7.4.1 二项分布（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

7.4.1 二项分布 分层作业 题型研究 题组一　求二项分布的分布列 【例题1】旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望． 题组二　服从二项分布随机变量概率最大值问题 【例题2】某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大． 题组三　二项分布的均值与方差问题 【例3】（多选题）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 题组四　建立二项分布模型解决实际问题 【例题4】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 1、 基础达标 1．已知随机变量服从二项分布，则（　　） A． B． C． D． 2．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则 A． B． C．3 D． 3．在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为 A． B． C． D． 4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率：_____． 5．已知随机变量，满足，若，则，分别为（    ） A．6，2.4 B．6，5.6 C．2，2.4 D．2，5.6 6．（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（    ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 7．设随机变量，则 . 8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围为 ． 9．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 A．3 B．4 C．5 D．2 10．某高中生每天骑电动自行车上学，从家到学校的途中有4个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. （Ⅰ）求这名学生在上学途中遇到红灯的次数X的分布列; （Ⅱ）求这名学生在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗的概率. 2、 能力提升 1．（多选）设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 A． B． C． D． 3．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则 ． 4．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用、分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布． 5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．    将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 3、 直击高考 1．（2005·江西·高考真题）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率． 2．（2007·湖南·高考真题）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 3．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4.1 二项分布 分层作业 题型研究 题组一　求二项分布的分布列 【例题1】旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；. 【分析】（1）先求出甲、乙、丙从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法，再求其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法数，利用古典概型概率公式求结论； （2）先条件确定的可能取值，，结合二项分布分布列结论求的分布列，再根据二项分布期望公式求期望. 【详解】（1）甲、乙、丙分别从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法有种选法， 其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法有种选法， 所以甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； （2）甲选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 同理可得乙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 丙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 由已知的可能取值有，，，， 且， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 所以的期望. 题组二　服从二项分布随机变量概率最大值问题 【例题2】某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大． 【答案】8 【分析】本题为二项分布的典型问题，设出最可能命中的次数为m次，即命中m次的概率最大，列出不等式组，命中m次高于前一次且高于后一次，解不等式取整数即可. 【详解】∵ 射箭命中次数， ∴ ， 设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则 解得， ∵ ，∴. 故答案为：8. 题组三　二项分布的均值与方差问题 【例3】（多选题）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意求出，再根据二项分布分别求出，和判断即可 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 题组四　建立二项分布模型解决实际问题 【例题4】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【详解】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线． 1、 基础达标 1．已知随机变量服从二项分布，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：A. 2．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则 A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，应选答案B． 3．在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，求得事件A至少发生1次的对立事件为在4次独立重复试验中，事件A一次也没有发生，即可求解得到答案． 【详解】由题意，事件A在以试验中发生的概率为，事件A在一次试验中不发生的概率为， 因为事件A至少发生1次的概率是，它的对立事件是“在4次独立试验中，事件A一次也没有发生”， 所以由条件知，解得，故选B． 4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率：_____． 【答案】 【分析】设A=“申请甲片区房源”，可得P(A)的值，利用独立重复试验的概率计算即可． 【详解】每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设A=“申请甲片区房源”，则P(A)=，恰有2人申请甲片区的概率为P== 故答案为： 5．已知随机变量，满足，若，则，分别为（    ） A．6，2.4 B．6，5.6 C．2，2.4 D．2，5.6 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望与方差公式求出随机变量的期望与差，再根据期望与方差的性质即可得解. 【详解】解：∵， ∴，． ∵，∴， ∴，． 故选：C． 6．（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（    ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】ACD 【分析】利用独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式逐项求解即可. 【详解】由题意得小汽车的普及率为. 对于A选项，这5个家庭均拥有小汽车的概率为，故A选项正确； 对于B选项，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为， 故B选项不正确； 对于C选项，这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为，故C选项正确； 对于D选项，这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为，故D选项正确. 故选：ACD 7．设随机变量，则 . 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式可得: 【详解】因为随机变量, 所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了二项分布的概率公式,属基础题. 8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围为 ． 【答案】 【分析】得到不等式组，求出答案. 【详解】根据题意可知，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率， 即，解得． 故答案为： 9．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】先确定随机变量取法，再分别求对应概率，利用数学期望公式列方程解得白球的个数. 【详解】设口袋中有白球个，由已知可得取得白球的可能取值为0，1，2， 则服从超几何分布，， ，，. ∵，∴，解得． 故选A． 10．某高中生每天骑电动自行车上学，从家到学校的途中有4个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. （Ⅰ）求这名学生在上学途中遇到红灯的次数X的分布列; （Ⅱ）求这名学生在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）根据，计算概率得到分布列. （Ⅱ）以事件表示“前3个交通岗不是红灯，第4个交通岗遇到红灯”，利用独立事件的概率乘法公式计算即可得到答案. 【详解】（Ⅰ）由已知有，可得 所以随机变量X的分布列为 ζ 0 1 2 3 4 P （Ⅱ）设“在上学途中首次遇到红灯时已通过3个交通岗”的事件记为A，它表示这名学生在上学途中前3个交通岗不是红灯，第4个交通岗遇到红灯的情况. 则. 2、 能力提升 1．（多选）设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由概率的性质及二项分布概率公式有，求得，再应用二项分布期望、方差公式、概率公式判断各项正误. 【详解】由，则，可得， 所以，， . 故选：ABD 2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为． 3．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知：，且，从而可得值． 【详解】由题意可知： ∴，即, ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题． 4．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用、分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）（2）根据二项分布的概率公式计算 （3）根据随机变量的可能取值，计算相应的概率，列出分布列. 【详解】（1）设事件表示“这4个人中恰有个人去参加甲游戏”，其中，则 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为． （2）这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为． （3）随机变量的可能取值是0、2、4，且，，， 所以的分布为． 5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．    将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72. 【详解】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 可求出，，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值. （1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 . . . （2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 3、 直击高考 1．（2005·江西·高考真题）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率． 【答案】 【分析】首先列出以及所满足的条件，分类讨论m和n的取值，在不同的取值时，得到的可能取值，用独立重复实验的公式列出抛硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率即可. 【详解】设表示游戏终止时抛硬币的次数，设正面出现的次数为，反面出现的次数为.依据题意，则，且.可得：当，或时，； 当或时，，所以的取值为：5,7 . 故答案为：. 2．（2007·湖南·高考真题）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.9 (2)分布列见详解， 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率和期望运算求解. 【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题意可知：事件A与B事件独立，，则， 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率 （2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ，， ，， 的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望. 3．（2019·天津·高考真题）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 5．（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，2 (2) 【分析】（1）根据题意可知，进而利用二项分布求出的分布列及数学期望； （2）由题意可知，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况，即甲获胜2局，甲获胜3局，从而结合（1）可得结果. 【详解】（1）由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3， 则，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以X的期望. （2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况： 甲获胜2局，甲获胜3局， 所以所求概率为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$