()与年平均浓度图．则下列说法正确的是（    ） A．北极年海冰面积逐年减少 B．北极年海冰面积减少速度不断加快 C．北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关 D．北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关 【答案】C 【分析】由题意整合统计图的信息，结合正相关、负相关的概念逐项判断即可得解. 【详解】对于A、B，由统计图可知北极年海冰面积既有增加又有减少，故A、B错误； 对于C、D，由统计图可知随着年平均二氧化碳浓度增加，北极年海冰面积总体呈下降趋势，所以北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关，故C正确，D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了折线统计图的应用及变量相关性的判断，考查了数据处理、整合的能力，属于基础题. 3．（2010·广东·高考真题）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系. 【答案】13；正 【详解】由统计知识即可求出中位数及相关关系．将数据按由小到大排列后中间的数为13， 所以中位数为13，描出散点图从图上直观看出直线的斜率为正，则为正线性相关. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$